庞加莱猜想（数学猜想难题）

庞加莱猜想（数学猜想难题）

庞加莱猜想 （数学猜想难题） 次浏览 | 2022.10.03 10:04:18 更新 来源 ：互联网 精选百科 本文由作者推荐 庞加莱猜想数学猜想难题

庞加莱猜想是法国数学家庞加莱在1904年发表的一组论文中，提出的以下猜想：任一单连通的、封闭的三维流形与三维球面同胚。2006年被确认由俄罗斯数学家格里戈里·佩雷尔曼最终证明，他也因此在同年被授予菲尔兹奖，但并未现身领奖。

中文名

庞加莱猜想

外文名

Poincaré conjecture

提出者

庞加莱

提出时间

适用领域

拓扑学

简介

庞加莱猜想是法国数学家庞加莱提出的一个猜想，是克雷数学研究所悬赏的数学方面七大千禧年难题之一。[1]

该猜想是一个属于代数拓扑学领域的具有基本意义的命题，对庞加莱猜想的証明及其带来的后果将会加深数学家对流形性质的认识，甚至会对人们用数学语言描述宇宙空间产生影响。

解释简单解释

每一个没有破洞的封闭三维物体，都拓扑等价于三维的球面。

类比举例

如果伸缩围绕一个苹果表面的橡皮带，那可以既不扯断它，也不让它离开表面，使它慢慢移动收缩为一个点；另一方面，如果想象同样的橡皮带以适当的方向被伸缩在一个轮胎面上，那不扯断橡皮带或者轮胎面，是没有办法把它收缩到一点的。因此说，苹果表面是单连通的，而轮胎面不是。

证明历史20世纪庞加莱猜想

这个问题曾经被搁置了很长时间，直到1930年J. H. C. Whitehead首先宣布已经证明然而又收回，才再次引起了人们的兴趣。Whitehead提出了一些有趣的三流形实例，其原型现在称为Whitehead流形。

1950和1960年代，又有许多著名的数学家包括Bing,Haken,Moi和Papakyriakopoulos声称得到了证明，但最终都发现证明存在致命缺陷。

1961年，美国数学家史提芬·斯梅尔采用十分巧妙的方法绕过三、四维的困难情况，证明了五维以上的庞加莱猜想。这段时间对于低维拓扑的发展非常重要。这个猜想逐渐以证明极难而知名。但是，证明此猜想的工作增进了对三流形的理解。

1981年美国数学家M.Freedman证明了四维猜想，至此广义庞加莱猜想得到了证明。

1982年，理察·汉密尔顿引入了“瑞奇流”的概念，并以此证明了几种特殊情况下的庞加莱猜想。在此后的几年中，他进一步地发展了此方法，后来被佩雷尔曼的证明所使用。

21世纪

Clay Institute2005年终报告，封面有Ricci流方程及几何化示意图。

在2002年11月和2003年7月之间，俄罗斯的数学家格里戈里·佩雷尔曼在arXiv发表了三篇论文预印本，并声称证明了几何化猜想。在佩雷尔曼之后，先后有3组研究者发表论文补全佩雷尔曼给出的证明中缺少的细节。这包括密西根大学的布鲁斯·克莱纳和约翰·洛特；哥伦比亚大学的约翰·摩根和麻省理工学院的田刚；以及理海大学的曹怀东和中山大学的朱熹平。

2006年6月3日，丘成桐曾表示曹怀东和朱熹平第一个给出了庞加莱猜想的完全证明。

2006年8月，第25届国际数学家大会授予佩雷尔曼菲尔兹奖。数学界最终确认佩雷尔曼的证明解决了庞加莱猜想。

千禧年大奖

克莱数学研究所2000年将长期困扰数学界的7大难题定为“千禧年大奖问题”，为每个难题设立100万美元奖金，“庞加莱猜想”是其中之一。

2002年和2003年，当时在圣彼得堡斯捷克洛夫数学学院任职的佩雷尔曼在互联网上发表3篇论文，证明“庞加莱猜想”，因此在数学界声名鹊起。

2010年7月，佩雷尔曼拒绝了克莱数学研究所奖励他的100万美元，这笔奖金是奖励他对庞加莱猜想的证明。[2]

意义

庞加莱猜想的证明意义重大，该猜想的证明，将有助于人类更好地研究三维空间，其带来的结果将会加深人们对流形性质的认识，对物理学和工程学都将产生深远的影响，甚至会对人们用数学语言描述宇宙空间产生影响。

