对数求导法（求函数导数的方法）

对数求导法（求函数导数的方法）

对数求导法 （求函数导数的方法） 次浏览 | 2022.11.27 11:25:58 更新 来源 ：互联网 精选百科 本文由作者推荐 对数求导法求函数导数的方法

对数求导法是一种求函数导数的方法。

取对数的运算可将幂函数、指数函数及幂指函数运算降格成为乘法运算，可将乘法运算或除法运算降格为加法或减法运算，使求导运算计算量大为减少。

对数求导法应用相当广泛。

中文名

对数求导法

适用领域

数学

所属学科

数学、高数

领 域

数学

作 用

求函数导数

优 点

求导运算计算量大为减少

定义

对求导的函数其两边先取对数，再同求导，就得到求导结果。这里需要补充说明，。因为，的导数是。

这种求导方法就称为取对数求导法 。简称对数求导法。[1]

原理

对数求导法的原理就是

（1）换底，即；

（2）复合函数求导法则，即。

适用性

函数是乘积形式、商的形式、根式、幂的形式、指数形式或幂指函数形式的情况，求导时比较适用对数求导法，这是因为：取对数可将乘法运算或除法运算降格为加法或减法运算，取对数的运算可将根式、幂函数、指数函数及幂指函数运算降格成为乘除运算。

求导举例

（1）设，求。

解 取对数得，求导得，所以。

（2）设，求

解取对数得，

求导得

（3）设函数由方程所确定，且已知，求。

解方程两边对求导，得，

，求得

将代入得。

注 这里由于整体上是个减法，所以先取对数没有用。如果写为，那是错的，对数没有这样的运算性质。

应用举例

求函数在区间上的最小值，函数在区间上的最大值。

解和在区间上连续且可导，

（1）取对数得，求导得，所以，

x	(0,1/e)	1/e	(1/e,+∞)
f '(x)	负	0	正
f(x)	单调减少	最小值	单调增加

函数在区间上的最小值为

（2）取对数得，求导得，所以，

x	(0,e)	e	(e,+∞)
g'(x)	正	0	负
g(x)	单调增加	最大值	单调减少

函数在区间上的最大值为。

参考资料