反正弦函数（数学函数模块术语）

反正弦函数（数学函数模块术语）

反正弦函数 （数学函数模块术语） 次浏览 | 2022.11.08 14:11:02 更新 来源 ：互联网 精选百科 本文由作者推荐 反正弦函数数学函数模块术语

在数学中，反三角函数（antitrigonometric functions），偶尔也称为弓形函数（arcus functions），反向函数（rever function）或环形函数（cyclometric functions））是三角函数的反函数（具有适当的限制域）。具体来说，它们是正弦，余弦，正切，余切，正割和辅助函数的反函数，并且用于从任何一个角度的三角比获得一个角度。反三角函数广泛应用于工程，导航，物理和几何。反正弦函数（反三角函数之一）为正弦函数y=sinx（x∈[-½π,½π]）的反函数，记作y=arcsinx或siny=x（x∈[-1,1]）。由原函数的图像和它的反函数的图像关于一三象限角平分线对称可知正弦函数的图像和反正弦函数的图像也关于一三象限角平分线对称。

中文名

反正弦函数

表达式

y=arcsinx

英文名

arcsine

释 义

正弦函数的反函数

领 域

数学术语

定义域

[-1，1]

基本介绍

正弦函数y=sinx，x∈[-½π,½π]的反函数叫做反正弦函数，记作y=arcsinx，x∈[-1,1]。

习惯上用x表示自变量，用y表示因变量(函数值)，所以反正弦函数写成y=arcsinx的形式

请注意正弦函数y=sinx，x∈R因为在整个定义域上没有一一对应关系，所以不存在反函数。

反正弦函数只对这样一个函数y=sinx，x∈[-½π,½π]成立，这里截取的是正弦函数靠近原点的一个单调区间，叫做正弦函数的主值区间。

理解 函数y=arcsinx中，y表示的是一个弧度制的角，自变量x是一个正弦值，siny=x或x=siny更易理解。

性质

根据反函数的性质，易得函数y=arcsinx的

arcsinx的含义：

（1）这里的x满足；

（2）arcsinx是（主值区）上的一个角（弧度数）；

（3）这个角（弧度数）的正弦值等于x，即sin（arcsinx）=x.

函数图象：我们知道这个结论“函数y=f（x）的图象和它的反函数y=f-1（x）的图象关于直线y=x对称”，先画出函数y=sinx在上的图象，用平板玻璃或透明纸画好图象，翻转过来，从图象上我们可以得到以下两个结论：

（1）反正弦函数y=arcsinx在区间【-1，1】上是增函数；

（2）反正弦函数y=arcsinx的图象关于原点对称，这说明它是奇函数，也就是arcsin（-x）=-arcsinx，x∈【-1，1】.

恒等式

sin(arcsinx)=x，x∈[-1，1](arcsinx)'=1/√(1-x^2)

arcsinx=-arcsin(-x)

arcsin（sinx)=x ，x属于[-π/2，π/2]

图像

我们知道这个结论函数f(x)的图像和它的反函数的图像关于直线y=x对称”，

先画出函数y=sinx在[－π/2，π/2]上的图像，用平板玻璃或透明纸画好图像，翻转过来。

证明单调性

在x，y∈[-π/2,π/2]x<y时：

sinx-siny=2sin[(x-y)/2]cos[(x+y)/2]

∵2sin[(x-y)/2]∈[-π,0]<>0

cos[(x+y)/2]∈[-π,0]><0

∴sinx-siny<0,sinx<siny.

∴在-1<x<y<1时，arcsinx<arcsiny

∴是增函数

奇偶性

∵y=sinx,y=x都是奇函数，∴y=arcsinx也是奇函数

应用

临界角是最少的入射角使得全内反射发生。入射角是由折射界面的法线量度。

其中n2是较低密度介质的折射率，及n1是较高密度介质的折射率。这条方程式是一条斯涅尔定律的简单应用，当中折射角为90°。 　当入射光线是准确的等于临界角，折射光线会循折射界面的切线进行。以可见光由玻璃进入空气（或真空）为例，临界角约为41.5°。

参考资料