垂直平分线（数学几何术语）

垂直平分线（数学几何术语）

垂直平分线 （数学几何术语） 次浏览 | 2022.06.20 18:07:52 更新 来源 ：互联网 精选百科 本文由作者推荐 垂直平分线数学几何术语

经过某一条线段的中点，并且垂直于这条线段的直线，叫做这条线段的垂直平分线，简称"中垂线"，是初中几何学科中非常重要的一部分内容。用一条直线把一条线段从中间分成相等的二条线段，并且与所分的线段垂直，这条线直线就叫这条线段的垂直平分线。通常要用圆规和直尺作图才能作出。中垂线可以看成到线段两个端点距离相等的点的集合，中垂线是线段的一条对称轴。

中文名

垂直平分线

外文名

perpendicular bictor

所属学科

数学

拼写

chui zhi ping fen xian

所属领域

几何

又称

中垂线

巧计方法

点到线段两端的距离相等

相关定理

中垂线定理

定义

经过某一条线段的中点，并且垂直于这条线段的直线，叫做这条线段的垂直平分线，又称“中垂线”。

如图1，N是AB的中点，过N点作MN⊥AB，则，MN为AB的垂直平分线。

性质

(1)垂直平分线垂直且平分其所在线段

(2)垂直平分线上任意一点，到线段两端点的距离相等

(3)三角形三条边的垂直平分线相交于一点，该点叫外心，并且这一点到三个顶点的距离相等

(4)垂直平分线的判定：必须同时满足（1）直线过线段中点;（2）直线⊥线段

定理综述

线段垂直平分线上的点到这条线段的两个端点的距离相等。

（逆定理）到一条线段两个端点距离相等的点，在这条线段的垂直平分线上

证明方法

可以通过全等三角形证明。

到一条线段两个端点距离相等的点，在这条线段的垂直平分线上。

注意：要证明一条直线为一条线段的垂直平分线，应满足两个点到这条线段的两个端点的距离相等且这两个点都在要求证明的直线上才可以证明

通常来说，垂直平分线会与全等三角形联合使用。

逆定理

到一条线段两个端点距离相等的点，在这条线段的垂直平分线上。

垂直平分线的逆定理

逆定理：到一条线段两个端点距离相等的点，在这条线段的垂直平分线上。

如图1，已知N是AB中点，MN是AB的垂直平分线，平面上一点P满足PA=PB，证明：P在MN上。

解：

∵MN是AB的垂直平分线

∴AN=BN

∵PA=PB ，PN=PN

∴△PAN≌△PBN

∴∠PNA=∠PNB

∵∠PNA+∠PNB=180°

∴∠PNA=∠PNB=90°

由于过平面上一点，有且仅有一条直线与已知垂线垂直，故P在MN上。

该逆定理得证。

判定

①利用定义：经过某一条线段的中点，并且垂直于这条线段的直线是线段的垂直平分线

②到一条线段两个端点距离相等的点，在这条线段的垂直平分线上．（即线段垂直平分线可以看成到线段两端点距离相等的点的集合）。

作图方法

（1）尺规作图法

a. 分别以线段的两个端点为圆心，以大于线段的二分之一长度为半径画弧线，得到两个交点(两交点交于线段的两侧)

b. 连接这两个交点 

（2）度量法

（3）折纸法（折叠法）

与对称轴

若图形（这个图形可以是直线的、折线的、曲线的）关于某条直线对称，这条轴就称为对称轴。以五角星为例，它有五条对称轴。

垂直平分线是存在某条线段时才会有这个概念。它的定义是经过某一条线段的中点，并且垂直于这条线段的直线，叫做这条线段的垂直平分线（中垂线）。它有一定的局限性。

轴对称图形的对称轴是对称图形中任意两个对应点连线段的垂直平分线。

生活应用

有A,B,C(不在同一条直线上)三个村庄，现要准备建一所学校，要求学校到三个村庄的距离相等，请确定学校的位置。

解析：依次连接AB,AC,BC，作AB,BC的垂直平分线，交于一点O，则由垂直平分线性质有OA=OB，OB=OC，故OA=OB=OC，O即为学校的位置。

尺规作法方法一

在线段的中心找到这条线段的中点通过这个点做这条线段的垂线段。

方法二

1、分别以线段的两个端点为圆心，以大于线段的二分之一长度为半径画弧线。得到两个交点(两交点交于线段的两侧)。

2、连接这两个交点。

原理：等腰三角形的高垂直平分底边。

方法三

利用等腰三角形的性质：

1、三线合一 ( 等腰三角形底边上的高、底边上的中线、顶角的平分线相互重合。 )

2、等角对等边（如果一个三角形，有两个内角相等，那么它一定有两条边相等。）

3、等边对等角（在同一三角形中,如果两条边相等,则两个边的对角相等,即等边对等角。

方法四

1、轴对称图形。

参考资料