人教版初三数学上册三角形内心与外心

2024年3月23日发(作者：考研英语二答案)

武汉市新洲思源实验学校导学案

编号：

２４１５

九 年级 数学 教学案系列 授课累计： 节

备课日期： 2015年 11 月 ２６日 主备人： 陶 鑫 审核人：

课 题

内心与外心（一）

方

法

技

借助切线长定理及勾股定理是解决三角形的内心与外心问题关键

巧

学习方式： 自主合作探究 课 型： 练习课

一． 基本图形

A

C

D

探

O

E

I

A

B

１. 概念：

B

F

C

外心：圆在三角形外，经过三角形3个顶点，三角形外接圆的圆心，外心到3个顶点的距

离相等，它是 的交点。外心在三角形的 。

内心：圆在三角形内，与三边都相切，三角形内切圆的圆心，内心到三边的距离相等，它

是 的交点，内心在三角形的 。

２.（１）角度的转换。

究

（2）切线长与边长之间的转换。

（３）面积的转换（a、b、c为三边长，r是内切圆的半径）

A

D

E

I

B

F

C

３.线段的转换。

⊙Ｏ为⊿ＡＢＣ的外接圆，点Ｉ为⊿ＡＢＣ的内心

C

则有：

学

A

I

B

O

二． 特殊图形中的应用。

C

.ＡＢ为⊙Ｏ的直径，Ｃ为⊙Ｏ上一点，Ｉ为⊿ＡＢＣ的内心，

ＡＣ＝８，ＢＣ＝６．

I

（１）求ＩＣ的长。

A

B

C

I

（２）若弧ＡＤ＝弧ＢＤ，求ＩＤ的长。

A

B

习

D

C

I

（３）求ＯＩ的长。

A

O

B

三．综合应用

１.如图，点I和O分别是△ABC的内心和外心，则∠AIB和∠AOB的关系为（ ）

C

A、

AIBAOB

B、

AIBAOB

C、

2AIB

1

AOB180

D、

2

1

I

O

2

AOB

2

AIB180

AB

２.如图，⊙Ｏ为⊿ＡＢＣ的外接圆，ＢＣ为直径，ＡＤ平分∠ＢＡＣ交⊙Ｏ于Ｄ，点Ｍ为

⊿ＡＢＣ的内心

（１） 求证：ＢＣ＝

2

ＤＭ

A

M

C

B

O

当

D

（２） 连ＯＭ，若ＤＭ＝

52

，ＡＢ＝８，求ＯＭ的长。

堂

训

（３）若Ｅ为劣弧ＡＢ的上一点，且弧ＡＣ＝弧ＡＥ，连ＢＥ，ＡＦ⊥ＢＥ于Ｆ，

练

①求证：ＤＥ是⊙Ｏ的切线。

F

E

A

M

C

B

O

D

②若ＡＦ＝４，ＥＦ＝２，求⊙Ｏ的半径与ＤＭ的长。

F

E

A

M

C

B

O

D

２. 如图，ＣＢ为⊙Ｏ的弦，Ｇ为弧ＡＢ的中点，且ＢＧ＝ＧＭ，ＡＭ的延长线交⊙Ｏ于

课

Ｄ，连ＡＣ．

GA

（１） 求证：弧ＢＤ＝弧ＤＣ．

M

C

B

O

后

D

拓

（２）若ＣＢ为直径，且ＣＢ＝１０，ＡＣ＝６，求Ｓ

⊿ＡＣＭ

．

展

G

A

M

C

B

O

D

武汉市新洲思源实验学校导学案

编号：

２４１６

九 年级 数学 教学案系列 授课累计： 节

备课日期： 2015年 11 月 ２６日 主备人： 陶 鑫 审核人：

课 题

内心与外心（二）

方

法

技

借助切线长定理及勾股定理是解决三角形的内心与外心问题关键

巧

学习方式： 自主合作探究 课 型： 练习课

一．基本图形及基本结论。

C

A

C

I

O

D

A

B

探

E

O

B

I

A

B

F

C

２.（１）角度的转换。

（2）切线长与边长之间的转换。

（３）面积的转换（a、b、c为三边长，r是内切圆的半径）

究

（４）线段之间的关系。

二．当堂训练。

1、如图，O是△ABC的内心，过点O作EF∥AB，与AC、BC分别交E、F，则（ ）

A、EF＞AE+BF B、EF＜AE+BF C、EF=AE+BF D、EF≤AE+BF

A

AE

D

A

E

B

O

F