佩雷尔曼简介

对于佩雷尔曼，人们知之甚少。这位伟大的数学天才，出生于1966年6月13日，他的天分使他很早就开始专攻高等数学和物理。16岁时，他以优异的成绩在1982年举行的国际数学奥林匹克竞赛中摘得金牌。此外，他还是一名天才的小提琴家，桌球打得也不错。

从圣彼得堡大学获得博士学位后，佩雷尔曼一直在俄罗斯科学院圣彼得堡斯捷克洛夫数学研究所工作。上个世纪80年代末期，他曾到美国多所大学做博士后研究。之后在斯捷克洛夫数学研究所，继续他的宇宙形状证明工作。

证明庞加莱猜想关键作用让佩雷尔曼很快曝光于公众视野，但他似乎并不喜欢与媒体打交道。据说，有记者想给他拍照，被他大声制止；而对像《自然》《科学》这样声名显赫杂志的采访，他也不屑一顾。

“我认为我所说的任何事情都不可能引起公众的一丝一毫的兴趣。”佩雷尔曼说，“我不愿意说是因为我很看重自己的隐私，或者说我就是想隐瞒我做的任何事情。这里没有顶级机密，我只不过认为公众对我没有兴趣。”他坚持自己不值得如此的关注，并表示对飞来的横财没有丝毫的兴趣。

2003年，在发表了他的研究成果后不久，这位颇有隐者风范的大胡子学者就从人们的视野中消失了。据说他和母亲、妹妹一起住在圣彼得堡市郊的一所小房子里，而且这个犹太人家庭很少对外开放。

“我拒绝”

国际数学家联盟主席John Ball曾秘密拜访佩雷尔曼，他的唯一目的是说服佩雷尔曼接受将在8月份国际数学家大会上颁发的菲尔兹奖。谁都知道这是数学界的最高荣誉，此前共有44位数学家获此殊荣，没有人拒绝过接受这个荣誉。然而面对Ball教授两天共十个小时的劝说，佩雷尔曼的回答只是“我拒绝。”他解释说：“如果我的证明是正确的，这种方式的承认是不必要的。”

佩雷尔曼于美国的访问生活

佩雷尔曼于1992年访问美国，他的生活极为俭朴，只吃面包，芝士和牛奶。在纽约大学他结识了年轻的中国数学家田刚，每星期他们一起开车去普林斯顿参加高等研究院的讨论班。佩雷尔曼读了哈密尔顿关于瑞奇流的文章，还在高等研究院听了他给的一个报告。佩雷尔曼说：“你不用是大数学家也可以看出这对几何化会有用。”

1993年佩雷尔曼开始在伯克莱进行为期两年的访问，适逢哈密尔顿来校作系列演讲。一次报告后，哈密尔顿告诉佩雷尔曼他所遇到的最大的一些障碍，其中之一是叫做“雪茄”的一类奇点。佩雷尔曼意识到，他写的一篇没有发表的文章可能对解决这个问题有用，问哈密尔顿是否知道这篇文章。但哈密尔顿似乎没有了解这篇文章的重要。

回到圣彼得堡

1994年，佩雷尔曼因写出了几篇非常有原创性的论文而被邀请在国际数学家大会作报告。好几家大学，包括斯坦福和普林斯顿，邀请他去申请职位。但是他拒绝了一些学校提供的职位，于1995年夏天回到圣彼得堡。他说：“我意识到我在俄国会工作得更好。”斯坦福的Eliashberg 说他回俄国是为了解决庞加莱猜想，佩雷尔曼对这种说法没有表示反对。

在俄国他独自工作，只通过英特网搜集他所需要的知识。Gromov,一位曾与佩雷尔曼合作过的著名几何学家说：“他不需要任何帮助，喜欢一个人工作。他使我想起牛顿，着迷于自己的想法，不去理睬别人的意见。”

1995年，佩雷尔曼发表了一篇文章，其中描述了他对于完成庞加莱猜想的证明的一些想法。哈密尔顿对我们说，从这篇文章中“我看不出他在1992年之后有任何进展。可能更早些时候他就被卡在哪儿了。”然而佩雷尔曼却认为自己看到了解决问题的道路。

1996年，他给哈密尔顿写了一封长信，描述了他的想法，寄希望于哈密尔顿会同他合作。但是，佩雷尔曼说，“他没有回答。所以我决定自己干。”

