平面几何中的外心和内心

2024年3月23日发(作者：困难的成语)

平面几何中的外心和内心

在平面几何中，外心和内心是两个十分重要的点。它们的经典

定义是：外心是一个点，它到三角形三个顶点的距离相等；内心

是一个点，它到三角形三边的距离相等。这两个点不仅在理论上

有着重要的意义，而且在实际应用中也具有很高的价值。在本文

中，我们将详细介绍外心和内心的相关概念以及它们的一些基本

性质。

一、外心

1、外心的定义

外心是一个点，它到三角形三个顶点的距离相等。如下图所示，

点O就是这个点：

2、外心的性质

（1）外心是三角形外接圆的圆心。

所谓外接圆，就是与三角形的三个顶点都在同一圆上的圆。显

然，外心到三角形的三个顶点的距离相等，因此它是三角形外接

圆的圆心。

（2）外心到三条边的距离相等。

设外心为O，过A、B、C三点作OA、OB、OC的垂线，垂足

分别为D、E、F。易知，OA=OB=OC，故OD=OE=OF，也就是

说，外心到三边的距离相等。

（3）外心是能够使三角形的内接圆与外接圆的切线长度相等

的唯一点。

该结论的证明需要较多几何知识，这里就不详细展开了。不过

我们可以简单说一下，即外心到三边的距离相等，且此距离等于

三角形内接圆半径的两倍，这就导致了外心是使内接圆与外接圆

的切线长度相等的唯一点。