C

P

D

B

C

B

C

2、如图，点E是△ABC的内心，延长AE交△ABC 的外接圆于点D，

连接BD、DC、EC，则图中与BD相等的线段分别是____________________

D

学

３、如图，在矩形ABCD中，连接AC，如果O为△ABC的内心，过O作OE⊥AD于E，作OF⊥CD

于F，则矩形OFDE的面积与矩形ABCD的面积的比值为__________

４、如图，△ABC中，AB=AC，∠A=40°，延长AC到D，使CD=BC，点P是△ABD的内心，则

∠BPC=___________

5、如图，Rt△ABC中，∠ACB=90°，点O、I分别为△ABC的外心和内心，AC=6，BC=8，则OI

的值为_______________

B

A

C

P

I

I

O

I

习

B

OA

B

C

A

O

H

6、如图，△ABC内接于⊙O，I是其内心，且AI⊥OI，若AC=9，BC=7，则AB=_______

7、如图，半径为2cm，圆心角为90°的扇形OAB的

AB

上有一运动的点P，从点P向半径OA引垂线

PH交OA于点H，设△OPH的内心为I，那么当点P在

AB

上从点A运动到点B时，I所经过的路径长

为_______________

三．综合应用

１.如图，AB是⊙O的直径，点P为半圆上一点（不与A、B重合），点I为△ABP的内心，连接PI交

⊙O于点M，IN⊥BP于N，下列结论： ①∠APM=45°；②AB=

2

IM；③∠BIM=∠BAP；

④

INOB

2

PM

=

2

；其中正确的个数有________________

P

I

A

O

B

当

M

２.如图，△ABC中，下面说法正确的是（ ）

堂

①若O是△ABC的外心，∠A=50°，则∠BOC=100°；

②若O是△ABC的，∠A=50°，则∠BOC=115°；

③若BC=6，AB+AC=10，则△ABC的面积的最大值是12；

训

④△ABC的面积是12，周长是16，则其内切圆的半径是1；

练

３、如图，等腰△ABC 中，AB=AC，以AB为直径作⊙O，分别交AC、BC于D、E两点，过B点的

切线交OE的延长线于点F，连结FD，则下列结论： ①

DEBE

；②FD是⊙O的切线；③∠C=∠DFB；

④E为△BDF的内心。 其中一定成立的结论有_______________。

C

D

F

E

A

O

B

４、如图，BC是⊙O的直径，半径为R，A为半圆上一点，I为△ABC的内心，延长AI交BC于D点，

交⊙0于点E，作IF⊥BC，连接AO，BI。下列结论：①AB+AC=BC+2IF；②4∠AIB-∠BOA=360°；

③EB=EI；④

IFR

AE

为定值，其中正确的结论有（ ）

A、①③④ B、①②③ C、①②③④ D、①②④

E

B

F

D

I

O

A

C

５、已知，如图：在平面直角坐标系中，点D是直线

yx

上一点，过O、D两点的圆⊙

O

1

分别交

x

轴、

y

轴于点A和B。

课

（1）当A（-12，0），B（0，-5）时，求

O

1

的坐标；

（2）在（1）的条件下，过点A作⊙

O

1

的切线与BD的延长线相交于点C，求点C的坐标；

（3）若点D的横坐标为



7

2

，点I为△ABO的内心，IE⊥AB于E，当过O、D两点的⊙

O

后

1

的大小发

生变化时，其结论：

AEBE

的值是否发生变化？若不变，请求出其值；若变化，请求出变化范围；

y=-x

y

C

y

D

D

拓

y

AO

AO

D

x

x

AO

I

O

1

x

O

1

E

B

O

1

B

B

y=-x

展