欧拉定理(数论)（瑞士数学家莱昂哈德·欧拉提出的定理）

欧拉定理(数论)（瑞士数学家莱昂哈德·欧拉提出的定理）

欧拉定理(数论) （瑞士数学家莱昂哈德·欧拉提出的定理） 次浏览 | 2022.08.10 16:03:32 更新 来源 ：互联网 精选百科 本文由作者推荐 欧拉定理(数论)瑞士数学家莱昂哈德·欧拉提出的定理

在数学及许多分支中都可以见到很多以欧拉命名的常数、公式和定理，欧拉定理得名于瑞士数学家莱昂哈德·欧拉，该定理被认为是数学世界中最美妙的定理之一。

在数论中，欧拉定理（EulerTheorem，也称费马-欧拉定理或欧拉函数定理）是一个关于同余的性质。复数中的欧拉定理也称为欧拉公式，被认为是数学世界中最美妙的定理之一。欧拉定理实际上是费马小定理的推广。此外还有平面几何中的欧拉定理、多面体欧拉定理(在一凸多面体中，顶点数-棱边数+面数=2，即V-E+F=2)。西方经济学中欧拉定理又称为产量分配净尽定理，指在完全竞争的条件下，假设长期中规模收益不变，则全部产品正好足够分配给各个要素。另有欧拉公式。

中文名

欧拉定理

外文名

Euler Theorem

别名

费马-欧拉定理

适用领域

数学

类型

定律

莱昂哈德·欧拉

莱昂哈德·欧拉（LeonhardEuler，1707年4月15日～1783年9月18日），瑞士数学家，13岁进巴塞尔大学读书，得到著名数学家贝努利的精心指导．欧拉是科学史上最多产的一位杰出的数学家，他从19岁开始发表论文，直到76岁，他那不倦的一生，共写下了886本书籍和论文，其中在世时发表了700多篇论文。彼得堡科学院为了整理他的著作，整整用了47年。

欧拉著作惊人的高产并不是偶然的。他那顽强的毅力和孜孜不倦的治学精神，可以使他在任何不良的环境中工作：他常常抱着孩子在膝盖上完成论文。即使在他双目失明后的17年间，也没有停止对数学的研究，口述了好几本书和400余篇的论文。当他写出了计算天王星轨道的计算要领后离开了人世。欧拉永远是我们可敬的老师。欧拉研究论著几乎涉及到所有数学分支，对物理力学、天文学、弹道学、航海学、建筑学、音乐都有研究。有许多公式、定理、解法、函数、方程、常数等是以欧拉名字命名的。

欧拉写的数学教材在当时一直被当作标准教程。19世纪伟大的数学家高斯（Gauss，1777-1855）曾说过“研究欧拉的著作永远是了解数学的最好方法”。欧拉不仅解决了彗星轨迹的计算问题，还解决了使牛顿头痛的月地问题。对著名的“哥尼斯堡七桥问题”的解答开创了“图论”的研究。欧拉发现，不论什么形状的凸多面体，其顶点数V、棱数E、面数F之间总有关系V+F-E=2，此式称为欧拉公式。V+F-E即欧拉示性数，已成为“拓扑学”的基础概念。

数论定理

内容

设，且，则我们有:

其中称为对模m缩系的元素个数.

此外，a对m模的阶必整除。

证明

欧拉定理的证明

取m模的缩系,则也是模m的缩系.

故有

特别地，当m∈{素数}时，该结论加强为费马小定理.

应用

首先看一个基本的例子。令a=3，n=5，这两个数是互素的。比5小的正整数中与5互素的数有1、2、3和4，所以φ(5)=4（详情见[欧拉函数]）。计算:a^{φ(n)}=3^4=81，而81=80+1Ξ1（mod5）。与定理结果相符。

这个定理可以用来简化幂的模运算。比如计算7^{222}的个位数，实际是求7^{222}被10除的余数。7和10[[互素]]，且φ(10)=4。由欧拉定理知7^4Ξ1(mod10)。所以7^{222}=(7^4)^55*(7^2)Ξ1^{55}*7^2Ξ49Ξ9(mod10)。

几何定理

内容

1)设三角形的外接圆半径为R，内切圆半径为r，外心与内心的距离为d，则d^2=R^2-2Rr．

2)三角形ABC的垂心H，九点圆圆心V,重心G,外心O共线，称为欧拉线

证明

1)证明过程见下图：

2）证明过程见下图

参考资料