不动点定理（拓扑学定理）

不动点定理（拓扑学定理）

不动点定理 （拓扑学定理） 次浏览 | 2022.08.07 15:29:08 更新 来源 ：互联网 精选百科 本文由作者推荐 不动点定理拓扑学定理

Banach不动点定理(亦称Banach压缩映照原理)是泛函分析中最重要又经典的定理之一。布劳威尔不动点定理说明：对于一个拓扑空间中满足一定条件的连续函数f，存在一个点x0，使得f(x0)=x0。布劳威尔不动点定理最简单的形式是对一个从某个圆盘D射到它自身的函数f。而更为广义的定理则对于所有的从某个欧几里得空间的凸紧子集射到它自身的函数都成立。

中文名

不动点定理

外文名

fixed-point theorem

提出者

伊兹·布劳威尔

应用学科

拓扑学

适用领域

数学方程求解

提出时间

定理定义

可用于严格证明某方程式系统的解的存在性的定理。现代数学——拓扑学、集合论中的一个定理,由荷兰数学家布劳威尔(Brouwer,Luitzen Egbertus Jan, 1881—1966)、日本数学家角谷(生卒年不详)分别于1912年和1941年提出。含义大致可描述为:在一定条件下,如果一个映射f把集合X中的每一个点x变换到集合f(x),那么存在着不动点x*,该不动点是包含于其映象f(x)中的点x*∈f(x*)。[2]

设(A，d)为完备的度量空间，f为从A到其自身中的李普希茨映射。如果李普希茨比的级数λ(fn)收敛，则存在A的唯一的点a，在f下该点不动。其次，对A的任一元素x0，由递推关系：

定义的级数(xn)必收敛于a。

这一定理尤其适用于f为压缩映射的情况。利用所谓逐次逼近法，不动点定理是证明隐式方程、常微分方程和积分方程解的存在唯一性定理的基础。

定理表述

对应于一个定义于集合到其自身上的映射而言，所谓不动点，是指经过该映射保持“不变的”点。不动点定理是用于判断一个函数是否存在不动点的定理。常用的不动点定理有：

(1)布劳威尔不动点定理(1910年)：若A⊂R(N维实数集合)且A为非空、紧凸集，f：A→A是一个从A到A的连续函数，则该函数f(·)有一个不动点，即存在x∈A，x=f(x)。

该定理常被用于证明竞争性均衡的存在性。

(2)角谷(kakutani)不动点定理(1941年)：若A⊂R且A为非空、紧凸集，f：A→A是从A到A的一个上半连续对应，且f(x)⊂A对于任意x∈A是一个非空的凸集，则f(·)存在一个不动点。

不动点定理一般只给出解的存在性判断，至于如何求解，则需要用到20世纪60年代末斯卡夫(H.E.Scarf)提出的不动点算法。因此，不动点定理常被用于解决经济模型中出现的存在性问题，例如多人非合作对策中均衡点的存在性等。

定理启示

建立布劳威尔不动点定理是他的突出贡献．这个定理表明：在二维球面上，任意映到自身的一一连续映射，必定至少有一个点是不变的．他把这一定理推广到高维球面．尤其是，在n维球内映到自身的任意连续映射至少有一个不动点．在定理证明的过程中，他引进了从一个复形到另一个复形的映射类，以及一个映射的映射度等概念．有了这些概念，他就能第一次处理一个流形上的向量场的奇点。

康托尔揭示了不同的n与空间Rn的一一对应关系．G．皮亚诺(Peano)则实现了把单位线段连续映入正方形．这两个发现启示了，在拓扑映射中，维数可能是不变的。1910年，布劳威尔对于任意的n证明了这个猜想——维数的拓扑不变性．在证明过程中，布劳威尔创造了连续拓扑映射的单纯逼近的概念，也就是一系列线性映射的逼近。他还创造了映射的拓扑度的概念——一个取决于拓扑映射连续变换的同伦类的数。实践证明，这些概念在解决重要的不变性问题时非常有用．例如，布劳威尔就借助它界定了n维区域；J．W．亚历山大(Alexander)则用它证明了贝蒂数的不变性。

发展简史

布劳威尔不动点定理是代数拓扑的早期成就，还是更多更一般的不动点定理的基础，在泛函分析中尤其重要。在1904年，首先由Piers Bohl证明n=3的情况（发表于《纯綷及应用数学期刊》之内）。后来在1909年，鲁伊兹·布劳威尔（L.E.J.Brouwer）再次证明。在1910年，雅克·阿达马提供一般情况的证明，而布劳威尔在1912年提出另一个不同的证明。这些早期的证明皆属于非构造性的间接证明，与数学直觉主义理想矛盾。现在已知如何构造（接近）由布劳威尔不动点定理所保证的不动点，见例子(Karamadian 1977)和(Istrăţescu 1981)。

示例

这个定理可以通过很实际的例子来理解。比如：取两张一样大小的白纸，在上面画好垂直的坐标系以及纵横的方格。将一张纸平铺在桌面，而另外一张随意揉成一个形状（但不能撕裂），放在第一张白纸之上，不超出第一张的边界。那么第二张纸上一定有一点正好就在第一张纸的对应点的正上方。一个更简单的说法是：将一张白纸平铺在桌面上，再将它揉成一团（不撕裂），放在原来白纸所在的地方，那么只要它不超出原来白纸平铺时的边界，那么白纸上一定有一点在水平方向上没有移动过。

