增根（数学概念）

增根（数学概念）

增根 （数学概念） 次浏览 | 2022.09.19 13:53:40 更新 来源 ：互联网 精选百科 本文由作者推荐 增根数学概念

增根，是指方程求解后得到的不满足题设条件的根。在分式方程化为整式方程的过程中，分式方程解的条件是使原方程分母不为零。若整式方程的根使最简公分母为0，（根使整式方程成立，而在分式方程中分母为0）那么这个根叫做原分式方程的增根。一元二次方程与分式方程和其它产生多解的方程在一定题设条件下都可能有增根。

拆字解释：

增：加多，添：增加。增多。增添。增益。增生（ａ．同“增殖”；ｂ．古代科举制度中生员名目之一）。增产。增长（zhǎng ）。增援。增殖。增辉。增减。增删。删损减

中文名

增根

拼音

zeng gen

领域

数学

解释

整式方程的根使最简公分母为0

非函数

两非函数方程增根

在两非函数方程（如圆锥曲线）联立求解的过程中，增根的出现主要表现在定义域的变化上。

例如：若已知椭圆(x^2)/a^2+(y^2)/b^2=1(a>b>0)，O为原点坐标，A为椭圆右顶点，若椭圆上存在一点P，使OP⊥PA，求椭圆的圆心率的范围。

存在一种解法：

椭圆上存在一点P，使OP⊥PA，即是以OA为直径画圆，要求与椭圆有除了A(a,0)以外的另外一个解。所以联立椭圆和圆的方程：

(x-a/2)^2+y^2=(a/2)^2→x^2+y^2-ax=0

→b^2·x^2+a^2(ax-x^2)-a^2·b^2=0 （*）

因为有两个根，所以△>0

∴△=(2b^2-a^2)>0

∴e≠（1/2）^(1/2) （二分之根号二）

而正解却是

由（*）得 x1=a x2=a·b^2/c^2

∴0

∴（1/2）^(1/2)<1

然而问题出在，无论怎么取，只要e≠(1/2）^(1/2)，好像△永远都>0

于是我们取e=1/2

假设 a^2=4 b^2=3 c^2=1

即可得椭圆(x^2)/4+(y^2)/3=1···①

与圆x^2+y^2-2x=0···②

联立即可得 x^2-8x+12=0 ···(*)

有十字相乘 x1=2 x2=6

显然 此时 x2=6是增根

将x2=6 带入①式 y^2= -24

将x2=6 带入②式 y^2= -24

将x2=6 带入(*)式 y^2=2x-x^2= -24

可知这里的的确确是产生了一个增根，而且在解题过程中不能通过任何方式排除，这说明多个非函数方程联立求解时，方程本身无法限制x的取值。一般来说，直线与圆锥曲线的联立并没有出现过算出两个解，还需要带回去验根的情况，大概是因为圆锥曲线不是函数，而直线是函数的原因。

不过值得注意的是：

①不是任何的两个非函数方程联立都会产生增根。例如圆不是函数，但求两个圆的交点，不会产生增根。

②增根的产生和定义域有关系，但没有绝对的关系。不能说联立方程时，将x定义域扩大或缩小就必然会引起增根。如上述例题中，①式定义域（-2，2） ②式定义域（0，2）大多数人是在②式中，用x表示y，写成y=ax-x^2，再带入①式，产生了增根。但是如果我们在①式中用x表示y，写成y^2=b^2(1-x^2/a^2)，再带入②式，我们依然会得到增根。

下面列出两种必然会出现增根的一般式：

椭圆与抛物线增根

椭圆(x^2)/a^2+(y^2)/b^2=1(a>b>0)和抛物线y^2=2px(p>0)联立方程式得

b^2·x^2+a^2(2px)-a^2·b^2=0

由韦达定理得 x1·x2=(-a^2·b^2)/b^2=-a^2<0 且 x1+x2=-2a^2·p/b^2<0

可知，若x1>0，则x2<0，出现原因是忽略了y^2=2px(p>0)中的隐含定义域x>0。联立方程式求解误认为x∈R 。（另外我们还知道|x1|<|x2|）

双曲线与抛物线增根

双曲线(x^2)/a^2-(y^2)/b^2=1(a,b>0)和抛物线y^2=2px(p>0)联立方程式得

b^2·x^2-a^2(2px)-a^2·b^2=0

由韦达定理得 x1·x2=(-a^2·b^2)/b^2=-a^2<0 且 x1+x2=2a^2·p/b^2>0

可知，若x1>0，则x2<0，出现原因是忽略了y^2=2px(p>0)中的隐含定义域x>0。联立方程式求解误认为x∈R 。（另外我们还知道|x1|>|x2|）

无理数

√ （2X^2+X-30）=X

解：两边平方得2X^2+X-30=X^2

得X^2+X-30=0

得X=5或X=-6（增根）

出现增根的原因是由于两边平方忽略了上式的X>0且根号内的值大于等于0。

由于同样的粗心大意，错误还会在无理不等式中体现。

参考资料