三角形中线定理（数学几何学术语）

三角形中线定理（数学几何学术语）

三角形中线定理 （数学几何学术语） 次浏览 | 2022.07.09 18:43:15 更新 来源 ：互联网 精选百科 本文由作者推荐 三角形中线定理数学几何学术语

中线定理是一种数学原理，指的是三角形一条中线两侧所对的边平方和等于底边平方的一半与该边中线平方的两倍的和。

中文名

三角形中线定理

英文名

pappus定理

别称

阿波罗尼奥斯定理

表达式

AB²+AC²=2(BI²+AI²)

提出者

阿波罗尼奥斯

学科

数学几何

适用领域范围

三角

中线定义

中线定理（pappus定理），又称重心定理，是欧氏几何的定理，表述三角形三边和中线长度关系。 

定理内容：三角形一条中线两侧所对边平方的和等于底边的平方的一半加上这条中线的平方的2倍。

中线定理

中线定理（pappus定理），又称阿波罗尼奥斯定理，是欧氏几何的定理，表述三角形三边和中线长度关系。

定理内容：三角形一条中线两侧所对边平方和等于底边的一半平方与该边中线平方和的2倍。

即，对任意三角形△ABC，设I是线段BC的中点，AI为中线，则有如下关系：

AB²+AC²=2(BI²+AI²)

或作AB²+AC²=1/2（BC）²+2AI²

定理证明

第一种是以中点为原点，在水平和竖直方向建立坐标系，

设：A(m,n),B(-a,0),C(a,0)，

则：(AD)²+(CD)²=m²+n²+a²

(AB)²+(AC)²=(m+a)²+n²+(m-a)²+n²=2(m²+a²+n²)

∴(AB)²+(AC)²=2[(AD)²+(CD)²]

第二种是在不同三角形中，对同一个角用两次余弦定理，比如对图示中的∠B（或者∠C）在△ABD和△ABC（或者△ACD和△ABC）使用余弦定理，从而直接得到三角形边长的关系，进而得证。

参考资料