威尔逊定理（数学定理）

威尔逊定理（数学定理）

威尔逊定理 （数学定理） 次浏览 | 2022.08.20 20:43:27 更新 来源 ：互联网 精选百科 本文由作者推荐 威尔逊定理数学定理

在初等数论中，威尔逊定理给出了判定一个自然数是否为素数的充分必要条件。即：当且仅当为素数时：，但是由于阶乘是呈爆炸增长的，其结论对于实际操作意义不大，但借助计算机的运算能力有广泛的应用，也可以辅助数学推导。

中文名

定理

外文名

Wilson's theorem

提出者

威尔逊

适用领域

数论

适用学科

数学、信息学

作用

判断一个自然数是否为素数的充分必要条件

定理定义

初等数论中，威尔逊定理“整数 当且仅当 时，为素数。"是判定一个整数 是否为素数的基本定理。 给定一个较大的整数 是一个很大的数，利用威尔逊定理来判定 是否为素数是不方便的，但可以利用定理的充要性及用余 性质来解决一些实际问题。[2]

验证推导充分性

如果 " " 不是素数，当 时，显然 ， 当 时，若 不是完全平方数，则存在两个不等的因数 ， 使得 ，则 ：若 是完全平方数即 ，因为 ，所以 ， ，

必要性

若 是素数，取集合 则 构成模 乘法的简化剩余系，即任意 ，存在 ，使得: 那么 中的元素是不是恰好两两配对呢? 不一定，但只需考虑这种情况

解得:

其余两两配对：故而

定理推广

著名的威尔逊定理 (最早出现在Leibuitz的研究中) ， 表明对任何素数， 都有

本文研究这高斯定理是否对阶乘同样满足。我们知道二项n式系数是由下列公式定义的

。现在我们定义阶乘  如下:

说明的这个定义是合理的。

定理意义

威尔逊定理给出了判定一个自然数是否为素数的充分必要条件。即：当且仅当为素数时：，但是由于阶乘是呈爆炸增长的，其结论对于实际操作意义不大，但借助计算机的运算能力有广泛的应用，也可以辅助数学推导。[1]

参考资料