极限公式

极限的保号性很重要就是说在一定区间内函数的正负与极限一致

1极限分为一般极限，还有个数列极限，（区别在于数列极限时发散的，是一般

极限的一种）

2解决极限的方法如下：（我能列出来的全部列出来了！！！！！你还能有补充么？？？）

1等价无穷小的转化，（只能在乘除时候使用，但是不是说一定在加减时候不能用但是

前提是必须证明拆分后极限依然存在）e的X次方-1或者（1+x）的a次方-1等价于A

x等等。全部熟记

（x趋近无穷的时候还原成无穷小）

2落笔他法则（大题目有时候会有暗示要你使用这个方法）

首先他的使用有严格的使用前提！！！！！！

必须是X趋近而不是N趋近！！！！！！！（所以面对数列极限时候先要转化成求x

趋近情况下的极限，当然n趋近是x趋近的一种情况而已，是必要条件

（还有一点数列极限的n当然是趋近于正无穷的不可能是负无穷！）

必须是函数的导数要存在！！！！！！！！（假如告诉你g（x）,没告诉你是否可导，

直接用无疑于找死！！）

必须是0比0无穷大比无穷大！！！！！！！！！

当然还要注意分母不能为0

落笔他法则分为3中情况

10比0无穷比无穷时候直接用

20乘以无穷无穷减去无穷（应为无穷大于无穷小成倒数的关系）所以无穷大都写

成了无穷小的倒数形式了。通项之后这样就能变成1中的形式了

30的0次方1的无穷次方无穷的0次方

对于（指数幂数）方程方法主要是取指数还取对数的方法，这样就能把幂上的函数移下

来了，就是写成0与无穷的形式了，（这就是为什么只有3种形式的原因，LNx两端

都趋近于无穷时候他的幂移下来趋近于0当他的幂移下来趋近于无穷的时候LNX趋近于

0）

3泰勒公式(含有e的x次方的时候，尤其是含有正余旋的加减的时候要特变注

意！！！！）

E的x展开sina展开cos展开ln1+x展开

对题目简化有很好帮助

4面对无穷大比上无穷大形式的解决办法

取大头原则最大项除分子分母！！！！！！！！！！！

看上去复杂处理很简单！！！！！！！！！！

5无穷小于有界函数的处理办法

面对复杂函数时候，尤其是正余旋的复杂函数与其他函数相乘的时候，一定要注意这个方

法。

面对非常复杂的函数可能只需要知道它的范围结果就出来了！！！

6夹逼定理（主要对付的是数列极限！）

这个主要是看见极限中的函数是方程相除的形式，放缩和扩大。

7等比等差数列公式应用（对付数列极限）（q绝对值符号要小于1）

8各项的拆分相加（来消掉中间的大多数）（对付的还是数列极限）

可以使用待定系数法来拆分化简函数

9求左右求极限的方式（对付数列极限）例如知道Xn与Xn+1的关系，已知Xn的极限存

在的情况下，xn的极限与xn+1的极限时一样的，应为极限去掉有限项目极限值不变化

102个重要极限的应用。这两个很重要！！！！！对第一个而言是X趋近0时候的sin

x与x比值。地2个就如果x趋近无穷大无穷小都有对有对应的形式

（地2个实际上是用于函数是1的无穷的形式）（当底数是1的时候要特别注意可能

是用地2个重要极限）

11还有个方法，非常方便的方法

就是当趋近于无穷大时候

不同函数趋近于无穷的速度是不一样的！！！！！！！！！！！！！！！

x的x次方快于x！快于指数函数快于幂数函数快于对数函数（画图也

能看出速率的快慢）!!!!!!

当x趋近无穷的时候他们的比值的极限一眼就能看出来了

12换元法是一种技巧，不会对模一道题目而言就只需要换元，但是换元会夹杂其中

13假如要算的话四则运算法则也算一种方法，当然也是夹杂其中的

14还有对付数列极限的一种方法，

就是当你面对题目实在是没有办法走投无路的时候可以考虑转化为定积分。一般是从0

到1的形式。

15单调有界的性质

对付递推数列时候使用证明单调性！！！！！！

16直接使用求导数的定义来求极限，

（一般都是x趋近于0时候，在分子上f（x加减麽个值）加减f（x）的形式，看见了

有特别注意）

（当题目中告诉你F(0)=0时候f（0）导数=0的时候就是暗示你一定要用导数定

义！！！！）

求导公式

c'=0(c为常数）

(x^a)'=ax^(a-1),a为常数且a≠0

(a^x)'=a^xlna

(e^x)'=e^x

(logax)'=1/(xlna),a>0且a≠1

(lnx)'=1/x

(sinx)'=cosx

(cosx)'=-sinx

(tanx)'=(cx)^2

(cx)'=cxtanx

(cotx)'=-(cscx)^2

(cscx)'=-csxcotx

(arcsinx)'=1/√(1-x^2)

(arccosx)'=-1/√(1-x^2)

(arctanx)'=1/(1+x^2)

(arccotx)'=-1/(1+x^2)

(shx)'=chx

(chx)'=shx

（uv)'=uv'+u'v

(u+v)'=u'+v'

(u/)'=(u'v-uv')/^2

出师表

两汉：诸葛亮

先帝创业未半而中道崩殂，今天下三分，益州疲弊，此诚危急存亡之秋也。然侍卫之臣

不懈于内，忠志之士忘身于外者，盖追先帝之殊遇，欲报之于陛下也。诚宜开张圣听，以光

先帝遗德，恢弘志士之气，不宜妄自菲薄，引喻失义，以塞忠谏之路也。

宫中府中，俱为一体；陟罚臧否，不宜异同。若有作奸犯科及为忠善者，宜付有司论其

刑赏，以昭陛下平明之理；不宜偏私，使内外异法也。

侍中、侍郎郭攸之、费祎、董允等，此皆良实，志虑忠纯，是以先帝简拔以遗陛下：愚

以为宫中之事，事无大小，悉以咨之，然后施行，必能裨补阙漏，有所广益。

将军向宠，性行淑均，晓畅军事，试用于昔日，先帝称之曰“能”，是以众议举宠为督：

愚以为营中之事，悉以咨之，必能使行阵和睦，优劣得所。

亲贤臣，远小人，此先汉所以兴隆也；亲小人，远贤臣，此后汉所以倾颓也。先帝在时，

每与臣论此事，未尝不叹息痛恨于桓、灵也。侍中、尚书、长史、参军，此悉贞良死节之臣，

愿陛下亲之、信之，则汉室之隆，可计日而待也。

臣本布衣，躬耕于南阳，苟全性命于乱世，不求闻达于诸侯。先帝不以臣卑鄙，猥自枉

屈，三顾臣于草庐之中，咨臣以当世之事，由是感激，遂许先帝以驱驰。后值倾覆，受任于

败军之际，奉命于危难之间，尔来二十有一年矣。

先帝知臣谨慎，故临崩寄臣以大事也。受命以来，夙夜忧叹，恐托付不效，以伤先帝之

明；故五月渡泸，深入不毛。今南方已定，兵甲已足，当奖率三军，北定中原，庶竭驽钝，

攘除奸凶，兴复汉室，还于旧都。此臣所以报先帝而忠陛下之职分也。至于斟酌损益，进尽

忠言，则攸之、祎、允之任也。

愿陛下托臣以讨贼兴复之效，不效，则治臣之罪，以告先帝之灵。若无兴德之言，则责

攸之、祎、允等之慢，以彰其咎；陛下亦宜自谋，以咨诹善道，察纳雅言，深追先帝遗诏。

臣不胜受恩感激。

今当远离，临表涕零，不知所言。