2022-2023学年江苏省连云港市灌南县、灌云县联考高二(上)期末数学试卷

2024年3月31日发(作者：研究生培养)

2022-2023学年江苏省连云港市灌南县、灌云县联考高二（上）期末数学

试卷

一、单项选择题：本大题共8小题，每小题5分，共计40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是

符合题目要求的．

1．已知直线l过A（﹣1，3）、B（1，1）两点，则直线l的倾斜角的大小为（ ）

A．

4

𝜋

B．

3

1

3

𝜋

C．

2𝜋

3

D．

3𝜋

4

2．在等比数列{a

n

}中，a

3

，a

7

是函数𝑓(𝑥)=

𝑥

3

−4𝑥

2

+4𝑥−1的极值点，则a

5

＝（ ）

A．﹣2或2 B．﹣2 C．2 D．2

√

2

3．若抛物线y

2

＝8x上的点M到焦点的距离为8，则点M到y轴的距离是（ ）

A．4 B．6 C．8 D．10

(𝑥−1)

2

+(𝑦−1)

2

=9

4．方程组

{

2

的解的个数是（ ）

𝑥+𝑦

2

−8𝑥+6𝑦+9=0

A．2 B．1 C．0 D．不确定

5．若{a

n

}为等差数列，其前n项和为S

n

，S

4

＝2，S

8

＝6，则S

12

＝（ ）

A．10 B．12 C．14 D．16

6．宁启铁路线新开行“绿巨人”动力集中复兴号动车组，最高时速为160km/h．假设“绿巨人”开出站一

段时间内，速度v（m/s）与行驶时间t（s）的关系为v＝6.6t+0.6t

2

，则出站后“绿巨人”速度首次达到

48m/s时加速度为（ ）

A．12.6m/s

2

7．已知椭圆方程为

𝑥

2

𝑎

2

B．14.6m/s

2

+

𝑦

2

𝑏

2

C．14.8m/s

2

D．16.8m/s

2

=1(𝑎

＞

𝑏

＞

0)，点（0，1）在椭圆上，右焦点为F，过原点的直线与椭圆交于

A，B两点，若|AF|+|BF|＝4，则椭圆的方程为（ ）

A．

C．

𝑥

2

4

3

+𝑦=1

+

𝑦

2

2

2

B．

𝑥

2

2

𝑥

2

4

+𝑦

2

=1

+

𝑦

2

3

𝑥

2

=1 D．=1

2𝑥+4

，

𝑥≤0

8．已知函数𝑓(𝑥)={

，关于x的方程f（x）＝a恰有两个不等实根x

1

，x

2

（x

1

＜x

2

），则x

1

•

𝑙𝑛𝑥

，

𝑥

＞

0

x

2

的最小值为（ ）

A．−

𝑒

3

B．−

𝑒

2

2

C．﹣2e D．−

𝑒

3

2

二、多项选择题：本大题共4小题，每小题5分，共计20分．每小题给出的四个选项中，有多项符合题

目要求。全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分．

第1页（共14页）

9．定义在R上的函数y＝f（x）的导函数的图象如图所示，则下列说法正确的是（ ）

A．函数y＝f（x）在（3，5）上单调递减 B．f（0）＞f（3）

C．函数y＝f（x）在x＝5处取得极小值 D．函数y＝f（x）存在最小值

10．已知直线l：（m+2）x+y+m+1＝0，圆C：x

2

+y

2

+4x﹣5＝0，则（ ）

A．圆C的圆心为（2，0）

B．直线l过定点（﹣1，1）

D．无论m取何值，直线l与圆C相交 C．圆心到直线l的最大距离为

√

2

11．已知双曲线C：

𝑥

2

𝑎

2

−

𝑦

2

𝑏

2

=1（a＞0，b＞0）经过点M（3，

√

2），并且它的一条渐近线被圆（x﹣2）