第一篇证明文章

2002年11月11日，佩雷尔曼在网络数学文库arXiv [3]  上张贴了他的第一篇文章，之后他通过电子邮件把文章摘要发送给在美国的一些数学家，包括哈密尔顿，田刚和丘成桐。之前他没有同任何人讨论过这篇文章，因为“我不想同我不信任的人讨论我的工作。”对于随意地在网上发表如此重要的问题的解答可能带来的风险，例如证明或有纰漏而使他蒙羞，甚至被他人纠正而失去成果的优先权，佩雷尔曼表示：“如果我错了而有人利用我的工作给出正确的证明，我会很高兴。我从来没有想成为庞加莱猜想的唯一破解者。”田刚在MIT收到了佩雷尔曼的电子邮件，立即意识到其重要性。他开始阅读并同他的同事们讨论这篇文章。

2002年11月19日，几何学家Kapovitch在电子邮件中询问佩雷尔曼：“我是否理解正确：你在哈密尔顿的纲要中已经可以做足够多的步骤使你能解决几何化猜想？”佩雷尔曼第二天的回答只有一句话：“这是正确的。”

在美国的报告会

田刚写信给佩雷尔曼邀请他到MIT作演讲。普林斯顿和石溪分校的同事们也发出类似邀请。佩雷尔曼全部接受了，并于2003年4月开始在美国做巡回演讲。数学家们和新闻界都把这看作一件大事。使他感到失望的是，哈密尔顿没有参加这些报告会。

佩雷尔曼告诉我们，“我是哈密尔顿的门徒，虽然还没有得到他的认可。”当哥伦比亚大学的John Morgan邀请他去演讲时他同意了，因为他希望在那里能见到哈密尔顿。演讲会在一个星期天早上举行，哈密尔顿迟到了，并且在会后的讨论和午餐中没有提任何问题。“我的印象是他只读了我的文章的第一部分。”佩雷尔曼说。

对证明的验证与说明

到2003年的7月，佩雷尔曼已经在网上公布了他的后两篇文章。数学家们开始对他的证明艰苦地进行检验和说明。在美国至少有两组专家承担了这一任务：田刚（丘成桐的对手）和Morgan；还有密西根大学的两位专家。克莱研究所对他们都给与资助，并计划把田和Morgan的工作以书的形式出版。这本书除了为数学家们提供佩雷尔曼的证明的逻辑外，还是佩雷尔曼能够获得克莱研究所一百万美元奖金的依据。

2004年9月10日，在佩雷尔曼回到圣彼得堡一年多后，他收到田刚发来的一封很长的电子邮件，田在其中写道：“我想我们已经理解了你的文章，它完全正确。”佩雷尔曼没有回信。他向我们解释，“人们需要时间去适应这个有名的问题不再是猜想这样一个事实......重要的是我不去影响这个过程。”

退出

朱熹平与曹怀东到达圣彼得堡后经历了一番曲折才见到佩雷尔曼。佩雷尔曼反复说他已经退出了数学界，不再认为自己是职业数学家了。

他提到多年前他同一位合作者就如何评价某个作者的一项工作所发生的争执。他说他对于学界松懈的道德规范感到非常沮丧。“不是那些违背道德标准的人被看作异类，”他说，“而是象我这样的人被孤立起来。”当被问及他是否看过曹和朱的文章时，他回答“我不清楚他们做了什么新贡献。显然朱没有十分明白那些推理而又重新做了一遍。”至于丘成桐，佩雷尔曼说，“我不能说我被侵犯了。还有人做得比这更糟。当然，许多数学家多少是诚实的，可他们几乎都是和事佬。他们容忍那些不诚实的人。”获得菲尔兹奖的前景迫使他同他的职业彻底决裂。“只要我不出名，我还有选择的余地，”佩雷尔曼解释说，“或者做一些丑事，”-----对于数学界缺乏正义感大惊小怪-----“或者不这样做而被当作宠物。现在，我变得非常有名了，我不能再做宠物而不说话。这就是为什么我要退出。”

当被问及，他拒绝了菲尔兹奖，退出了数学界，是否意味着他排除了影响数学界的任何可能性时，他生气地回答“我不是搞政治的。”佩雷尔曼不愿回答他是否也会拒绝克莱研究所的百万美元奖金的问题。“在颁发奖金之前我不作决定，”他说。Gromov说他能理解佩雷尔曼的逻辑。“你要做伟大的工作就必须有一颗纯洁的心。你只能想数学。其他一切都属于人类的弱点。”尽管人们会把他拒绝接受菲尔兹奖视为一种傲慢，Gromov说，他的原则值得钦佩。“理想的科学家除科学之外不关心其他的事情。他希望生活在那样理想的境界。虽然他做不到，但他希望那样。”

2010年7月，俄罗斯数学家格里戈里·佩雷尔曼拒绝了克莱数学研究所奖励他的100万美元，这笔奖金是奖励他对庞加莱猜想的证明。

参考资料