这个断言的根据就是布劳威尔不动点定理在二维欧几里得空间（欧几里得平面）的情况，因为把纸揉皱是一个连续的变换过程。

另一个例子是大商场等地方可以看到的平面地图，上面标有“您在此处”的红点。如果标注足够精确，那么这个点就是把实际地形射到地图的连续函数的不动点。

地球绕着它的自转轴自转。自转轴在自转过程中的不变的，也就是自转运动的不动点。

理论

克纳斯特-塔斯基定理（Knaster–Tarskitheorem）在数学领域序理论和格理论中，克纳斯特-塔斯基定理，得名于克纳斯特（Bronis?awKnaster）和阿尔弗雷德·塔斯基（AlfredTarski），它声称：设L是完全格并设f:L→L是次序保持函数。则f在L中的不动点的集合也是完全格。因为完全格不能是空的，这个定义特别保证f的至少一个不动点的存在，甚至一个“最小”（或“最大”）不动点的存在。在很多实际情况中，这是这个定理最重要的蕴涵。

λ演算（lambdacalculus）是一套用于研究函数定义、函数应用和递归的形式系统。它由丘奇（AlonzoChurch）和他的学生克莱尼（StephenColeKleene）在20世纪30年代引入。Church运用λ演算在1936年给出判定性问题（Entscheidungsproblem）的一个否定的答案。这种演算可以用来清晰地定义什么是一个可计算函数。关于两个lambda演算表达式是否等价的命题无法通过一个“通用的算法”来解决，这是不可判定性能够证明的头一个问题，甚至还在停机问题之先。Lambda演算对函数式编程语言有巨大的影响，比如Lisp语言、ML语言和Haskell语言。

Lambda演算可以被称为最小的通用程序设计语言。它包括一条变换规则（变量替换）和一条函数定义方式，Lambda演算之通用在于，任何一个可计算函数都能用这种形式来表达和求值。因而，它是等价于图灵机的。尽管如此，Lambda演算强调的是变换规则的运用，而非实现它们的具体机器。可以认为这是一种更接近软件而非硬件的方式。

邱奇-图灵论题（TheChurch-Turingthesis）是计算机科学中以数学家阿隆佐·邱奇（AlonzoChurch）和阿兰·图灵命名的论题。该论题最基本的观点表明，所有计算或算法都可以由一台图灵机来执行。以任何常规编程语言编写的计算机程序都可以翻译成一台图灵机，反之任何一台图灵机也都可以翻译成大部分编程语言程序，所以该论题和以下说法等价：常规的编程语言可以足够有效的来表达任何算法。该论题被普遍假定为真，也被称为邱奇论题或邱奇猜想和图灵论题。

定理意义

不动点定理给出一个一般的标准，如果条件满足，迭代函数的过程产生一个固定点。

相比之下，不动点定理是一个非建设性的结果：它表示从n维欧几里德空间中的封闭单位球到自身的任何连续函数都必须有一个固定点，但是没有描述如何找到固定点（参见Sperner的引理）。

例如，余弦函数在[-1,1]中是连续的，并将其映射成[-1,1]，因此必须有一个固定点。当检查余弦函数的草绘图时，这是很清楚的;发生固定点，其中余弦曲线y=cos（x）与线y=x相交。在数值上，固定点大约为x=0.73908513321516（因此x=cos（x））。

代数拓扑中的Lefschetz定点定理（和Nieln定点定理）是显着的，因为它在某种意义上给出了一种计数固定点的方法。

对不动点定理进行了一些推广;这些都适用于PDE理论。参见无限维空间中的定点定理。

分形压缩中的拼贴定理证明，对于许多图像，存在对迭代应用于任何起始图像时快速收敛在所需图像上的函数的相对较小的描述。

代数和离散数学中的应用：

Knaster-Tarski定理指出，完整格子上的任何维持秩序的函数都有一个固定点，实际上是一个最小的固定点。

定理在抽象解释中有应用，这是静态程序分析的一种形式。

lambda演算中的常见主题是找到给定的lambda表达式的固定点。每个lambda表达式都有一个固定点，而一个定点组合器是一个“函数”，它将lambda表达式作为输入，并产生该表达式的固定点。一个重要的定点组合器是用于给出递归定义的Y组合器。

在编程语言的指称语义中，使用Knaster-Tarski定理的特殊情况来建立递归定义的语义。虽然定点定理被应用于“相同”的功能（从逻辑的角度来看），理论的发展是完全不同的。

在可计算性理论中，可以通过应用Kleene递归定理给出递归函数的相同定义。这些结果不是等价的定理；Knaster-Tarski定理比指称语义中使用的定理强得多。然而，鉴于Church-Turing论文，他们的直观含义是相同的：递归函数可以被描述为功能的函数映射函数的最小固定点。

上述迭代函数找到固定点的技术也可以在集合理论中使用；正常功能的定点引理指出，从序数到序数的任何连续的严格增加的函数都有一个（甚至很多）固定点。

每个封闭操作员都有很多固定点；这些是关闭操作符的“封闭元素”，它们是闭包运算符首先定义的主要原因。

在有奇数个元素的有限集上的每个卷积都有一个固定点；更一般地，对于有限元素集合上的每个卷积，元素的数量和固定点的数量具有相同的奇偶性。唐·萨吉尔（Don Zagier）使用这些观察结果，给出了两个平方和的Fermat定理的一个句子证明，通过在同一组三元组中描述两个渐近，其中一个可以很容易地显示出只有一个固定点，另一个对于给定素数（与1模4相等）的每个表示具有两个正方形的和的固定点。由于第一次卷积具有奇数个固定点，因此第二次也存在所需形式的表示。

参考资料