三角函数的周期

13~14学年度第二学期教学论文

1

如何求三角函数的周期

徐州大屯矿区第一中学李秀学

摘要：求三角函数的周期，若函数式比较简单，可利用定义或周期公式直接求解，若函

数式比较复杂，则需要把函数式变形后再利用定义或周期公式求解，因此掌握方法很重要．

关键词：三角函数周期方法

三角函数的的周期是三角函数的重要性质，对于不同的三角函数式，如何求三角函数的

周期也是一个难点，下面通过几个例题谈谈三角函数周期的求法．

1、根据周期性函数的定义求三角函数的周期

例1求下列函数的周期xy2sin)1(,

3

2

tan)2(

x

y．

(1)分析：根据周期函数的定义，问题是要找到一个最小正数

T

，对于函数定义域内的

每一个x值都能使xTx2sin)(2sin＝成立，同时考虑到正弦函数xysin的周期是

2

．

解：∵)(2sin)22sin(2sinxxx,即xx2sin)(2sin．

∴当自变量由x增加到x时，函数值重复出现，因此xy2sin的周期是．

(2)分析：根据周期函数的定义，问题是要找到一个最小正数

T

，对于函数定义域内

的每一个x值都能使

3

2

tan)(

3

2

tan

x

Tx

成立，同时考虑到正切函数xytan的周期

是．

解：∵

)

2

3

(

3

2

tan)

3

2

tan(

3

2

tanx

xx

,即

3

2

tan)

2

3

(

3

2

tan

x

x．

∴函数

3

2

tan

x

y的周期是

2

3

．

注意：1、根据周期函数的定义，周期

T

是使函数值重复出现的自变量x的增加值，

如),2()2(xfTxf周期不是

T

，而是

T

2

1

；2、”“)()(xfTxf是定义域内

的恒等式，即对于自变量x取定义域内的每个值时，上式都成立．

2、根据公式求周期

对于函数BxAy)sin(或BxAy)cos(的周期公式是

||

2





T，

对于函数BxAy)tan(或Bxy)cot(的周期公式是

||



T．

例3求函数

)

62

3

sin(3



xy的周期

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2

解：

3

4

2

3

2

T．

3、把三角函数表达式化为一角一函数的形式，再利用公式求周期

例4求函数xxxy2sin2cossin32的周期

解：12cos2sin3sin2cossin322xxxxxy

1)

6

2sin(21)2cos

2

1

2sin

2

3

(2



xxx

∴





2

2

T．

例5已知函数),

3

cos

3

(sin

3

sin)(

xxx

xf求周期

解：∵

3

2

sin

2

1

)

3

2

cos1(

2

1

3

cos

3

sin

3

sin)(2

xxxxx

xf

)

43

2

sin(

2

2

2

1

)

3

2

cos

3

2

(sin

2

1

2

1



xxx

∴



3

3

2

2

T．

4、遇到绝对值时，可利用公式2||aa

,化去绝对值符号再求周期

例6求函数|cos|xy的周期

解：∵

2

2cos1

cos|cos|2

x

xxy





∴





2

2

T．

例7求函数|cos||sin|xxy的周期

解：∵xxxxxxy2sin1|2sin|1|cos||sin||cos||sin|2

2

)4cos1(

2

1

1

2

4cos1

1x

x







∴函数|cos||sin|xxy的最小正周期

24

2

T．

5、若函数)()()(

21

xfxfxfy

k

，且)(,),(),(

21

xfxfxf

k

，都是周

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3

期函数，且最小正周期分别为

k

TTT,,

21

，如果找到一个正常数T,使

kk

TnTnTnT

2211

，(

k

nnn,,,

21

均为正整数且互质)，则T就是

)()()(

21

xfxfxfy

k

的最小正周期．

例8求函数xxy

2

1

cossin的周期

解：∵

xsin

的最小正周期是2

1

T，x

2

1

cos的最小正周期是4

2

T．

∴函数

y

的周期

2211

TnTnT，把

21

TT，代入得

21

42nn，即

21

2nn，

因为

21

,nn为正整数且互质，所以1,2

21

nn．

函数xxy

2

1

cossin的周期422

11

TnT．

例9求函数

xxy

4

3

cos

3

2

sin的周期

解：∵

x

3

2

sin的最小正周期是



3

3

2

2

1

T，x

4

3

cos的最小正周期是

3

8

4

3

2

2



T，

由

2211

TnTn，

213

8

3nn



，

21

89nn(

21

,nn为正整数且互质),

得9,8

21

nn．

所以函数

xxy

4

3

cos

3

2

sin的周期是2438

11

TnT．