绝对值是指一个数在数轴上所对应点到原点的距离,用“| |”来表示。|b-a|或|a-b|表示数轴上表示a的点和表示b的点的距离。
在数学中,绝对值或模数|x|为非负值,而不考虑其符号,即|x|=x表示正x,|x|=-x表示负x(在这种情况下-x为正),|0|=0。例如,3的绝对值为3,-3的绝对值也为3。数字的绝对值可以被认为是与零的距离。
实数的绝对值的泛化发生在各种各样的数学设置中,例如复数、四元数、有序环、字段和向量空间定义绝对值。绝对值与各种数学和物理环境中的大小,距离和范数的概念密切相关。
中文名绝对值
外文名absolute value
表达式|a|
提出者外尔斯特拉斯
提出时间适用领域数学
所属学科数学
符 号| |
学习时间高中一年级、初中一年级
意义几何意义在数轴上,一个数到原点的距离叫做该数的绝对值。表示数轴上表示a的点和表示b的点的距离。
应用:|5|指在数轴上5与原点的距离,这个距离是5,所以5的绝对值是5。同样,指在数轴上表示-5与原点的距离,这个距离是5,所以-5的绝对值也是5。指数轴上-3和-2点的距离,这个式子值是1。同样也表示3和2点的距离。
代数意义非负数(正数和0)的绝对值是它本身,非正数(负数和0)的绝对值是它的相反数。
实数a的绝对值永远是非负数,即。互为相反数的两个数的绝对值相等,即(因为在数轴上它们到原点的距离相等)。
若a为正数,则满足的x有两个值±a,如,则。
应用举例正数的绝对值是它本身;负数的绝对值是它的相反数;0的绝对值还是0。特殊的零的绝对值既是它的本身又是它的相反数,写作。
任何有理数的绝对值都是非负数,也就是说任何有理数的绝对值都大于等于0。
任何纯虚数的绝对值是就是虚部的绝对值(如:)。
当a≥0时,;
当a<0时,;
存在。
两个负数比较大小,绝对值大的反而小。
一对相反数的绝对值相等。
计算机语言计算机语言中,正数的二进制首位(即符号位)为0,负数的二进制首位为1。
32位系统下,4字节数,求绝对值的函数为abs(x)。
无论是绝对值的代数意义还是几何意义,都揭示了绝对值的以下有关性质:
(1)任何有理数的绝对值都是大于或等于0的数,这是绝对值的非负性。
(2)绝对值等于0的数只有一个,就是0。
(3)绝对值等于同一个正数的数有两种,这两个数互为相反数或相等。
(4)互为相反数的两个数的绝对值相等。
(5)正数的绝对值是它本身。
(6)负数的绝对值是它的相反数。
(7)0的绝对值是0。
绝对值等式、不等式:
(1)若,则
(2)
(3)
(4)
这个性质一般用在含绝对值的一元二次方程中。
(5)
由此可以得出推论,因为
绝对值不等式(1)解绝对值不等式必须设法化去式中的绝对值符号,转化为一般代数式类型来解;
(2)证明绝对值不等式主要有两种方法:
A)去掉绝对值符号转化为一般的不等式证明:换元法、讨论法、平方法;
B)利用不等式:,用这个方法要对绝对值内的式子进行分拆组合、添项减项、使要证的式子与已知的式子联系起来。
无符号数计算如果把三个女性记为-3,把四个男性记为+4,问有几个人,计算方法是两个数的绝对值相加,也就是7个人。如果问男女差是多少,计算方法是相对数相加,是+1。
如果把向南走1公里记为+1,把向北走2公里记为-2,问走了多少公里,计算方法是两个数的绝对值相加,也就是3公里。如果问相对走了多少公里,计算方法是相对数相加,是-1。
如果把向零上的10度记为+10,把零下5度记为-5,上下差多少度,计算方法是两个数的绝对值相加,也就是15度。如果问温的和是多少度,计算方法就是相对数相加,是+5。
如果题中没有说什么是正,如:邮递员送信先向南10米,再向北5米,做题前必须写:记什么为正,一般不用写另一个,因为不是正就是负,知道一个就行了。
所以对于绝对值的概念也是有争议的。有人并不认为绝对值就一定是正数。这说明数学也是在不断发展之中的。而我们的见到的数学只是历史的过程中的一个阶段之一,没有影响到正常的学习。
求两个数的最大值利用绝对值可以求两个数中的最大值,公式如下:
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