最大功率

电源最大输出功率及其应用

一．电源最大输出功率的推导

1.第一种情况：外电路为纯电阻电路时，在电源电动势E和内阻r一定的前提下，当外

电阻R=r时，电源的输出功率最大，其最大值为P

max

=

E2

4r

，其推导过程如下：

P=I2R=(

E

R+r

)2R=

E2

(R+r)2

R=

E2

(R-r)2+4Rr

R=

E2

(R-r)2

R

+4r

当R=r时，P最大。此时的电流为I=

E

2r

P

max

=

E2

4r

电源的输出功率P出与外电阻R的关系可以用P出—R图象

表示，如图1所示.由图象可知，对应于电源的非最大输出功率

P可以有不同的外电阻R

1

和R

2

，且R

1

R

2

=r2.由图象还可以看出，

无论R比r大还是小，|R-r|值越小，P越大，反之越小。

2.第二种情况：外电路为非纯电阻电路时，电源的最大输出

功率推导过程如下：

P=UI=(E－Ir)I=－rI2+EI，这是一个二次函数，有极值，根据数学知识可求得P

max

=

E2

4r

，

此时电流I=

E

2r

，这一结论比第一种情况更具有普遍性，第一种情况是第二种情况的特例。

结论：无论纯电阻还是非纯电阻电路，当I=

E

2r

，电源的输出功率最大，最大值为P

max

=

E2

4r

。

二．纯电阻电路中最大功率的应用

1.定值电阻与滑动变阻器串联

例题1：如图所示,电源电动势E=3V,内阻r=3Ω,定值电阻R

1

=1Ω,

滑动变阻器R

2

的最大阻值为10Ω，求：

(1)当变阻器的阻值为多大时，电源输出功率最大?电源输出的最

大功率是多少?电源的效率为多大?

(2)当变阻器的阻值R

2

为多大时变阻器消耗功率的最大?变阻器

消耗的最大功率是多少?

(3)当滑动变阻器的阻值R

2

为多大时,电阻R

1

消耗的功率最大?电阻R

1

消耗的最大功率

是多少?

