差错控制编码

2024年3月31日发(作者：参观学习心得体会)

差错控制编码

差错控制编码的原理是：发送方对准备传输的数据开展抗干扰编码，即按某种算法附

加上一定的冗余位，构成一个码字后再发送。接收方收到数据后开展校验，即检查信息位

和附加的冗余位之间的关系，以检查传输过程中是否有差错发生。差错控制编码分检错码

和纠错码两种，检错码是能自动发现差错的编码，纠错码是不仅能发现差错而且能自动纠

正差错的编码。计算机网络中常用的差错控制编码是奇偶校验码、循环冗余码和海明校验

码。

1. 奇偶校验码

奇偶校验码是一种最简单的检错码。其原理是：通过增加冗余位来使得码字中"1"的个

数保持为奇数（奇校验）或偶数（偶校验）。例如，偶校验：11010100，11011011

在实际使用时，奇偶校验可分为以下三种方式。

(1) 垂直奇偶校验

(2) 水平奇偶校验

(3) 水平垂直奇偶校验

2. 循环冗余码

循环冗余码又称CRC码（Cyclic Redundancy Code），简称循环码。CRC码检错能

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力强，且容易实现，是目前最广泛的检错码编码方法之一。在计算机网络和磁盘数据存储

中，CRC被广泛采用。

CRC是一种检错码，其编码过程涉及二进制多项式和模2运算知识。如比特串

B7B6B5B4B3B2B1B0的二进制多项式形式是B7*X7+ B6*X6+B5*X57+B4*X4+

B3*X3+ B2*X2+ B1*X1+ B0*X0+，若比特串取值为10101110，则该比特串可被表示成

二进制多项式X7+X5+ X3+X2+ 1。

二进制多项式的加减法运算以2为模，即加减时不进、错位，如同逻辑异或运算，乘

除法可看成是多次加减法运算。

采用CRC校验时，发送方和接收方事先约定一个生成多项式G(X)，并且G(X)的最高

项和最低项的系数必须为1。

CRC编码由两部分组成，如图2-35所示。1信息串编码校验块

发送端的CRC校验块编码步骤

(1) 将要发送的二进制数据（k位比特序列），对应一个（k-1）阶多项式K(x)；再选取

一个收发双方预先约定的r阶生成码多项式G(x)，即G(x)的最高次幂为r。

(2) 在原数据比特串尾添加r个0，即，xrK(x)。

(3) 开展模2除法xrK(x)/G(x)，得到商Q(x)，并求得余数R(x)。R(x)即为校验块。

(4) 用R(x)替代xrK(x)最后的r个0（即xrK(x) - R(x)），得到待传送的CRC码多项式

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（数据位加校验位）T(x)。

3、海明校验码

首先介绍码距的概念。一个编码系统中任意两个合法编码之间不同的二进制位数叫这

两个码字的码距，而整个编码系统中任意两个码字的最小码距就是该编码系统的码距。为

了使一个系统能纠正一位差错，码距最小是3。最小距离为3时，或能纠正一位错，或能

检测二位错，但不能同时纠正一位错并检测二位错。编码信息纠错和检错能力的提高需要

进一步增大编码系统的码距。码距越大，纠错能力越强，但数据冗余也越大，即编码效率

低了。

海明校验码是由Richard Hamming于1950年提出，目前还被广泛采用的一种很有

效的校验方法，是只要增加少数几个校验位，就能检测出二位同时出错、亦能检测出一位

出错并能自动恢复该出错位的正确值的有效手段，后者被称为自动纠错。它的实现原理，

是在k个数据位之外加上r个校验位，从而形成一个k+r位的新的码字，使新的码字的码

距比较均匀地拉大。把数据的每一个二进制位分配在几个不同的偶校验位的组合中，当某

一位出错后，就会引起相关的几个校验位的值发生变化，这不但可以发现出错，还能指出

是哪一位出错,为进一步自动纠错提供了依据。

海明不等式

设N为校验码的位数，K是有效信息位，r是校验位（分成r组作奇偶校验，能产生r

位检错信息）

海明码应满足 N=K＋r≤2r－1（海明不等式），若r=3 则N=K＋r≤7 所以K≤4

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