莱布尼茨公式（莱布尼茨提出的数学公式）

莱布尼茨公式（莱布尼茨提出的数学公式）

莱布尼茨公式 （莱布尼茨提出的数学公式） 次浏览 | 2022.10.29 18:10:38 更新 来源 ：互联网 精选百科 本文由作者推荐 莱布尼茨公式莱布尼茨提出的数学公式

莱布尼茨法则，也称为乘积法则，是数学中关于两个函数的积的导数的一个计算法则。

中文名

莱布尼茨公式

外文名

Leibniz formula

提出者

莱布尼茨（Gottfried Leibniz）

应用学科

高等数学

别名

乘法法则

表达式

(uv)’=u'v v'u

适用领域

导数

基本信息

不同于牛顿-莱布尼茨公式（微积分学），莱布尼茨公式用于对两个函数的乘积求取其高阶导数，

一般的，如果函数与函数在点处都具有阶导数，那么此时有

也可记为：

其中，为组合数，

利用面积推导

假设

且f和g在x点可导。那么：

以下的差

是图中大矩形的面积减去小矩形的面积。

这个区域可以分割为两个矩形，它们面积的和为：

因此，(1)的表达式等于：

易得(4)的表达式等于：

因为当w→x时，f(x)不变；

因为g在x点可导；

因为f在x点可导；以及

因为g在x点连续（可导的函数一定连续）。

可以得出结论，(5)的表达式等于：

.

推导过程

如果存在函数与，且它们在点x处都具有n阶导数，那么显而易见的，

在处也具有阶导数，且

至于的阶导数则较为复杂，按照基本求导法则和公式，可以得到：

…………

运用数学归纳法可证

上式便称为莱布尼茨公式（Leibniz公式）

区别

由于名称相似，不少人将牛顿-莱布尼茨公式与莱布尼茨公式相混淆，事实上他们是两个完全不同的公式。

牛顿-莱布尼茨公式是微积分学中的一个重要公式，它把不定积分与定积分相联系了起来，也让定积分的运算有了一个完善、令人满意的方法。其基本形式为

而莱布尼茨公式是导数计算中会使用到的一个公式，它是为了求取两函数乘积的高阶导数而产生的一个公式。

二者存在本质上的区别。

相关人物

戈特弗里德·威廉·莱布尼茨[1]

弗里德·威廉·莱布尼茨（Gottfried Wilhelm Leibniz，1646年—1716年），德国哲学家、数学家，和牛顿先后独立发明了微积分。有人认为，莱布尼茨最大的贡献不是发明微积分，而是微积分中使用的数学符号，因为牛顿使用的符号普遍认为比莱布尼茨的差。他所涉及的领域及法学、力学、光学、语言学等40多个范畴，被誉为十七世纪的亚里士多德。

参考资料