2

+y

2

＝4所截得的弦长为2

√

3，则下列结论正确的是（ ）

A．C的离心率为

C．C的方程为

𝑥

2

3

2

√

3

3

B．C的渐近线为𝑦=±

√

3𝑥

D．直线𝑥−

√

2𝑦−1=0与C有两个公共点 −𝑦

2

=1

12．分形几何学是一门以不规则几何形态为研究对象的几何学，分形的外表结构极为复杂，但其内部却是

有规律可寻的，一个数学意义上的分形的生成是基于一个不断迭代的方程式，即一种基于递归的反馈系

统．下面我们用分形的方法得到一系列图形，如图1，在长度为1的线段AB上取两个点C、D，使得

𝐴𝐶=𝐷𝐵=𝐴𝐵，以CD为边在线段AB的上方做一个正方形，然后擦掉CD，就得到图形2；对图形2

中的最上方的线段EF作同样的操作，得到图形3；依次类推，我们就得到以下的一系列图形设图1，

图2，图3，…，图n，各图中的线段长度和为a

n

，数列{a

n

}的前n项和为S

n

，则（ ）

1

4

A．数列{a

n

}是等比数列 B．𝑆

5

=

8

D．a

n

＜3恒成立

89

C．存在正数m，使得S

n

＜m恒成立

三、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共计20分．

13．曲线y＝lnx+x+1的一条切线的斜率为1+

𝑒

（e为自然对数的底数），该切线的方程为 ．

第2页（共14页）

1

14．诺沃尔（Knowall）在1740年发现了一颗彗星，并推算出在1823年、1906年、1989年⋯人类都可以看

到这颗彗星，即彗星每隔83年出现一次．从发现那次算起，彗星第10次出现的年份是 ．

15．设k为实数，已知双曲线

𝑥

2

4

−

𝑦

2

𝑘

=1的离心率e∈（2，3），则k的取值范围为 ．

16．已知扇形OAB的半径为4，圆心角为2θ（0＜2θ＜π），作扇形OAB的内切圆P，再在扇形内作一个与

扇形两个半径OA，OB相切且与圆P外切的小圆Q，则小圆Q半径的最大值为 ，此时圆P的

面积为 ．

四、解答题（本大题共6小题，共计70分．请在答题卡指定区域内作答．解答时应写出文字说明、证明

过程或演算步骤）

17．（10分）已知函数f（x）＝x

3

﹣ax

2

．

（1）若f'（1）＝3，求函数f（x）在区间[0，2]上的最大值；

（2）若函数f（x）在区间[1，2]上为增函数，求实数a的取值范围．

18．（12分）在数列{a

n

}中，a

1

＝2，𝑎

𝑛+1

=2𝑎

𝑛

+2(𝑛∈𝑁

∗

)．

（1）证明：数列{a

n

+2}是等比数列；

（2）若b

n

＝log

2

（a

n

+2），𝑐

𝑛

=

𝑏𝑏

，求数列{c

n

}的前n项和S

n

．

𝑛

𝑛+1

19．（12分）已知圆O：x

2

+y

2

＝1，抛物线C：y

2

＝2px的焦点坐标为F（2，0）．

（1）过圆O外一点P作直线PQ与圆O相切于点Q，且𝑃𝑄=

√

2𝑃𝐹，求点P的轨迹方程；

（2）过点F与圆O相切的直线交抛物线C于A，B两点，求|AB|．

20．（12分）已知数列{a

n

}的前n项和S

n

＝n

2

+n，递增等比数列{b

n

}满足b

2

＝a

1

，且2（b

n+2

+b

n

）＝5b

n+1

．

（Ⅰ）求数列{a

n

}，{b

n

}的通项公式；

（Ⅱ）求数列{a

n

•b

n

}的前n项和为T

n

．

𝑥

2

𝑥

2

𝑦

2

21．（12分）已知椭圆𝐶

：

2

+

2

=1(𝑎

＞

𝑏

＞

0)与双曲线−𝑦

2

