计数原理（数学中的重要研究对象）

计数原理（数学中的重要研究对象）

计数原理 （数学中的重要研究对象） 次浏览 | 2022.09.19 12:37:13 更新 来源 ：互联网 精选百科 本文由作者推荐 计数原理数学中的重要研究对象

计数原理是数学中的重要研究对象之一，分类加法计数原理、分步乘法计数原理是解决计数问题的最基本、最重要的方法，也称为基本计数原理，它们为解决很多实际问题提供了思想和工具。在本章中，学生将学习计数基本原理、排列、组合、二项式定理及其应用，了解计数与现实生活的联系，会解决简单的计数问题。

中文名

计数原理

学科

数字

性质

原理

用途

证明二项式定理

应用学科

离散数学、组合数学

内容介绍加法原理

如果一个目标可以在n种不同情况下完成，第k种情况又有 种不同方式来实现 ，那么实现这个目标总共有 种方法。

注意事项：

（1）每种方式都能实现目标，不依赖于其他条件；

（2）每种情况内任两种方式都不同时存在；

（3）不同情况之间没有相同方式存在。

乘法原理

如果实现一个目标必须经过n个步骤，第k步又可以有 种不同方式来实现 ，那么实现这个目标总共有 种方法。

注意事项：

（1）步骤可以分出先后顺序，每一步骤对实现目标是必不可少的；

（2）每步的方式具有独立性，不受其他步骤影响；

（3）每步所取的方式不同，不会得出（整体的）相同方式。

两个原理异同

加法原理和乘法原理的关键点在于区分是分类还是分步。

相同点

加法原理和乘法原理一样，都是回答有关一件事的不同方法种数的问题。

区别点

加法原理是完成这件事的分类计数方法，每一类都可以独立完成这件事；乘法原理是完成这件事的分步计数方法，每个步骤都不能独立完成这件事。应用这两个原理解题，首先应该分清要完成的事情是什么，然后需要区分是分类完成还是分步完成，“类”间相互独立，“步”间相互联系。

典例

例1

求以下要求的计数。

A：大于0小于10的偶数；

B：大于0小于10的奇数；

C：大于0小于10的整数；

D：大于0小于10的质数。

E：大于0小于10的质数或偶数。

解：

（1）A={2,4,6,8}，|A|=4；

（2）B={1,3,5,7,9}，|B|=5；

（3）C=A∪B，|C|=|A|+|B|=9；

（4）D={2,3,5,7}，|D|=4；

（5）E=A∪D，但质数与偶数并不互斥，有一个公共元素2，故有|E|=|A|+|D|-1=4+4-1=7。例2

从A地到B地共有3种方法，从B地到C地共有两种方法，问从A地到C地共有多少种方法。

解：要从A地到C地，需要先从A到B，再从B到C，且A到B的3种方法和B到C的2种方法互不干扰，故总共有3×2=6种方法。

参考资料