大数定律（数学定理）

大数定律（数学定理）

大数定律 （数学定理） 次浏览 | 2022.04.20 09:12:06 更新 来源 ：互联网 精选百科 本文由作者推荐 大数定律数学定理

概率论历史上第一个极限定理属于伯努利，后人称之为“大数定律”。概率论中讨论随机变量序列的算术平均值向随机变量各数学期望的算术平均值收敛的定律。

在随机事件的大量重复出现中，往往呈现几乎必然的规律，这个规律就是大数定律。通俗地说，这个定理就是，在试验不变的条件下，重复试验多次，随机事件的频率近似于它的概率。偶然中包含着某种必然。

中文名

大数定律

外文名

Law of Large Numbers

表达式

Sn/n->SE/n

提出者

伯努利

提出时间

别称

弱大数理论

应用学科

数学

适用领域范围

应用数学

发展简史

我们知道，大数定律研究的是随机现象统计规律性的一类定理，当我们大量重复某一相同的实验的时候，其最后的实验结果可能会稳定在某一数值附近。就像抛硬币一样，当我们不断地抛，抛个上千次，甚至上万次，我们会发现，正面或者反面向上的次数都会接近一半。除了抛硬币，现实中还有许许多多这样的例子，像掷骰子，最著名的实验就是蒲丰投针实验。这些实验都像我们传达了一个共同的信息，那就是大量重复实验最终的结果都会比较稳定。那稳定性到底是什么？怎样去用数学语言把它表达出来？这其中会不会有某种规律性？是必然的还是偶然的？

这一系列问题其实就是大数定律要研究的问题。很早的时候，人们其实就发现了这一规律性现象，也有不少的数学家对这一现象进行了研究，这其中就包括伯努利（后来人们为了纪念他，都认为他是第一个研究这一问题的人，其实在他之前也早有数学家研究过）。伯努利在1713年提出了一个极限定理，当时这个定理还没有名称，后来人们称这个定理为伯努利大数定律。因此概率论历史上第一个有关大数定律的极限定理是属于伯努利的，它是概率论和数理统计学的基本定律，属于弱大数定律的范畴。

当大量重复某一实验时，最后的频率无限接近事件概率。而伯努利成功地通过数学语言将现实生活中这种现象表达出来，赋予其确切的数学含义。他让人们对于这一类问题有了新的认识，有了更深刻的理解，为后来的人们研究大数定律问题指明了方向，起到了引领作用，其为大数定律的发展奠定了基础。除了伯努利之外，还有许许多多的数学家为大数定律的发展做出了重要的贡献，有的甚至花了毕生的心血，像德莫佛—拉普拉斯，李雅普诺夫，林德伯格，费勒，切比雪夫，辛钦等等。这些人对于大数定律乃至概率论的进步所起的作用都是不可估量的。

1733年，德莫佛—拉普拉斯经过推理证明，得出了二项分布的极限分布是正态分布的结论，后来他又在原来的基础上做了改进，证明了不止二项分布满足这个条件，其他任何分布都是可以的，为中心极限定理的发展做出了伟大的贡献。在这之后大数定律的发展出现了停滞。直到20世纪，李雅普诺夫又在拉普拉斯定理的基础上做了自己的创新，他得出了特征函数法，将大数定律的研究延伸到函数层面，这对中心极限定理的发展有着重要的意义。到1920年，数学家们开始探讨中心极限定理在什么条件下普遍成立，这才有了后来发表的林德伯格条件和费勒条件，这些成果对中心极限定理的发展都功不可没。

经过几百年的发展，大数定律体系已经很完善了，也出现了更多更广泛的大数定律，例如切比雪夫大数定律，辛钦大数定律，泊松大数定律，马尔科夫大数定律等等。正是这些数学家们的不断研究，大数定律才得以如此迅速发展，才得以完善。