=1有相同的焦点，椭圆C上任一点到

𝑎

2

𝑏

1

两个焦点的距离之和为4，直线𝑙

：

𝑦=

2

𝑥+𝑚与椭圆C相交于A，B两点．

（1）求椭圆C的方程；

（2）椭圆C上是否存在定点M（x

0

，y

0

），使得直线MA的倾斜角与直线MB的倾斜角互补，若存在，

第3页（共14页）

√

3

求出M点的坐标，若不存在，请说明理由．

22．（12分）已知函数f（x）＝alnx．

（1）记函数g（x）＝x

2

﹣（a+2）x+f（x），当a＞2时，讨论函数g（x）的单调性；

（2）设h（x）＝f（x）﹣x

2

，若h（x）存在两个不同的零点x

1

，x

2

，证明：2e＜a＜x

1

2

+x

2

2

（e为自然

对数的底数）．

2022-2023学年江苏省连云港市灌南县、灌云县联考高二（上）期末数学

试卷

参考答案与试题解析

一、单项选择题：本大题共8小题，每小题5分，共计40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是

符合题目要求的．

1．已知直线l过A（﹣1，3）、B（1，1）两点，则直线l的倾斜角的大小为（ ）

A．

4

𝜋

B．

3

𝜋

C．

2𝜋

3

D．

1−3

3𝜋

4

3𝜋

4

解：直线l过A（﹣1，3）、B（1，1）两点，则直线l的斜率k=

1+1

=−1，故直线的倾斜角为

故选：D．

2．在等比数列{a

n

}中，a

3

，a

7

是函数𝑓(𝑥)=

𝑥

3

−4𝑥

2

+4𝑥−1的极值点，则a

5

＝（ ）

A．﹣2或2

1

1

3

．

B．﹣2 C．2

1

D．2

√

2

解：由𝑓(𝑥)=

3

𝑥

3

−4𝑥

2

+4𝑥−1，f′（x）=

3

×3x

2

﹣4×2x+4＝x

2

﹣8x+4，

因为a

3

，a

7

是f（x）的极值点，所以f′（x）＝0的两个根为a

3

，a

7

，

∴a

3

+a

7

＝8，a

3

•a

7

＝4，∴a

3

，a

7

为正，

又因为{a

n

}为等比数列，所以a

5

2

＝a

3

•a

7

＝4，

又a

5

＝a

3

q

2

，a

3

，a

5

同号，∴a

5

＝2，

故选：C．

3．若抛物线y

2

＝8x上的点M到焦点的距离为8，则点M到y轴的距离是（ ）

A．4 B．6 C．8 D．10

解：因为抛物线的方程为y

2

＝8x，

所以2p＝8，解得p＝4，

所以准线方程为x=−

2

=−2，

又因为点M到焦点的距离为8，

第4页（共14页）

𝑝

所以点M到准线的距离为8，

设点M到y轴的距离为m，

则有m+2＝8，解得m＝6．

故选：B．

(𝑥−1)

2

+(𝑦−1)

2

=9

4．方程组

{

2

的解的个数是（ ）

𝑥+𝑦

2

−8𝑥+6𝑦+9=0

A．2 B．1 C．0 D．不确定

(𝑥−1)

2

+(𝑦−1)

2

=9

解：根据题意，方程组

{

2

的解的个数，就是曲线（x﹣1）

2

+（y﹣1）

2

＝9和曲

2

𝑥+𝑦−8𝑥+6𝑦+9=0

线x

2

+y

2

﹣8x+6y+9＝0的交点的个数，

曲线（x﹣1）

2

+（y﹣1）

2

＝9，是以（1，1）为圆心，半径r＝3的圆，

曲线x

2

+y

2

﹣8x+6y+9＝0，即（x﹣4）

2

+（y+3）

2

＝16，是以（4，﹣3）为圆心，半径R＝4的圆，

两圆的圆心距d=

√

9+16=5，

(𝑥−1)

2

+(𝑦−1)

