点乘（数学术语）

点乘（数学术语）

点乘 （数学术语） 次浏览 | 2022.06.18 18:14:17 更新 来源 ：互联网 精选百科 本文由作者推荐 点乘数学术语

在数学中，数量积(dot product；scalar product，也称为点积、点乘)是接受在实数R上的两个向量并返回一个实数值标量的二元运算。它是欧几里得空间的标准内积。

两个向量a=[a1，a2，…，an]和b=[b1，b2，…，bn]的点积定为：a·b=a1b1+a2b2+……+anbn。使用矩阵乘法并把(纵列)向量当作n×1矩阵，点积还可以写为：a·b=a*b^T，这里的b^T指示矩阵b的转置。

中文名

点乘

外文名

dot product; scalar product

别称

点积、数量积

运算类型

二元运算

点积的三个值

u、v、u,v夹角的余弦

点积的值

u,v的点积=|u||v|cos

简述

u的大小、v的大小、u，v夹角的余弦。在u，v非零的前提下，点积如果为负，则u，v形成的角大于90度；如果为零，那么u，v垂直；如果为正，那么u，v形成的角为锐角。

两个单位向量的点积得到两个向量的夹角的cos值，通过它可以知道两个向量的相似性，利用点积可判断一个多边形是否面向摄像机还是背向摄像机。

向量的点积与它们夹角的余弦成正比，因此在聚光灯的效果计算中，可以根据点积来得到光照效果，如果点积越大，说明夹角越小，则物理离光照的轴线越近，光照越强。

运算律

1、交换律：α·β=β·α2、分配律：(α+β)·γ=α·γ+β·γ3、若λ为数：(λα)·β=λ(α·β)=α·(λβ)若λ、μ为数：：(λα)·(μβ)=λμ(α·β)4、α·α=|α|²，此外：α·α=0〈=〉α=0。向量的数量积不满足消去律，即一般情况下：α·β=α·γ，α≠0≠〉β=γ。向量的数量积不满足结合律，即一般(α·β)·γ≠〉α·(β·γ)相互垂直的两向量数量积为0

表示

已知两个非零向量a=(x1，y1)，b=(x2，y2)，则有a·b=x1x2+y1y2，即两个向量的数量积等于它们对应坐标的乘积的和。

应用

平面向量的数量积a·b是一个非常重要的概念，利用它可以很容易地证明平面几何的许多命题，例如勾股定理、菱形的对角线相互垂直、矩形的对角线相等等。如证明：

(1)勾股定理：Rt△ABC中，∠C=90°，则|CA|^2+|CB|^2=|AB|^2。

∵AB=CB-CA

∴AB·AB=(CB-CA)·(CB-CA)=CB·CB-2CA·CB+CA·CA

又∵∠C=90°，有CA⊥CB，于是CA·CB=0

∴AB·AB=AC·AC+CB·CB

(2)菱形对角线相互垂直：菱形ABCD中，点O为对角线AC、BD的交点，求证AC⊥BD。

设|AB|=|BC|=|CD|=|DA|=a

∵AC=(AB+BC)cosα，BD=(BC+CD)cos(π-α)

∴AC·BD=(AB+BC)cosα·(BC+CD)cos(π-α)=a^2(cosα+cos(π-α)+1-1)

又∵cosα=-cos(π-α)

∴AC·BD=(AB+BC)cosα·(BC+CD)cos(π-α)=a^2(cosα+cos(π-α)+1-1)=0

∴AC⊥BD

在生产生活中，点积同样应用广泛。利用点积可判断一个多边形是否面向摄像机还是背向摄像机。向量的点积与它们夹角的余弦成正比，因此在聚光灯的效果计算中，可以根据点积来得到光照效果，如果点积越大，说明夹角越小，则物理离光照的轴线越近，光照越。物理中，点积可以用来计算合力和功。

若b为单位矢量，则点积即为a在方向b的投影，即给出了力在这个方向上的分解。功即是力和位移的点积。计算机图形学常用来进行方向性判断，如两矢量点积大于0，则它们的方向朝向相近；如果小于0，则方向相反。矢量内积是人工智能领域中的神经网络技术的数学基础之一，此方法还被用于动画渲染(Animation-Rendering)。

线性变换中点积的意义：

根据点积的代数公式：a·b=a1b1+a2b2+……+anbn，假设a为给定权重向量，b为特征向量，则a·b其实为一种线性组合，函数F(a·b)则可以构建一个基于a·b+c=0(c为偏移)的某一超平面的线性分类器，F是个简单函数，会将超过一定阈值的值对应到第一类，其它的值对应到第二类。

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针对传统三维弹性波逆时偏移方法存在横波合成不准确的难题，提出基于行波分离的矢量波场点积互相关成像条件。首先利用传统波场分离方法获得标量纵波和矢量横波；再对波场分离得到的标量纵波求取梯度获得矢量势纵波，对矢量横波求取旋度得到矢量势横波；然后求取弹性波场的坡印廷矢量并据此对矢量势纵横波进行分解，分别得到上、下、左、右、前、后行波；

最后将炮点分解得到的上、下、左、右、前、后矢量纵、横波分别与接收点分解得到的下、上、右、左、后、前矢量纵、横波对应做点积互相关，得到炮点纵波接收点纵波偏移剖面、炮点纵波接收点转换横波偏移剖面、炮点转换横波接收点纵波偏移剖面和炮点转换横波接收点转换横波偏移剖面。该成像方法理论上可以消除逆时偏移产生的低频噪声，且无需对转换横波偏移剖面做极性校正；模型算例证明了算法的准确性和有效性。[1]

参考资料