插值法（一般指插值（离散数学名词））

插值法（一般指插值（离散数学名词））

插值法 （一般指插值（离散数学名词）） 次浏览 | 2022.05.29 13:07:34 更新 来源 ：互联网 精选百科 本文由作者推荐 插值法一般指插值（离散数学名词）

插值法又称“内插法”，是利用函数f(x)在某区间中插入若干点的函数值，作出适当的特定函数，在这些点上取已知值，在区间的其他点上用这特定函数的值作为函数f(x)的近似值，这种方法称为插值法。

如果这特定函数是多项式，就称它为插值多项式。

中文名

插值法

类型

概念

类别

定律

别称

内插法

分段插值

插值多项式余项公式说明插值节点越多，误差越小，函数逐近越好，但后来人们发现，事实并非如此，例如：取被插函数，在[-5，5]上的n+1个等距节点：

计算出f(xk）后得到Lagrange插值多项式Ln(x），考虑[-5,5]上的一点x=5-5/n，分别取n=2,6,10,14,18计算f(x),Ln(x）及对应的误差Rn(x）。

随节点个数n的增加，误差lRn(x)l不但没减小，反而不断的增大.这个例子最早是由Runge研究，后来人们把这种节点加密但误差增大的现象称为Runge现象.出现Runge现象的原因主要是当节点n较大时，对应的是高次插值多项式。

此差得积累"淹没"了增加节点减少的精度.Runge现象否定了用高次插值公式提高逼近精度的想法，本节的分段插值就是克服Runge现象引入的一种插值方法.

分段多项式插值的定义为

定义2:a=x0

如果函数Φ（x）满足条件

Φ（x）在[a,b]上连续

Φ（xr)=yR,R=0,1，…，n

Φ（x)zai每个小区间[xR,xR+1]是m次多项式，

R=0,1，…，n-1则称Φ（x）为f(x）在[a,b]上的分段m次插值多项式

实用中，常用次数不超过5的底次分段插值多项式，本节只介绍分段线性插值和分段三次Hermite插值，其中分段三次Hermite插值还额外要求分段插值函数Φ（x)

在节点上与被插值函数f(x）有相同的导数值，即

基本思想将被插值函数f〔x〕的插值节点由小到大排序，然后每对相邻的两个节点为端点的区间上用m次多项式去近似f〔x〕.

插值法原理

数学内插法即“直线插入法”。其原理是，若A(i1,b1),B(i2,b2)为两点，则点P(i,b)在上述两点确定的直线上。而工程上常用的为i在i1,i2之间，从而P在点A、B之间，故称“直线内插法”。

数学内插法说明点P反映的变量遵循直线AB反映的线性关系。

上述公式易得。A、B、P三点共线，则 (b-b1)/(i-i1)=(b2-b1)/(i2-i1)=直线斜率，变换即得所求。

参考资料