根号运算法则

根式的运算

平方根与立方根

一、知识要点

1、平方根：

⑴、定义：如果x2=a，则x叫做a的平方根，记作“a”（a称为被开方数）。

⑵、性质：正数的平方根有两个，它们互为相反数；0的平方根是0；负数没有平方根。

⑶、算术平方根：正数a的正的平方根叫做a的算术平方根，记作“a”。

2、立方根：

⑴、定义：如果x3=a，则x叫做a的立方根，记作“3a”（a称为被开方数）。

⑵、性质：正数有一个正的立方根；0的立方根是0；负数有一个负的立方根。

3、开平方（开立方）：求一个数的平方根（立方根）的运算叫开平方（开立方）。

二、规律总结：

1、平方根是其本身的数是0；算术平方根是其本身的数是0和1；立方根是其本身的

数是0和±1。

2、每一个正数都有两个互为相反数的平方根，其中正的那个是算术平方根；任何一

个数都有唯一一个立方根，这个立方根的符号与原数相同。

3、a本身为非负数，即a≥0；a有意义的条件是a≥0。

4、公式：⑴(a)2=a（a≥0）；⑵3a=3a（a取任何数）。

5、非负数的重要性质：若几个非负数之和等于0，则每一个非负数都为0（此性质应用很

广，务必掌握）。

例1求下列各数的平方根和算术平方根

（1）64；（2）2)3(；（3）

49

15

1

；⑷

2

1

(3)

例2求下列各式的值

（1）81；（2）16；（3）

25

9

；（4）2)4(

.

（5）44.1，（6）36，（7）

49

25



（8）2)25(

例3、求下列各数的立方根：

⑴343；⑵

10

2

27



；⑶0.729

二、巧用被开方数的非负性求值.

大家知道，当a≥0时，a的平方根是±a，即a是非负数.

例4、若,622yxx求yx的立方根.

练习：已知,21221xxy求yx的值.

三、巧用正数的两平方根是互为相反数求值.

我们知道，当a≥0时，a的平方根是±a，而.0)()(aa

例5、已知：一个正数的平方根是2a-1与2-a，求a的平方的相反数的立方根.

练习：若

32a

和

12a

是数m的平方根，求m的值.

四、巧解方程

例6、解方程（1）（x+1）2=36（2）27(x+1)3=64

五、巧用算术平方根的最小值求值.

我们已经知道0a,即a=0时其值最小,换句话说a的最小值是零.

例4、已知：y=)1(32ba,当a、b取不同的值时，y也有不同的值.当y最小时,求

ba的非算术平方根.

练习：

1、若一个数的平方根是8，则这个数的立方根是（）．

A．2B．2C．4D．4

2、144的算术平方根是，16的平方根是；

3、若

m

的平方根是51a和19a，则

m

=．

4、327=，64的立方根是；

5、7的平方根为，21.1=；

6、一个数的平方是9，则这个数是，一个数的立方根是1，则这个数是；

7、平方数是它本身的数是；平方数是它的相反数的数是；

8、当x=时，13x有意义；当x=时，325x有意义；

9、若

164x

，则x=；若

813n，则n=；

10、若3xx，则x=；若xx2，则x；

11、15的整数部分为a,小数部分为b,则a=____,b=____

12、解方程：0324)1(2x（2）3125(2)343x

（3）264(3)90x（4）3

1

(1)80

2

x

13、已知233(2)0xyz，求xyz的值。

14、若

2244

2

xx

y

x







，求

2xy

的值．

15、已知：ｘ－2的平方根是±2,2ｘ+ｙ+7的立方根是3，求ｘ2+ｙ2的平方根．

16、若12112xxy，求xy的值。

二次根式

一、知识点

1.二次根式：式子a（

a

≥0）叫做二次根式。

2.最简二次根式：必须同时满足下列条件：

⑴被开方数中不含开方开的尽的因数或因式；⑵被开方数中不含分母；⑶分母中不

含根式。

3.同类二次根式：

二次根式化成最简二次根式后，若被开方数相同，则这几个二次根式就是同类二次根

式。

4.二次根式的性质：

（1）（a）2=a（a≥0）；（2）

5.二次根式的运算：

⑴二次根式的加减运算：

先把二次根式化成最简二次根式，然后合并同类二次根式即可。

⑵二次根式的乘除运算：

①ab=ba•（

a

≥0,b≥0）；②0,0ba

b

a

b

a

【例题讲解】

一、利用二次根式的双重非负性来解题（0a（a≥0），即一个非负数的算术平方根是

一个非负数。）

例1：x取何值时，下列各式在实数范围内有意义。

（1）（2）

12

1





x

（3）

4

5





x

x

(4).

