面面平行（判定定理和性质定理）

面面平行（判定定理和性质定理）

面面平行 （判定定理和性质定理） 次浏览 | 2022.11.27 14:55:47 更新 来源 ：互联网 精选百科 本文由作者推荐 面面平行判定定理和性质定理

面面平行，指的是两个平面平行。如果两个平面没有公共点，则称这两个平面平行。如果两个平面的垂线平行，那么这两个平面平行。如果一个平面内有两条相交直线与另一个平面平行，那么这两个平面也平行。

中文名

面面平行

应用学科

数学

内容

判定定理和性质定理

含义

两个平面总不相交

判定定理

如果一个平面内有两条相交，直线都平行于另一个平面，那么这两个平面平行。二、如果两个平面都垂直同一条直线，那么这两个平面是互相平行的。三、根据两个平面平行的定义，证明两个平面没有公共点。[1]

定理1

证明：令平面γ与平面α、β分别相交于直线a，c，

由l⊥β，l⊥α，可得l⊥a，l⊥b，

又由a，c⊂γ，故a∥c，

再取与γ相交的另一个平面λ与平面α、β分别相交于直线b，d，

同理可得b∥d，

由a，b⊂α，c，d⊂β，

a∩b=B

∴α∥β。

解析：先写出已知、求证，由面面平行的性质定理找到两组平行的相交直线，利用面面平行的第二判定定理可得结论。

定理2

如果一个平面内有两条相交直线与另一个平面平行，那么这两个平面平行。

几何语言：a⊂α，b⊂α，且a∩b=A，a∥β，b∥β。则α∥β。

反证法证明：假设这两个平面不平行，那么它们相交，设交线为l。

∵a∥β

∴a与β无交点

同理，b与β无交点

∵l是两个平面的交线，l⊂β

∴a与l无交点，b与l无交点，那么它们平行或异面。

又∵a⊂α，b⊂α，l⊂α，即它们不异面

∴a∥l，b∥l

∴a∥b

这与已知条件a∩b=A矛盾，因此假设不成立，α∥β

向量法证明：设直线a，b的方向向量为a，b，平面β的法向量为p。

∵a∥β，b∥β

∴a⊥p，b⊥p，即a·p=0，b·p=0

∵a，b是α内两条相交直线

∴设有任一向量c⊂α，根据平面向量基本定理可知，存在一对有序数对（x,y）使得c=xa+yb

那么p·c=p·（xa+yb）=xp·a+yp·b=0

即p⊥c

由c的任意性可知p与α内任一向量都垂直，即p也是α的法向量。

∴α∥β

定理3

如果一个平面内有两条相交直线分别与另一个平面内的两条相交直线平行，那么这两个平面平行。

几何语言：a⊂α，b⊂α，且a∩b=A。c⊂β，d⊂β，且c∩d=B。a∥c，b∥d，则α∥β

证明：过A作直线l⊥β，先讨论垂足不是B的情况。设垂足为C，过C作m∥c、n∥d。

∵a∥c，m∥c

∴a∥m

由于两条平行直线确定一个平面，l在a与m确定的平面上（因为l经过A和C，而A∈a，C∈m）：

∵l⊥m

∴l⊥a

同理l⊥b

∵a∩b=A，a⊂α，b⊂α

∴l⊥α

∵l⊥β

∴α∥β（定理1）

当l与β的垂足是B时，则无需经过垂足作c、d的平行线这一步，后面证法完全相同。

性质定理定理1

两个平面平行，在一个平面内的任意一条直线平行于另外一个平面。

证明：设α∥β，a⊂α，则a∥β

∵α∥β

∴α与β无交点

又∵a⊂α

∴a与β无交点

即a∥β

定理2

两个平行平面，分别和第三个平面相交，交线平行。

如果交线不平行的话，设交线交点为P，那么P属于两条交线，即P属于两个平行平面，这是不可能的事情。所以交线必定平行。

定理3

两个平面平行，和一个平面垂直的直线必垂直于另外一个平面。（判定定理1的逆定理）

已知：α∥β，l⊥α。求证：l⊥β

证明：先证明l与β有交点。若l∥β

∵l⊥α

∴α⊥β（面面垂直的判定），与α∥β矛盾，因此l与β一定有交点。

设l∩α=A，l∩β=B

在α内，过A任意作一条直线a，那么a∩l=A

因此a与l确定一个平面。明显，由于l与β是相交的，因此这个被a和l确定的平面也与β是相交的。

设与β的交线为b，由定理2可知a∥b

∵l⊥α，a⊂α

∴l⊥a

∴l⊥b

再经过A在α内任意作与a不重合的直线c，过l和c的平面与β相交于d，则同理可证l⊥d

明显b和d是相交的，这是因为假设b∥d，由于a∥b，c∥d，可推出a∥c，但a和c都是经过点A作出来的，这样就产生了矛盾

∵l与β内相交直线b、d都垂直

∴l⊥β

推论

两个平行平面的垂线平行或重合。

证明：重合的情况很容易证，平行的情况可以根据定理3先判定一条直线与两个平面都垂直，然后根据线面垂直的性质得到两条直线平行。

定理4

三个平行平面截两条直线，形成的对应线段成比例。

已知：α∥β∥γ，直线m分别与三个平面相交于A、B、C，直线n分别与三个平面相交于D、E、F。

求证：AB:BC=DE:EF

证明：连接AD、CF、AF，设AF∩β=O，连接BO、EO

∵α∥β，平面ADEO截α和β的交线分别为AD、EO

∴AD∥EO（定理2）

在△ADF中，∵AD∥EO

∴AO:OF=DE:EF

同理，在△AFC中，有AO:OF=AB:BC

∴AB:BC=DE:EF

推论

经过三角形一边作一个平面（与三角形所在平面不重合），与此平面平行的平面截三角形另外两边（或延长线）所得的线段对应成比例。

定理5

平行平面间的距离处处相等。

已知：α∥β，AB⊥α，DC⊥α，且A、D∈α，B、C∈β

求证：AB=CD

证明：连接AD、BC

由线面垂直的性质定理可知AB∥CD，那么AB和CD构成了平面ABCD

∵平面ABCD∩α=AD，平面ABCD∩β=BC，且α∥β

∴AD∥BC（定理2）

∴四边形ABCD是平行四边形

∴AB=CD

定理6

经过平面外一点，有且只有一个平面与已知平面平行。

已知：P是平面α外一点

求证：过P有且只有一个平面β∥α

证明：

先证明存在性。在α内任意作两条相交直线a、b，过P分别作a'∥a，b‘∥b，则a’和b‘确定一个平面β。由判定定理3可知β∥α

再证明唯一性。假设过P有两个平面β1、β2都与α平行，则过P作l⊥α，根据性质定理3，l⊥β1且l⊥β2。

再根据判定定理1，β1∥β2，这就和β1和β2同时经过点P矛盾。

两个以上的情况证明类似，所以过P有且只有一个平面β∥α。

参考资料