割线定理（数学定理）

割线定理（数学定理）

割线定理 （数学定理） 次浏览 | 2023.03.07 13:17:44 更新 来源 ：互联网 精选百科 本文由作者推荐 割线定理数学定理

割线定理，是现代词，是一个专有名词，指的是从圆外一点引圆的两条割线，这一点到每条割线与圆交点的距离的积相等，英文SecantTheorem，割线定理为圆幂定理之一。相交弦定理、切割线定理以及它们的推论统称为圆幂定理，一般用于求线段长度。

中文名

割线定理

外文名

SecantTheorem

提出者

JakobSteiner

适用领域

几何

应用学科

数学、物理等

后续研究者

侯明辉

相关定理

三弦定理、三弦共点定理、四边形外角定理等

定理定义

文字表达：从圆外一点引圆的两条割线，这一点到每条割线与圆交点的距离的积相等。

数学语言：从圆外一点引两条割线与圆分别交于则有。如下图所示(是切线）。

几何语言：∵割线和交于圆于点，∴

图示1

验证推导证明一图2

已知：如图2直线和是自点引的圆的两条割线 求证： 证明：连接、∵角和角都对弧∴由圆周角定理，得∠DAP=∠BCP 又因为

（如果一个三角形的两个角与另一个三角形的两个角对应相等，那么这两个三角形相似。）

即

证明二

既然圆内接四边形定理可以从割线定理而得，那么或许割线定理就可以从圆内接四边形定理而得。

图3

如图3所示。 已知：从圆外一点引两条圆的割线，一条交圆于，另一条交圆于、 求证:

证明：连接、

由圆内接四边形定理得

又 (平角的定义)

(同角的补角相等)

(两角对应相等的三角形相似)

(相似三角形对应边成比例)

(比例基本性质)

证明三

根据切割线定理求证。

图4

已知：从圆外一点引两条圆的割线，一条交圆于、，另一条交圆于、 求证： 过点作圆的切线，记切点为 由切割线定理可知：

定理推广

两对字母P1与P2，E与F，单独互换其中任一对，或同时互换两对，所得等式均成立，即有：

具体图示

三对字母P1与P2，E与F，M与N任意互换其中任一对，或同时互换其中两对或同时互换三对，所得等式均成立。

[2]

比较

相交弦定理、切割线定理以及它们的推论统称为圆幂定理，一般用于求线段长度。

定理意义

鞍山日报消息（吴庚秀实习生崔宇记者朱玉龙）16日，岫岩著名教师侯明辉收到了世界科学教育出版社和中国国际教育学会共同主办的2005年第二卷《中国育人》杂志。该杂志全文刊登了侯明辉的最新数学论文《三割线定理的证明及应用》。新论文在这本权威杂志上的发表标志着侯明辉新发现的“三割线定理”已经被认可。

该杂志的评价是：“由以上几例可知，应用三割线定理解证数学难题确实有独到之处，它可以使问题化繁为简、化难为易，从而收到事半功倍的效果，因此三割线定理值得重视。”近期出刊的由天津师范大学、天津市数学学会、中国数学会普及工作委员会创办的《中国数学》杂志，则将侯明辉的数学“三割线定理”纳入“数学奥林匹克命题”加以阐释。与此同时，连日来侯明辉本人收到国内各大专院校及数学教研机构发来的贺信达千余封，纷纷称赞他发现的“三割线定理”是数学界的一件喜事。

42岁的侯明辉几年来因相继发现了“三弦定理”、“三弦共点定理”、“四边形外角定理”、“三角形二外角定理”等众多数学新定理而在国内数学界引起一连串的震动。几年来他先后发表学术论文200多篇，先后在上海师范大学《上海中等数学》、河南教育出版社《中等数理化》等学术杂志发表。

取得了众多成绩与荣誉的侯明辉并没有就此满足，为了探索一条更为巧妙简捷的求解数学难题的新途径，自去年7月初起他潜心攻坚，“三割线定理”是他受“三弦定理”的启发研究出来的。“三弦定理”是“过圆上一点引该圆任意三条弦，则中间弦与最大角正弦积等于其余两弦和它们不相邻角正弦积之和。”而这三条弦局限在圆内，侯明辉就想到如果将这三条弦延伸到圆外变成三条割线会是什么效果？经过半年多的不懈努力，侯明辉终于论证出“三割线定理”。

侯明辉说，“三割线定理”特别复杂，论证过程十分艰难，而且主要用公式和图形去论证，所以很难用文字对这个定理进行描述。但论证出来后，这个定理在平面几何中圆类问题的计算和论证方面有着广泛的应用。依靠这个定理解题的步骤可以节省2／3甚至更多。[1]

参考资料