（＞0）

（＜0）

0（=0）；

例2：若20042005aaa，则22004a

=_____________；

若

433xxy

，则

yx

【基础训练】

1、下列各式中一定是二次根式的是（）。

A、3；B、x；C、12x；D、1x

2、若1)1(xxxx，则x的取值范围是

3、若

1

3

1

3











x

x

x

x

，则x的取值范围是。

4、若20m是一个正整数，则正整数m的最小值是________．

5、设m、n满足

3

29922







m

mm

n

，则mn=。

6、若三角形的三边a、b、c满足

3442baa

=0，则第三边c的取值范围是

7、若

0|84|myxx

，且0y时，则（）

A、

10m

B、

2m

C、

2m

D、

2m

二、利用二次根式的性质2a=|a|=

















)0(

)0(0

)(

aa

a

baa

(即一个数的平方的算术平方根等于这个数的

绝对值)来解题

【例题讲解】

例1：已知233xx

＝－x3x

，则（）

A.x≤0B.x≤－3Ｃ.x≥－3D.－3≤x≤0

例2：化简

2

1

)2(





x

x

的结果为（）

A、x2；B、2x；C、2xD、x2

【基础训练】

1、已知a

A．abaB．abaC．abaD．aba

2、若化简|1-x|-

1682xx

的结果为2x-5则（）

A、x为任意实数B、1≤x≤4C、x≥1D、x≤4

3、已知a，b，c为三角形的三边，则222)()()(acbacbcba

=

4、化简)0(||2yxxyx的结果是（）

A．xy2B．yC．yx2D．y

5、已知：221aaa

=1，则a的取值范围是（）。

A、0a；B、1a；C、0a或1；D、1a

三、二次根式的化简与计算（主要依据是二次根式的性质：（a）2=a（a≥0），即

||2aa

以及混合运算法则）

【例题讲解】

（一）化简与求值

例1：把下列各式化成最简二次根式：

（1）

8

3

3

（2）224041

（3）

2

255m（4）224yxx

例二：计算：2

50

5

1

12

2

1

8

3

1

33

【基础训练】

1、下列哪些是同类二次根式：（1）

75

，

27

1

，

12

，

2

，

50

1

，3，

10

1

；（2）

,533cba

323cba

，

4c

ab

，a

bc

a

2、计算下列各题：

（1）6

)33(27

（2）

4

9

12

3a

ab

；（3）

a

c

c

b

b

a

53

6

5

4



（4）

24

182

（5）－

54

5

3

2

1

3、已知

1018

2

2

2

x

x

x

x

，则x等于（）A．4B．±2C．2D．±4

4、

21

1



＋

32

1



＋

43

1



＋…＋

10099

1



（二）先化简，后求值：

1.直接代入法：已知

),57(

2

1

x),57(

2

1

y

求(1)22yx(2)

y

x

x

y



2.变形代入法：

（1）变条件：①已知：

13

2



x，求12xx的值。

②.已知:x=

23

23

,

23

23











y

，求3x2－5xy+3y2的值

（2）变结论：

1、设3=a，30=b，则0.9=。

2、已知12,12yx，求

xyyxxy

yx

3

3





。

3、已知

5yx

，

3xy

，（1）求

x

y

y

x



的值（2）求

yx

yx





的值

四、关于求二次根式的整数部分与小数部分的问题

1.估算31－2的值在哪两个数之间（）A．1～2B.2～3C.3～4D.4～5

2．若3的整数部分是a，小数部分是b，则ba3

3.已知9+13913与的小数部分分别是a和b，求ab－3a+4b+8的值

4.若a，b为有理数，且8+18+

8

1=a+b2，则ba=.

五、二次根式的比较大小

（1）

32200

5

1

和

（2）－5566和（3）13151517和

（4）设a=23,

32b

,25c,则（）



六、实数范围内因式分解：

9x2－5y24x4－4x2＋1x4+x2－6

练习：

1、若，则xy的值为（）

A．B．C．D．

2、若230ab，则2ab．

3、计算：

（1）（2

（3）．（4）．

4、先将

2

2

x

x





÷

322

x

xx

化简，然后自选一个合适的x值，代入化简后的式子求值。

5、如图，实数

a

、b在数轴上的位置，

化简：222()abab

6、若，则的取值范围是

A．B．C．D．

7、如图，数轴上两点表示的数分别为1和，点关于点的对称点为点，则点

所表示的数是

baybax,

a2b2

baba

A．B．C．D．

8、已知：

1

110a

a



，求2

2

1

a

a



的值。

9、已知：,xy为实数，且113yxx，化简：23816yyy。

10、已知

1

1

0

3

93

2

2











y

x

x

xyx

，求

11、先阅读下列的解答过程，然后作答：

有这样一类题目：将

2ab

化简，若你能找到两个数m和n，使

22mna

且

mnb

，

则

2ab

可变为

222mnmn

，即变成

2()mn

开方，从而使得

2ab

化

简。

例如：

526

=

3226

=222(3)(2)223(32)