定理定义

概率论的基本定律之一，指关于大量的随机现象具有稳定性质的法则。它说明，如果被研究现象的总体是由大量的相互独立的随机因素所形成的，而且每个随机因素对总体的影响都相对地比较小，这时对大量因素加以综合平均，上述因素的个别影响就将互相抵消并显现出它们共同作用的倾向，使总体具有稳定的性质。

验证推导车比雪夫

设随机变相互独立，它们的数学期望依次为方差依次为而且存在正常数，使得对一切有，则对任意给定的正常数，恒有.证设，则的数学期望和方差分别为:，.由车比雪夫不等式，对任意给定的正数，有，即.对不等式取极限，则得。

辛钦

设是相互独立的随机变量，而且有相同的分布，具有有限的数学期望，则对任意给定的正数，有，其中.注:定理2中条件比定理1的条件要宽，在定理1中要求方差有限，而定理2不需要这个条件.证因为是具有相同分布的随机变量序列，故它们有相同的特征函数.设它们的特征函数为，由于存在，故有展开式:，其中表示关于的高阶无穷小量.再由独立性知，的特征函数为:.对任意取定的数，有operatorname{limn} 而是连续函数，且是单点分布的特征函数，由逆极限定理知:的分布函数弱收敛于.其中，，因此，，由(2)式知:

贝努利

设是次独立试验中事件发生的次数，是事件在每次试验中发生的概率，则对任意给定的正数，有.此定理表明:当很大时，重贝努利试验中事件发生的频率几乎等于事件在每次试验中发生的概率，这个定理以严格的数学形式刻画了频率的稳定性，因此，在实际应用中，当试验次数很大时，便可以用事件发生的频率来代替事件的概率.证作一次观察时是定值，作多次观察时是随机变量，而且，在车比雪夫不等式中，取, 则 , 于是对任意给定的正 数，有 ， 因而。

泊松

设是相互独立的随机变量，则服从大数定律.证由定理所设可得:，.由车比雪夫不等式得，对任意，有.两边取极限得。

马尔可夫

设是随机变量序列，若，则服从大数定律.证由车比雪夫不等式得，取极限得:。

定理意义

大数定律以严格的数学形式表达了随机现象最根本的性质———平均结果的稳定性，它是随机现象统计规律性的具体表现.因此，大数定律在理论和实际中都有广泛的应用。[1]

举例说明

例如，在重复投掷一枚硬币的随机试验中，观测投掷了n次硬币中出现正面的次数。不同的n次试验，出现正面的频率（出现正面次数与n之比）可能不同，但当试验的次数n越来越大时，出现正面的频率将大体上逐渐接近于1/2。又如称量某一物体的重量，假如衡器不存在系统偏差，由于衡器的精度等各种因素的影响，对同一物体重复称量多次，可能得到多个不同的重量数值，但它们的算术平均值一般来说将随称量次数的增加而逐渐接近于物体的真实重量。

几乎处处收敛与依概率收敛不同。生活例子：开始上课了，慢慢地大家都安静下来，这是几乎处处收敛。绝大多数同学都安静下来，但每一个人都在不同的时间不安静，这是依概率收敛。

还有大数定律在保险业应用也十分广泛。大数定律又称大数法则。人们在长期的实践中发现，在随机现象的大量重复中往往出现几乎必然的规律，即大数法则。此法则的意义是：风险单位数量愈多，实际损失的结果会愈接近从无限单位数量得出的预期损失可能的结果。据此，保险人就可以比较精确的预测危险，合理的厘定保险费率，使在保险期限内收取的保险费和损失赔偿及其它费用开支相平衡。大数法则是近代保险业赖以建立的数理基础。保险公司正是利用在个别情形下存在的不确定性将在大数中消失的这种规则性，来分析承保标的发生损失的相对稳定性。按照大数法则，保险公司承保的每类标的数目必须足够大，否则，缺少一定的数量基础，就不能产生所需要的数量规律。但是，任何一家保险公司都有它的局限性，即承保的具有同一风险性质的单位是有限的，这就需要通过再保险来扩大风险单位及风险分散面。

参考资料