欧拉常数（数学名词）

欧拉常数（数学名词）

欧拉常数 （数学名词） 次浏览 | 2022.09.29 11:40:33 更新 来源 ：互联网 精选百科 本文由作者推荐 欧拉常数数学名词

欧拉常数最先由瑞士数学家莱昂哈德·欧拉(Leonhard Euler)在1735年发表的文章De Progressionibus harmonicus obrvationes中定义。欧拉曾经使用C作为它的符号，并计算出了它的前6位小数。1761年他又将该值计算到了16位小数。1790年，意大利数学家马歇罗尼（Lorenzo Mascheroni)引入了γ作为这个常数的符号，并将该常数计算到小数点后32位。但后来的计算显示他在第20位的时候出现了错误。欧拉数以世界著名数学家欧拉名字命名；还有一个鲜为人知的名字纳皮尔常数，用来纪念苏格兰数学家约翰·纳皮尔 (John Napier) 引进对数。

中文名

欧拉常数

外文名

Euler–Mascheroni constant

提 出

莱昂哈德·欧拉

符 号

γ

领 域

数学

全 名

欧拉-马歇罗尼常数

简介

欧拉常数又称欧拉-马斯克若尼常数，近似值为γ≈0.577215664901532860606512090082402431042159335。

欧拉常数最先由瑞士数学家莱昂哈德·欧拉(Leonhard Euler)在1735年发表的文章De Progressionibus harmonicus obrvationes中定义。欧拉曾经使用C作为它的符号，并计算出了它的前6位小数。1761年他又将该值计算到了16位小数。1790年，意大利数学家马歇罗尼（Lorenzo Mascheroni)引入了γ作为这个常数的符号，并将该常数计算到小数点后32位。但后来的计算显示他在第20位的时候出现了错误。

概述

欧拉常数（Euler-Mascheroni constant)

欧拉-马歇罗尼常数(Euler-Mascheroni constant)是一个主要应用于数论的数学常数。它的定义是调和级数与自然对数的差值的极限。

由无穷级数理论可知，调和级数是发散的。但可以证明，

存在极限。由不等式可得

故有下界。而

再一次根据不等式取，即可得

所以单调递减。由单调有界数列极限定理，可知必有极限，即

存在。该极限被称作欧拉常数，现在通常将该常数记为γ。

性质

与伽玛函数的关系

与黎曼函数的关系

积分

级数展开式

连分数展开式（OEIS中的数列A002852）。

渐近展开式

已知位数

欧拉常数约为0.57721566490153286060651209。

日期	位数	计算者
1734年	6	莱昂哈德·欧拉
1736年	15	莱昂哈德·欧拉
1790年	19	Lorenzo Mascheroni
1809年	24	Johann G. von Soldner
1812年	40	F.B.G. Nicolai
1861年	41	Oettinger
1869年	59	William Shanks
1871年	110	William Shanks
1878年	263	约翰·柯西·亚当斯
1962年	1,271	高德纳
1962年	3,566	D.W. Sweeney
1977年	20,700	Richard P. Brent
1980年	30,100	Richard P. Brent和埃德温·麦克米伦
1993年	172,000	Jonathan Borwein
1997年	1,000,000	Thomas Papanikolaou
1998年12月	7,286,255	Xavier Gourdon
1999年10月	108,000,000	Xavier Gourdon和Patrick Demichel
2006年7月16日	2,000,000,000	Shigeru Kondo和Steve Pagliarulo
2006年12月8日	116,580,041	Alexander J. Yee
2007年7月15日	5,000,000,000	Shigeru Kondo和Steve Pagliarulo
2008年1月1日	1,001,262,777	Richard B. Kreckel
2008年1月3日	131,151,000	Nicholas D. Farrer
2008年6月30日	10,000,000,000	Shigeru Kondo和Steve Pagliarulo
2009年1月18日	14,922,244,771	Alexander J. Yee和Raymond Chan
2009年3月13日	29,844,489,545	Alexander J. Yee和Raymond Chan
2011年9月21日	970,258,158	Eric Weisstein [3]
2013年7月22日	4,851,382,841	Eric Weisstein [3]

计算方法

Xavier Gourdon在1999年使用以下算法计算欧拉常数到了108,000,000位：

对给定的，计算：

则有

其中，

满足方程。

对给定的n，此方法可以得到接近位的十进制小数精度。

参考资料