，

∴

2526(32)32

请仿照上例解下列问题：

（1）526

；（2）

423

二次根式运算的技巧

二次根式的运算通常是根据其运算法则进行计算的，但在计算过程中若能巧妙地运用

一些数学思想方法，可使问题化繁为简，易于计算。下面举例说明二次根式的运算技巧：

一、巧移因式法

例1、计算)3418)(4823(

分析：将3423、根号外的因式移到根号内，然后用平方差公式计算比较简便，或先

把1848、化简，然后利用平方差公式计算

解：原式=

)3418)(4823(22

=)4818)(4818(

=18-48

=-30

二、巧提公因数法

例2、计算)3225)(65(

分析：∵2=2)2(∴3225中有公因数

2

，提出公因数

2

后，可用平方差公式计

算

解：原式=]3)2(25)[65(2

=)]65(2)[65(

=)65)(65(2

=

2

（25-6）

=19

2

三、公式法

例3、计算)632)(632(

分析：巧分组，出奇制胜，整式的乘法公式对二次根式的乘法也适用，本题用平方差公式

来计算很简便

解：原式=]3)62][(3)62[(

=22)3()62(

=366222

=345

四、因式分解法

例4、计算)()2(yxyxyx

分析：本题若直接按乘除法则计算，显然很麻烦，若适当分解因式约去公因式，则运

算很简便

解：原式=)(])(2)[(22yxyxyx

=)()(2yxyx

=yx

五、拆项法

例5、化简

)23)(36(

23346





分析：本题若直接计算显然很麻烦，若仔细观察将分子拆项，则计算会很简便

解：原式=

)23)(36(

)23(3)36(





=

36

3

23

1







=3623

=26

六、配方法

例6、计算

3819625223

分析：此题是双二次根式的加减，必须把复合二次根式化为一般二次根式，可将根号里的

式子化成完全平方式，使问题便于计算

解：原式=222)34()23()21(

=)34()23()12(

=-5

七、整体代入，别开生面

例5.已知，求下列各式的值。

（1）（2）

分析：根据x、y值的特点，可以求得，如果能将所求

的值的式子变形为关于或xy的式子，再代入求值要比直接代入求值简单得

多。

解：因为

所以

（1）

（2）

（也可以将变为来求）

八、巧换元，干净利索

例6.计算

分析：此算式中的两个公式互为倒数，若设，

则原式

而

原式

解：设

则

所以原式

例7.计算

分析：有两种方法，一种换元，一种配方。

解法1：设

两边平方

因为

所以

即

解法2：原式

所以遇到二次根式运算一定认真审题、仔细琢磨，能否找到运算技巧，达到事半功倍

效果

二次根式的运算测试题

姓名班级学号

一．选择题（本题30分，每小题3分）：

1．化简3－3(1－3)的结果是()

A．3B．－3C.3D．－3

2．计算(28－23＋7)×7＋84的结果是()

A．117B．153C．21D．24

3．计算(32＋53)×(32－53)的结果是()

A．－57B．57C．－53D．53

4．计算













a＋

1

a

2

－













a－

1

a

2

的结果是()

A．2B．4C．2aD．4a

5．2×(2－3)＋6的值是________；

6．化简：3×(2－3)－24－|6－3|＝________．

7．计算()50－8

÷2的结果是________．

8、计算：

40＋5

5

＝________．

9、有下列计算：①(m2)3＝m6；②4a2－4a＋1＝2a－1；③m6÷m2＝m3；④27×50÷6＝

15；⑤212－23＋348＝143.其中正确的运算有________．

10、计算：(2＋1)(2－1)＝________．

二、计算题（本题30分，每小题5分）：

(1)













8

27

－53

×6；(2)(5＋6)×(52－23)；

(3)945÷3

1

5

×

3

2

2

2

3

；(4)

1

3＋2

＋

1

2＋1

－

1

3－1

.

(5)38×(54－52－26)；(6)a(a＋2)－

a2b

b

；

二、解答题（本题40分，每小题10分）：

1、已知a＝5＋2，b＝5－2，求a2＋b2＋7的值？

2、已知x1

＝3＋2，x

2

＝3－2，求x2

1

＋x2

2

？

3、已知x－y＝3，求代数式(x＋1)2－2x＋y(y－2x)的值．

4、先化简，再求值：(a2b＋ab)÷

a2＋2a＋1

a＋1

，其中a＝3＋1，b＝3－1.