苏教版数学高二- 必修5素材 3.2一元二次不等式的解集为R的条件及应用

2024年2月21日发(作者：中班防火安全教案)

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3.2 一元二次不等式的解集为R的条件及应用

我们知道，当a0，且当0时，不等式axbxc0(a0)的解集为R；反之，亦然. 这是一个及其重要的结论，本文举例说明其应用，供参考.

2一、求参数的值

例1． 已知二次函数f(x)的图象经过点(1,0), 是否存在常数a,b,c使不等式1x2xf(x)对一切实数x恒成立，若存在，求出a,b,c；若不存在，请说明理由.

2解：假设存在符合条件的a、b、c.

f(x)的图象过点(1,0)，f(1)0,即abc0.

11xf(x)(1x2)对一切xR都成立，令x1，则1abc（112）.

22abc1.

1111b，ac，f(x)ax2x(a).

2222121f(x)x,axx(a)0,(1)22即对xR成立.

12f(x)(1x).11(a)x2xa0.(2)222a0,1a0,11a. 由（1）a0时，不合题意，所以，0,4a(a)0,44212代入（2）得x2x10解集为R.

411故存在满足条件的a,b,c，使ac,b.

42将a二、求参数的取值范围

例2．知实数a,b,c,d满足abcd5,abcd7, 求a的最大值.

解：构造函数y(xb)(xc)(xd)2222222xR，

y3x22(bcd)xb2c2d2 0,xR，当且仅当xbcd时取等高中数学

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2号，则有4(bcd)12(bcd)0，即2a5a20，解得22221a2.2故当bcd=1时a取最大值2.

例3．已知对于任意实数m，方程m(x1)(xa)0恒有实根，求实数a的取值范围.

解：方程可化为mxx(ma)0.

（1）当m0时，方程恒有实根xa；

（2）当m0时，任意实数m，方程mxx(ma)0恒有实根，

则判别式14m(ma)0(mR)恒成立，即4m4ma10对任意实数m恒成立，所以，16a160，解得1a1.

综上，得当m0时，aR；当m0时，1a1.

注意：（1）不等式axbxc0,xR恒成立, 则a0，且判别式0，或

ab0，且c0．（2）不等式axbxc0,xR恒成立, 则a0，且判别式0或

ab0，且c0．（3）不等式axbxc0(a0)x[m,n]恒成立，则a0,0;或

2222222/2a0,bbm,f(m)0;或a0,n,f(n)0.

2a2a2（4）不等式axbxc0(a0)x[m,n]恒成立, 则a0,0;或

a0,bbm,f(m)0;或a0,n,f(n)0.

2a2a三、证明不等式证明不等式

例4．已知a0, 函数yaxbx，当b0时，若对任意xR都有y1，求证：2a2b.

2证明：依题意，有axbx1, 即bxax10(xR)，而b0,

22所以，(a)4b0,又a0,a2b.

222例5．设a,b,cR,且abc1,求证：abc1.

3高中数学

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证明: 构造函数y(xa)(xb)(xc)0,

而y3x2(abc)xabc0,xR恒成立，则判别式

22222224(abc)212(a2b2c2)0.

因为abc1，故abc2221.

3同步练习（供选用）

3x2kx2k2对一切实数x恒成立，求实数k的取值范围． 1．不等式2xx2ax2．当x(2,6)时，ax2a2x2ba30.

（1）求a,b的值；

（2）当k为何值时，2a2x2ba30,当x(,2)(6,)时,

k(ax2a2x2ba3)3kx2(6k1)恒为负值？

423．（1）若对任意实数x,不等式(k2)x(k2)xk20恒成立, 则实数k的取值范围是_____;

（2）若集合{x|(m1)x(m1)x10}R, 则实数m的取值范围是_____.

（3）设集合P{m|1m0}，Q{m|mx4mx40对任意实数x恒成立222}，则下列关系中成立的是（ ）

（A）PQ （B）QP （C）PQ （D）PQ

4．已知函数y(k4k5)x4(1k)x3的图象都在x轴的上方，求实数k的取值范围.

5．已知函数y(a11a10)x(a1)x2(xR)的值恒为正数, 求实数a的取值范围.

6．函数f(x)xax3，当

x[2,2]时，f(x)a恒成立, 求实数a的取值范围.

22222高中数学

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7．若函数f(x)ax2ax1的定义域为R，求实数a的取值范围.

a答案

1． 2．4,8,8k0；3．（1）k2；（2）1m[2,10]；5．[1,9) 6．[7,2] 7．(0,2]

3A 4．[1,19)

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