柯西积分定理（复变函数论核心定理）

柯西积分定理（复变函数论核心定理）

柯西积分定理 （复变函数论核心定理） 次浏览 | 2022.09.04 09:25:00 更新 来源 ：互联网 精选百科 本文由作者推荐 柯西积分定理复变函数论核心定理

柯西积分定理（或称柯西－古萨定理），是一个关于复平面上全纯函数的路径积分的重要定理。柯西积分定理说明，如果从一点到另一点有两个不同的路径，而函数在两个路径之间处处是全纯的，则函数的两个路径积分是相等的。

另一个等价的说法是，单连通闭合区域上的全纯函数沿着任何可求长闭合曲线的积分是0。

中文名

柯西积分定理

外文名

CaCauchy integral theorem

提出者

柯西

适用领域

高等数学

定理定义

复变函数论的核心定理 。 它讨论一个区域D上的复函数在什么条件下在D上积分与路径无关 ， 最简单的柯西积分定理的形式为:当D是单连通区域，而f(z)是D上的解析函数时，以下3个互相等价的结论成立 : ① f(z) 在D内沿任意可求长曲线积分与路径无关。②f( z )在 D内沿任意可求长闭曲线积分为零。③f(z )在D上有原函数。 如果在连续函数类中讨论，则以上定理还是可逆的。

应用例子

在上述条件下 ，若 L=L0+…+L即D由L0，，…，L所围成，

作为柯西积分定理的应用，有同样可作为解析函数充要条件的柯西积分公式:f(z)在上连续 ，在D内解析的充要条件是。

柯西积分定理指出，如果全纯函数的闭合积分路径没有包括奇点，那么其积分值为0;如果包含奇点，则外部闭合路径正向积分的值等于包围这个奇点的内环上闭合路径的正向积分值。

柯西积分公式是证明一系列解析函数重要性质的工具，首先是证明了圆盘上的解析函数一定可展为幂级数 ，从而证明了 A.-L.柯西与K.魏尔斯特拉斯关于解析函数两个定义的等价性 ，其次证明了解析函数是无限次可微的，从而其实部与虚部也是无限次可微的调和函数。柯西积 分定理 已推广到沿同 伦曲线或沿同调链 积分的形式。柯西积分公式在多复变函数中也有许多不同形式.

函数

简单的说，定义如下:

设C是一条简单闭曲线，函数f(z)在以C为边界的有界区域D内解析，那么有:

f(z)对曲线的闭合积分值为零。

过程

(注:f(z)为复函数)

(上述定义直接证明是比较困难的 在加上f(z)的导数在c上连续这个条件后，黎曼于1851年运用格林公式给出了简明的证明过程

折叠正式的证明

1900年古萨给出了正式的证明)

U是单连通的条件，意味着U没有"洞"，例如任何一个开圆盘U= {z: |z−z0 | <r}都符合条件，这个条件是很重要的，考虑以下路径

它是一个单位圆，则路径积分不等于零;这里不能使用柯西积分定理，因为f(z) = 1/z在z = 0处没有定义。

参考资料