数列(以正整数集为定义域的函数)

更新时间:2024-12-23 13:45:16 阅读: 评论:0

数列(以正整数集为定义域的函数)

数列 (以正整数集为定义域的函数) 次浏览 | 2022.05.08 14:38:02 更新 来源 :互联网 精选百科 本文由作者推荐 数列以正整数集为定义域的函数

一般地按一定次序排列的一列数叫作数列。数列中的每一个数都叫做这个数列的项。排在第一位的数称为这个数列的第1项(通常也叫做首项),排在第二位的数称为这个数列的第2项……排在第n位的数称为这个数列的第n项。

中文名

数列

外文名

quence of number

适用领域范围

数学

释义

以正整数集为定义域的函数

数列的项

数列中的每一个数

表示

an

由来三角形数

传说古希腊毕达哥拉斯(约公元前570-约公元前500年)学派的数学家经常在沙滩上研究数学问题,他们在沙滩上画点或用小石子来表示数。比如,他们研究过由于这些数可以用如右图所示的三角形点阵表示,他们就将其称为三角形数。

正方形数

类似地,被称为正方形数,因为这些数能够表示成正方形。

因此,按照一定顺序排列的一列数成为数列。

概念

数列的一般形式可以写成

a1,a2,a3,…,an,…

简记为{an},项数有限的数列为“有穷数列”(finite quence),项数无限的数列为“无穷数列”(infinite quence)。

从第2项起,每一项都大于它的前一项的数列叫做递增数列;如:1,2,3,4,5,6,7

从第2项起,每一项都小于它的前一项的数列叫做递减数列;如:8,7,6,5,4,3,2,1

从第2项起,有些项大于它的前一项,有些项小于它的前一项的数列叫做摆动数列;

各项呈周期性变化的数列叫做周期数列(如三角函数);

各项相等的数列叫做常数列。如:2,2,2,2,2,2,2,2,2

通项公式:数列的第N项an与项的序数n之间的关系可以用一个公式表示,这个公式就叫做这个数列的通项公式。(注:通项公式不唯一)

递推公式:如果数列{an}的第n项与它前一项或几项的关系可以用一个式子来表示,那么这个公式叫做这个数列的递推公式。

数列中数的总数为数列的项数。特别地,数列可以看成以正整数集N*(或它的有限子集{1,2,…,n})为定义域的函数an=f(n)。

如果可以用一个公式来表示,则它的通项公式是a(n)=f(n)。

表示方法

如果数列{an}的第n项与序号n之间的关系可以用一个式子来表示,那么这个公式叫做这个数列的通项公式。如an=(-1)^(n+1)+1。

数列通项公式的特点:(1)有些数列的通项公式可以有不同形式,即不唯一。(2)有些数列没有通项公式

如果数列{an}的第n项与它前一项或几项的关系可以用一个式子来表示,那么这个公式叫做这个数列的递推公式。如an=2a(n-1)+1(n>1)。

分类

(1)有穷数列和无穷数列:

项数有限的数列为“有穷数列”(finite quence);项数无限的数列为“无穷数列”(infinite quence)。

(2)对于正项数列:(数列的各项都是正数的为正项数列)

1)从第2项起,每一项都大于它的前一项的数列叫做递增数列;如:1,2,3,4,5,6,7;

2)从第2项起,每一项都小于它的前一项的数列叫做递减数列;如:8,7,6,5,4,3,2,1;

3)从第2项起,有些项大于它的前一项,有些项小于它的前一项的数列叫做摆动数列(摇摆数列);

(3)周期数列:各项呈周期性变化的数列叫做周期数列(如三角函数);

(4)常数数列:各项相等的数列叫做常数数列(如:2,2,2,2,2,2,2,2,2)。

公式

(1)通项公式:数列的第N项an与项的序数n之间的关系可以用一个公式an=f(n)来表示,这个公式就叫做这个数列的通项公式,如。数列通项公式的特点:1)有些数列的通项公式可以有不同形式,即不唯一;2)有些数列没有通项公式(如:素数由小到大排成一列2,3,5,7,11,...)。

(2)递推公式:如果数列{an}的第n项与它前一项或几项的关系可以用一个式子来表示,那么这个公式叫做这个数列的递推公式。数列递推公式特点:1)有些数列的递推公式可以有不同形式,即不唯一。2)有些数列没有递推公式,即有递推公式不一定有通项公式。

等差数列定义

一般地,如果一个数列从第2项起,每一项与它的前一项的差等于同一个常数,这个数列就叫做等差数列(arithmetic quence),这个常数叫做等差数列的公差(common difference),公差通常用字母d表示。

缩写

等差数列可以缩写为A.P.(Arithmetic Progression)。

等差中项

由三个数a,A,b组成的等差数列可以堪称最简单的等差数列。这时,A叫做a与b的等差中项(arithmetic mean)。

有关系:A=(a+b)/2

通项公式

an=a1+(n-1)d

an=Sn-S(n-1)(n≥2)

an=kn+b(k,b为常数)