【解析】（1）根据结论可知，当电路内外电阻相等时输出功率最大，即当变阻器的阻值

为2Ω时输出功率最大，P

max

=

E2

4r

=0.75W，效率为50%

（2）在变阻器变化过程中若R减小时，电路中的电流I增大，根据P=I2R无法直接判

断最大功率，我们可以借用以上结论，当我们把R

1

看作电源内阻时，R

2

就作为外电路了，

当内外电路电阻相等时，输出功率最大，所以当R

2

与等效内阻（R

1

+r）相等时，功率最大，

此时R

2

应等于4Ω，P=

E2

4r′

=

9

16

W

（3）不要顺着第（2）问的思路往下想，我们不把变阻器等效为电源的内阻，这样求解

非常麻烦，也没有必要，大家想一下，当通过R

1

的电流最大时，它的功率不就是最大吗？

即当R

2

=0时，电流最大，R

1

的功率也最大，I=

E

R

1

+r

=

3

4

AP=I2R=

9

16

W

2.定值电阻与滑动变阻器并联

例题2如图所示，电源电动势E=2V，内阻r=1Ω，电阻R

0

=2Ω，滑动变阻器的阻值范

围为0～10Ω．求：

（1）变阻器R的阻值为多大时，R

0

消耗的功率最大？

（2）变阻器R的阻值为多大时，R上消耗的功率最大？是多少？

（3）变阻器R的阻值为多大时，电源的输出功率最大？是多少？

【解析】

（1）当R

0

两端的电压最大时，R

0

消耗的功率最大，当R取最大值时，路端电压（即

并联电路两端的电压）最大，

R总=R并+r=

8

3

Ω，I总=

E

R总

=

3

4

AU路=E－Ir=

5

4

VP=

U路

2

R

0

=

25

32

W

（2）可以把电源和定值电阻R

0

合起来看作一个等效电源，等效电路图如图所示．

此时，电源和定值电阻看做电动势为E′=

R

0

R

0

+r

E=

4

3

V，等效电源内阻r′=

R

0

r

R

0

+r

=

2

3

Ω，

当R=r′时，即R=

2

3

Ω时R上消耗的功率最大，最大输出功率为P

max

=

E′2

4r′

=

(

4

3

)2

4×

2

3

=

2

3

W

（3）当内外电阻相等时，电源的输出功率最大，即R并=r，R=2Ω，P

max

=

E2

4r

=1W

小结：当把定值电阻等效为电源内阻时，串联、并联的区别：

串联：等效内阻r′=R

0

+r电动势不变

并联：等效内阻r′=

R

0

r

R

0

+r

，等效电源E′=

R

0

R

0

+r

E

说明：串联时，等效内阻是求R

0

与r的串联电阻，等效电源是当外电路断开时的路端

电压，所以电动势不变。

并联时，等效内阻是求R

0

与r的并联电阻，求等效电源的电动势可以这样考虑：如上

图的虚线框内作为等效电源，当外电路（变阻器）断开时的路端电压就等于等效电源的电

动势，而此时的路端电压就是R

0

两端的电压，U=

R

0

R

0

+r

E，此即为等效电源的电动势。

二．非纯电阻电路中最大功率的应用

例题3：直流电动机内阻r

0

=2Ω，电源电动势E=8V，内阻r=2Ω,

当开关S接通后，调节变阻器的阻值，当R=10Ω时，电源的输出功率

最大，求此时电动机输出的机械功率

【解析】由题知，该外电路为非纯电阻电路，由以上结论可知，

无论纯电阻还是非纯电阻电路，当I总=

E

2r

=2A时电源的输出功率最

大，此时电源路端电压U=E－Ir=4V,则有，通过变阻器的电流为I

R

=

U

R

=0.4A,所以通过电

动机的电流为I=I总－I

R

=1.6A,从而可求出电动机输出的机械功率为P出=UI－I2r=1.28W

练习：如图所示,电源电动势E=12V,内阻r=3Ω,R0=1Ω,直流电动机内阻R′0=1Ω,当

调节滑动变阻器R1时可使甲电路输出功率最大,调节R2时可使乙电路输出功率最大,且此时

M

电动机刚好正常工作(额定输出功率为P0=2W),甲图电流为I1,乙图电流为I2,则下列选项正

确的是()

A.I1=2A,I2=1A

B.I1=2A,I2=2A

C.R1=2Ω,R2=2Ω

D.R1=2Ω,R2=1.5Ω

练习1：如图所示电路中,电源电动势E恒定,内阻r=1Ω,定值电阻R

3

=5Ω,R

2

=5Ω,电容器

电容C恒定,当开关K

1

断开与闭合时,ab段电路消耗的电功率相等。开关K

1

断开时,单刀双

掷开关K

2

接1电容器电量为Q

1

,接2时电量Q

2

.则以下说法中正确的是(C)

A.电阻R

1

可能为3Ω

B.K

1

断开时电压表的示数一定小于K

1

闭合时的示数

C.K

1

断开时,K

2

从1变为2时,电容器所带电量变化量

△Q=2.8Q1

D.K

1

断开与闭合时，电压表的示数变化量大小与电流

表的示数变化量大小之比等于5Ω

【解析】

A项，可以利用结论：电源输出功率除了最大，每

个值都对应外电路电阻的两个值，而这两个值之间有关

系即r2=R

1

R

2

,如果把ab之间电路功率作为电源输出功率，则需要把R

3

等效为电源的内阻，

这样，ab之间就可以作为外电路了。等效内阻为r+R

3

=6Ω，由r2=R

1

R

2

可得：

62=R

1

(R

1

+5)，解得R

1

=4Ω，A项错误。

B项，当K1断开时，ab间的电阻增大，由于电阻增大时，U路增大，I总减小，所以

U

R3

减小，所以电压表示数增大。B项错误。

C项，K

1

断开时，R

1

、R

2

、R

3

以及电源组成简单的串联电路，当K

2

接1时，电容电压

等于R

3

的电压，当接2时，电容电压等于ab间电压，U

1

=IR

3

,U

2

=I(R

1

+R

2

)，所以

Q

1

Q

2

=

U

1

U

2

=

IR

3

I(R

1

+R

2

)

=

5

9

Q

2

=1.8Q

1

，由于当K

2

接1时,电容器右极板带正电,左极板带负电,当K

2

接2

时,电容器右极板带负电,左极板带正电,所以电容器所带电量变化量△Q=Q

1

+1.8Q

1

=2.8Q

1

.故

C正确。

D项，把R3看成电源的内阻，ab间为外电路，电压表的示数就可以看作路端电压，

故

ΔU

ΔI

=r+R

3

=6Ω，两种情况下比值相等，故D错误。

(参考资料：《对“电源输出功率最大的条件”的进一步探究》，作者：王承金，《物

理教学探讨》2011年第9期（上半月）)