林德曼-魏尔斯特拉斯定理（数学定理）

林德曼-魏尔斯特拉斯定理（数学定理）

林德曼-魏尔斯特拉斯定理 （数学定理） 次浏览 | 2022.09.05 14:47:28 更新 来源 ：互联网 精选百科 本文由作者推荐 林德曼-魏尔斯特拉斯定理数学定理

林德曼-魏尔斯特拉斯定理（Lindemann–Weierstrasstheorem）是一个可以用于证明实数的超越性的定理。它表明，如果α1,...,αn是代数数，在有理数ℚ内是线性独立的，那么在ℚ内是代数独立的；也就是说，扩张域在ℚ内具有超越次数n。

一个等价的表述是：如果α1,...,αn是不同的代数数，那么指数在代数数范围内是线性独立的。

这个定理由林德曼和魏尔斯特拉斯命名。林德曼在1882年证明了对于任何非零的代数数α，eα都是超越数，因此推出了圆周率是超越数。魏尔斯特拉斯在1885年证明了一个更一般的结果。

这个定理，以及格尔丰德-施奈德定理，可以推广为Schanuel猜想。

中文名

林德曼-魏尔斯特拉斯定理

外文名

Lindemann–Weierstrass theorem

适用领域

数学

所属学科

数学

本质

用于证明实数的超越性的定理

研究者

林德曼、魏尔斯特拉斯

定理定义

如果是代数数，在有理数内是线性独立的，那么在内是代数独立的；也就是说，扩张域在内具有超越次数。

一个等价的表述是：如果是不同的代数数，那么指数在代数数范围内是线性独立的。[1]

定理推广e和π的超越性

e和π的超越性是这个定理的直接推论。

利用反三角函数序列｛ａｒｃｃｏｓｃｏｓ（πｎ）｝的一个线性序列ｄｅｇ（ｃｎπ）＝１，去逼近ｄｅｇ（πｎ）＝ｎ的一个有理系数的多项式的方法去证明π为超越数。从而改进了１８８２年德国数学家林德曼关于的超越性证明。

假设是一个非零的代数数，那么在有理数范围内是线性独立的集合，因此根据定理的第一种表述，是一个代数独立的集合，也就是说，是超越数。特别地，是超越数。

另外，利用定理的第二种表述，我们可以证明，如果是一个非零的代数数，那么就是不同的代数数的集合，因此集合在代数数范围内是线性独立的，特别地，不能是代数数，因此一定是超越数。

我们来证明是超越数。如果v是代数数，2也是代数数（因为2是代数数），那么根据林德曼-魏尔斯特拉斯定理，（参见欧拉公式）也是超越数，这与-1是代数数的事实矛盾。

把这个证明稍微改变以下，可以证明如果α是一个非零的代数数，那么sin(α)、cos(α)、tan(α)和它们的双曲函数也是超越数。

p进数猜想

进数林德曼-魏尔斯特拉斯猜想，就是这个定理在进数中也成立：假设是素数，是进数，它们都是代数数，且在内线性独立，使得对于所有的，都有。那么进指数在内是代数独立的。

验证推导

假设是一个无界序列，则有一个子序列使得存在。由于是无界的，故而对于所有的，中的元素的绝对值无限次超过k。

令。不难发现，集合非空。[2]

参考资料