平面镶嵌（平面密铺的别称）

平面镶嵌（平面密铺的别称）

平面镶嵌 （平面密铺的别称） 次浏览 | 2022.10.02 17:04:30 更新 来源 ：互联网 精选百科 本文由作者推荐 平面镶嵌平面密铺的别称

用一些无间隙且不重叠摆放的若干类全等形（能够完全重合的图形叫做全等形）把平面的一部分完全覆盖，叫做平面镶嵌，又称为“平面密铺”。

平面镶嵌的关键点是:围绕一点拼在一起的几个多边形的内角的和等于360°。

最简单的平面镶嵌是只用一类全等形镶嵌平面。

中文名

平面镶嵌

又称

“平面密铺”

条件

不重叠，无缝隙

关键点

在每个公共顶点处各角的和是360°

三种方式用一种任意多边形镶嵌

1．全等的任意三角形能镶嵌平面

把一些纸整齐地叠放好，用剪刀一次即可剪出多个全等的三角形．用这些全等的三角形可镶嵌平面．这是因为三角形的内角和是180°，用6个全等的三角形即可镶嵌出一个平面，如图1。[1]

用全等的三角形镶嵌平面，镶嵌的方法不止一种，如图2。

2．全等的任意四边形能镶嵌平面

仿上面的方法可剪出多个全等的四边形，用它们可镶嵌平面．这是因为四边形的内角和是360°，用4个全等的四边形即可镶嵌出一个平面，如图3。其实四边形的平面镶嵌可看成是用两类全等的三角形进行镶嵌，如图4。

3．全等的特殊五边形可镶嵌平面

圣地亚歌一位家庭妇女，五个孩子的母亲玛乔里·赖斯，对平面镶嵌有很深的研究，尤其对五边形的镶嵌提出了很多前所未有的结论。1968年克什纳断言只有8类五边形能镶嵌平面，可是玛乔里·赖斯后来又找到了5类五边形能镶嵌平面，在图5的五边形ABCDE中，∠B=∠E=90°，2∠A+∠D=2∠C+∠D=360°，a=e，a+e=d。图6是她于1977年12月找到的一种用此五边形镶嵌的方法。1985年，罗尔夫·施泰因（Rolf Stein）发现了第14种，直至2015年7月，华盛顿大学的凯西·曼（Cay Mann）、詹尼弗·麦克劳德（Jennifer McLoud）与大卫·冯·达尔尤（David Von Derau）发现第15种可镶嵌五边形，再次将人们的目光吸引到了五边形镶嵌问题上，似乎这样的五边形还会越来越多。[3]

4．全等的特殊六边形可镶嵌平面

1918年，莱因哈特证明了只有3类六边形能镶嵌平面，图7是其中之一。在图7的六边形ABCDEF中，∠A+∠B+∠C=360°，a=d。

5．七边形或多于七边的凸多边形，不能镶嵌平面。

用同一种正多边形镶嵌

公式：（n-2)*180/nx=360，其中n为多边形的边数，x为要铺设这个多边形的个数，若x不为正整数,则不能进行镶嵌。[2]

用相同的正多边形铺地板.对于给定的某种正多边形，它能否拼成一个平面图形，而不留一点空隙？显然问题的关键在于分析能用于完整铺平地面的正多边形的内角特点。当围绕一点拼在一起的几个多边形的内角加在一起恰好组成一个周角360°时，就铺成一个平面图形。事实上，正n边形的每一个内角为(n-2)180，要求k个正n边形各有一个内角拼于一点,恰好覆盖地面，这样360°=k(n-2)180/n，而k是正整数，所以n只可能为3、4、6。

所以只有正三角形、正方形和正六边形可镶嵌平面，用其它正多边形不能镶嵌平面。

用多种正多边形镶嵌

所有的方法：

用1种：（3，3，3，3，3，3）（4，4，4，4）（6，6，6）；

用2种：（4，8，8）（3，12，12）（3，3，6，6）（3，3，3，3，6）（3，3，3，4，4）（5，5，10）

用3种：（3，4，4，6）（4，6，12）（3，3，4，12）（3，10，15）（3，9，18）（3，8，24）（3，7，42）（*4，5，20）

其中的数字分别代表正多边形的边数。共有17种。

是枚举出来的。

证明不能用3种以上的多边形镶嵌：

因为若用4种，则内角和最小为60+90+108+120=378>360，（三角形、正方形、正五边形、正六边形）。

另外其中带星号的的两个（5,10,10）（3,7,42）是只能在一个点镶嵌，而不能在整个平面镶嵌。不带这两个，则是有15种方法。

例如：用正三角形和正六形的组合进行镶嵌。设在一个顶点周围有m个正三角形的角，有n个正六边形的角。由于正三角形的每个角是60°，正六边形的每个角是120°。所以有

m·60°+n·120°=360°，即m+2n=6。

这个方程的正整数解

可见用正三角形和正六边形镶嵌，有两种类型，一种是在一个顶点的周围有4个正三角形和1个正六边形，另一种是在一个顶点的周围有2个正三角形和2个正六边形，如图8、图9。

参考资料