2

=9

有4﹣3＜d＜4+3，两圆相交，故两圆有2个交点，即方程组

{

2

有两组解，

𝑥+𝑦

2

−8𝑥+6𝑦+9=0

故选：A．

5．若{a

n

}为等差数列，其前n项和为S

n

，S

4

＝2，S

8

＝6，则S

12

＝（ ）

A．10 B．12 C．14 D．16

解：∵{a

n

}是等差数列，其前n项和为S

n

，

∴S

4

，S

8

﹣S

4

，S

12

﹣S

8

构成等差数列，

∴2（S

8

﹣S

4

）＝S

4

+S

12

﹣S

8

，即2×（6﹣2）＝2+S

12

﹣6，

∴S

12

＝12．

故选：B．

6．宁启铁路线新开行“绿巨人”动力集中复兴号动车组，最高时速为160km/h．假设“绿巨人”开出站一

段时间内，速度v（m/s）与行驶时间t（s）的关系为v＝6.6t+0.6t

2

，则出站后“绿巨人”速度首次达到

48m/s时加速度为（ ）

A．12.6m/s

2

B．14.6m/s

2

C．14.8m/s

2

D．16.8m/s

2

解：当v＝48时，由6.6t+0.6t

2

＝48，解得t＝5或t＝﹣16（舍去），

因为v＝6.6t+0.6t

2

，则v′＝6.6+1.2t，

当t＝5时，v′＝6.6+1.2×5＝12.6（m/s

2

），

故选：A．

7．已知椭圆方程为

𝑥

2

𝑎

2

+

𝑦

2

𝑏

2

=1(𝑎

＞

𝑏

＞

0)，点（0，1）在椭圆上，右焦点为F，过原点的直线与椭圆交于

第5页（共14页）

A，B两点，若|AF|+|BF|＝4，则椭圆的方程为（ ）

A．

C．

𝑥

2

4

3

+𝑦=1

+

𝑦

2

2

2

B．

𝑥

2

2

𝑥

2

4

+𝑦

2

=1

+

𝑦

2

3

𝑥

2

=1 D．=1

解：取左焦点F'，连接AF'，

由椭圆的对称性及A，B的对称性可得|AF'|＝|BF|，

所以|AF|+|BF|＝|AF|+|AF'|＝2a＝4，可得a＝2，

由（0，1）点在椭圆上，可得b＝1，

所以椭圆的方程为：

故选：A．

𝑥

2

4

+y

2

＝1，

2𝑥+4

，

𝑥≤0

8．已知函数𝑓(𝑥)={

，关于x的方程f（x）＝a恰有两个不等实根x

1

，x

2

（x

1

＜x

2

），则x

1

•

𝑙𝑛𝑥

，

𝑥

＞

0

x

2

的最小值为（ ）

A．−

3

𝑒

B．−

2

𝑒

2

C．﹣2e D．−

2

𝑒

3

2𝑥+4

，

𝑥≤0

解：∵函数𝑓(𝑥)={，关于x的方程f（x）＝a恰有两个不等实根x

1

，x

2

（x

1

＜x

2

），

𝑙𝑛𝑥

，

𝑥

＞

0

对应图像大致如图：

则0＜x

2

≤e

4

，且2x

1

+4＝a＝lnx

2

，

第6页（共14页）

可得x

1

=

∴x

1

•x

2

=

𝑙𝑛𝑥

2

−4

，

2

𝑙𝑛𝑥

2

−4

•x

2

，

2

1

2

1

2

令g（x）=（lnx﹣4）x=（xlnx﹣4x），（0＜x≤e

4

），

则g′（x）=

2

（lnx﹣3），

则0＜x＜e

3

时，g′（x）＜0，g（x）单调递减，

e

3

＜x＜e

4

时，g′（x）＞0，g（x）单调递增，

故当x＝e

3

时，g（x）

min

=

2

（e

3

lne

3

﹣4e

3

）=−

2

e

3

，

故选：D．

二、多项选择题：本大题共4小题，每小题5分，共计20分．每小题给出的四个选项中，有多项符合题

目要求。全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分．

9．定义在R上的函数y＝f（x）的导函数的图象如图所示，则下列说法正确的是（ ）

11

1

A．函数y＝f（x）在（3，5）上单调递减 B．f（0）＞f（3）

C．函数y＝f（x）在x＝5处取得极小值 D．函数y＝f（x）存在最小值

解：由导函数的图象可得

在（﹣∞，﹣1）上f′（x）＜0，f（x）单调递减，

在（﹣1，3）上f′（x）＞0，f（x）单调递增，

在（3，5）上f′（x）＜0，f（x）单调递减，

在（5，+∞）上f′（x）＞0，f（x）单调递增，

所以f（x）在x＝3处取得极大值，在x＝﹣1和x＝5处取得极小值，

函数f（x）存在最小值，f（x）

min

＝min{f（﹣1），f（5）}，

故选：ACD．

10．已知直线l：（m+2）x+y+m+1＝0，圆C：x

2

+y

2

+4x﹣5＝0，则（ ）

A．圆C的圆心为（2，0）

B．直线l过定点（﹣1，1）

D．无论m取何值，直线l与圆C相交 C．圆心到直线l的最大距离为

√

2

解：直线l：（m+2）x+y+m+1＝0过定点（﹣1，1），圆C：x

2

+y

2

+4x﹣5＝0的圆心为（﹣2，0），半径为

第7页（共14页）