前n项和

Sn=n(a1+an)/2=n*a1+n(n-1)d/2

Sn=(d/2)*n^2+(a1-d/2)n

性质

且任意两项am,an的关系为:

an=am+(n-m)d

它可以看作等差数列广义的通项公式。

从等差数列的定义、通项公式,前n项和公式还可推出:

a1+an=a2+an-1=a3+an-2=…=ak+an-k+1,k∈{1,2,…,n}

若m,n,p,q∈N*,且m+n=p+q,则有

am+an=ap+aq

S2n-1=(2n-1)an,S2n+1=(2n+1)an+1

Sk,S2k-Sk,S3k-S2k,…,Snk-S(n-1)k…成等差数列,等等。

和=(首项+末项)×项数÷2

项数=(末项-首项)÷公差+1

首项=2和÷项数-末项

末项=2和÷项数-首项

设a1,a2,a3为等差数列。则a2为等差中项,则2倍的a2等于a1+a3,即2a2=a1+a3。

应用

日常生活中,人们常常用到等差数列如:在给各种产品的尺寸划分级别

时,当其中的最大尺寸与最小尺寸相差不大时,常按等差数列进行分级。

若为等差数列,且有an=m,am=n.则a(m+n)=0。

等比数列定义

一般地,如果一个数列从第2项起,每一项与它的前一项的比等于同一个常数,这个数列就叫做等比数列(geometric quence)。这个常数叫做等比数列的公比(common ratio),公比通常用字母q表示。

缩写

等比数列可以缩写为G.P.(Geometric Progression)。

等比中项

如果在a与b中间插入一个数G,使a,G,b成等比数列,那么G叫做a与b的等比中项。

有关系:G^2=ab;G=±(ab)^(1/2)

注:两个非零同号的实数的等比中项有两个,它们互为相反数,所以G^2=ab是a,G,b三数成等比数列的必要不充分条件。

通项公式

an=a1q^(n-1)

an=Sn-S(n-1)(n≥2)

前n项和

当q≠1时,等比数列的前n项和的公式为

Sn=a1(1-q^n)/(1-q)=(a1-an*q)/(1-q)(q≠1)

当q=1时,等比数列的前n项和的公式为

Sn=na1

性质

任意两项am,an的关系为an=am·q^(n-m)

(3)从等比数列的定义、通项公式、前n项和公式可以推出:a1·an=a2·an-1=a3·an-2=…=ak·an-k+1,k∈{1,2,…,n}

(4)等比中项:aq·ap=ar^2,ar则为ap,aq等比中项。

记πn=a1·a2…an,则有π2n-1=(an)2n-1,π2n+1=(an+1)2n+1

另外,一个各项均为正数的等比数列各项取同底数数后构成一个等差数列;反之,以任一个正数C为底,用一个等差数列的各项做指数构造幂Can,则是等比数列。在这个意义下,我们说:一个正项等比数列与等差数列是“同构”的。

性质:

①若m、n、p、q∈N*,且m+n=p+q,则am·an=ap·aq;

②在等比数列中,依次每k项之和仍成等比数列.

“G是a、b的等比中项”“G^2=ab(G≠0)”.

(5)等比数列前n项之和Sn=A1(1-q^n)/(1-q)

在等比数列中,首项A1与公比q都不为零.

注意:上述公式中A^n表示A的n次方。

应用

等比数列在生活中也是常常运用的。

如:银行有一种支付利息的方式---复利。

即把前一期的利息和本金价在一起算作本金,

再计算下一期的利息,也就是人们通常说的利滚利。

按照复利计算本利和的公式:本利和=本金*(1+利率)^存期

如果一个数列从第2项起,每一项与它的前一项的比等于同一个常数,这个数列就叫做等比数列。这个常数叫做等比数列的公比,公比通常用字母q表示(q≠0)。

(1)等比数列的通项公式是:An=A1*q^(n-1)

若通项公式变形为an=a1/q*q^n(n∈N*),当q>0时,则可把an看作自变量n的函数,点(n,an)是曲线y=a1/q*q^x上的一群孤立的点。

(2)求和公式:Sn=nA1(q=1)

Sn=A1(1-q^n)/(1-q)

=(a1-a1q^n)/(1-q)

=a1/(1-q)-a1/(1-q)*q^n(即A-Aq^n)

(前提:q不等于1)

任意两项am,an的关系为an=am·q^(n-m)

(3)从等比数列的定义、通项公式、前n项和公式可以推出a1·an=a2·an-1=a3·an-2=…=ak·an-k+1,k∈{1,2,…,n}

(4)等比中项:aq·ap=ar^2,ar则为ap,aq等比中项。

记πn=a1·a2…an,则有π2n-1=(an)2n-1,π2n+1=(an+1)2n+1

另外,一个各项均为正数的等比数列各项取同底数后构成一个等差数列;反之,以任一个正数C为底,用一个等差数列的各项做指数构造幂Can,则是等比数列。在这个意义下,我们说:一个正项等比数列与等差数列是“同构”的。

等和数列定义

“等和数列”:在一个数列中,如果每一项与它的后一项的和都为同一个常数,那么这个数列叫做等和数列,这个常数叫做该数列的公和。

对一个数列,如果其任意的连续k(k≥2)项的和都相等,我们就把此数列叫做等和数列

性质

必定是循环数列

参考资料

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