割草

割草问题

割草队要收割两块草地，其中的一块是另一块面积的两倍。全队在大块草地上收割半天之后，分成两半，

一半人继续留在大块草地上工作，另一半人转移到小块草地上。到了晚上，大块草地全收割完了，而小块草地却

还剩下一小块未割。第二天，队里派出一个人，花了一整天时间才把小块割完。假定各人的工作能力是一样的，

请问割草队中共有几人?

可以用图解法推理如下：

既然在大块草地上全体割草队员割了半天，全队的一半人又割了半天，这就很清楚，一半人在半天时间内

收割了大块草地的。因此，在小块草地上半队人工作半天后，还剩下未割的草地面积为-＝。根据题

目条件，这剩下的，恰好是一个人一天的工作量。而第一天全队人员已收割完大块草地的全部以及小块草地大

部分，即

1+＝＝。

所以割草队总人数共有÷＝8(人)。

本题当然也可用代数解法，但它比较刻板，表现不出多大巧思。

知识来源：熊斌,谈祥柏主编.趣味数学.上海：上海辞书出版社.2009.

还有几盏灯亮着

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一条长廊里依次装有100盏电灯，从头到尾编号1，2，3，…，99，100。每盏灯由一个拉线开关

控制。开始，电灯全部都关着。

有100个学生从长廊穿过。第一个学生把号码凡是1的倍数的电灯的开关拉一下;接着第二个学生把号码

凡是2的倍数的电灯的开关拉一下;第三个学生把号码凡是3的倍数的电灯的开关拉一下;如此继续下去，最后第

一百个学生把号码是100的电灯开关拉一下。100个学生按此规定走完以后，长廊里的电灯还有几盏亮着?

如果一个学生、一个学生依次算下去，会感到一团乱麻似地理不清。但如果注意到电灯开始是关着的，最

后只有开关被拉奇数次的灯才会亮着，而被拉偶数次的灯仍旧关着，那么问题就转化为1到100这100个自然

数中，有几个数的约数个数是奇数。

可以证明：

当且仅当n为完全平方数时，它正约数个数是奇数(包括1与n本身在内)。

例如36=2

2×32

，它的正约数个数是

(2+1)(2+1)=9(个)。

所以电灯编号只有是完全平方数时，才有奇数个正约数。

100以内的自然数中完全平方数有1、4、9、16、25、36、49、64、81、100，共十个，所

以还有10盏灯亮着。

知识来源：熊斌,谈祥柏主编.趣味数学.上海：上海辞书出版社.2009