共轭复数（两个复数实部相等，虚部互为相反数）

共轭复数（两个复数实部相等，虚部互为相反数）

共轭复数 （两个复数实部相等，虚部互为相反数） 次浏览 | 2022.06.14 13:41:45 更新 来源 ：互联网 精选百科 本文由作者推荐 共轭复数两个复数实部相等，虚部互为相反数

当两个复数实部相等，虚部互为相反数时，这两个复数叫做互为共轭复数。共轭复数，两个实部相等，虚部互为相反数的复数互为共轭复数(conjugatecomplexnumber)。当虚部不为零时，共轭复数就是实部相等，虚部相反,如果虚部为零，其共轭复数就是自身。

（当虚部不等于0时也叫共轭虚数）复数z的共轭复数记作zˊ。同时,复数zˊ称为复数z的复共轭(complexconjugate)。共轭复数有些有趣的性质，还有一些四则运算性质。例如复数的乘法法则：把两个复数相乘，类似两个多项式相乘，把实部与虚部分别合并。两个复数的积仍然是一个复数。

中文名

共轭复数

英文名

conjugate complex number

类型

概念

类别

定律

词语定义共轭复数

两个实部相等，虚部互为相反数的复数互为共轭复数

(conjugate complex number)。（当虚部不等于0时也叫共轭虚数）复数z的共轭复数记作zˊ。

同时, 复数zˊ称为复数z的复共轭(complex conjugate).

根据定义，若z=a+bi(a，b∈R)，则 zˊ=a－bi（a,b∈R)。共轭复数所对应的点关于实轴对称（详见附图）。两个复数:x+yi与x-yi称为共轭复数,它们的实部相等,虚部互为相反数.在复平面上.表示两个共轭复数的点关于X轴对称.而这一点正是"共轭"一词的来源.两头牛平行地拉一部犁,它们的肩膀上要共架一个横梁,这横梁就叫做"轭".如果用Z表示X+Yi,那么在Z字上面加个"一"就表示X-Yi,或相反。

共轭复数有些有趣的性质:

︱x+yi︱=︱x-yi︱

(x+yi)*(x-yi)=x^2+y^2=︱x+yi︱^2=︱x-yi︱^2

另外还有一些四则运算性质.

代数特征

（1）|z|=|z′|。

共轭复数

（2）z+z′=2a（实数），z－z′=2bi。

（3）z·z′=|z|^2=a^2+b^2（实数）。

加法法则

复数的加法法则：设z1=a+bi,z2=c+di是任意两个复数。两者和的实部是原来两个复数实部的和，它的虚部是原来两个虚部的和。两个复数的和依然是复数。[1]即 (a+bi)±(c+di)=(a±c)+(b±d)i。

减法法则

复数的减法按照以下规定的法则进行：设z1=a+bi，z2=c+di是任意两个复数， 则它们的差是 (a+bi)-(c+di)=(a-c)+(b-d)i。 两个复数的差依然是复数，它的实部是原来两个复数实部的差，它的虚部是原来两个虚部的差。[2]

乘法法则

复数的乘法法则：把两个复数相乘，类似两个多项式相乘，结果中i^2 = -1，把实部与虚部分别合并。两个复数的积仍然是一个复数。

即：z1z2=（a+bi)(c+di)=ac+adi+bci+bdi2=(ac－bd)+(bc+ad)i。

除法法则

复数除法定义：满足（c+di)(x+yi)=(a+bi）的复数x+yi(x,y∈R）叫复数a+bi除以复数c+di的商运算方法：将分子和分母同时乘以分母的共轭复数，再用乘法法则运算。

开方法则

若z^n=r(cosθ+isinθ），则z=n√r[cos(2kπ+θ）/n+isin(2kπ+θ）/n]（k=0，1，2，3-n-1）

共轭法则

z=x+iy的共轭，标注为z*就是共轭数z*=x-iy

即：zz*=（x+iy)(x-iy)=x2-xyi+xyi-y2i2=x2+y2

即，当一个复数乘以他的共轭数，结果是实数。

z=x+iy和z*=x-iy 被称作共轭对

运算特征

（1）(z1+z2)′=z1′+z2′

（2）(z1-z2)′=z1′-z2′

（3）(z1·z2)′=z1′·z2′

（4）(z1/z2)′=z1′/z2′(z2≠0)

总结：和（差、积、商）的共轭等于共轭的和（差、积、商）。

运算性质

①|z1·z2|=|z1|·|z2|

②③┃|z1|－|z2|┃≤|z1+z2|≤|z1|+|z2|

|z1－z2|=|z1－z2|，是复平面的两点间距离公式，由此几何意义可以推出复平面上的直线、圆、双曲线、椭圆的方程以及抛物线

PS

:z′表示复数z的共轭复数(实际形式为z上一横)，z″表示复数z的共轭复数的共轭复数(为z上两横)，即z〃=z。

参考资料