19_9(1) 勾股定理

2024年2月15日发(作者：水浒传人物形象)

§19.9(1) 勾股定理

一、教材分析

勾股定理是学完直角三角形性质后实行的拓展，它具体揭示了直角三角形三条边之间的关系。它是建立在三角形、全等三角形、等腰三角形等相关知识的基础之上，所以在学完以上知识点后实行学习，与实数、二次根式、方程有着密切的联系，是几何中最重要的定理之一。同时，也是初三几何中解直角三角形及圆中相关计算的必备知识。

二、学情分析

（3）班共有42名学生，少部分同学学习积极性较高，能较好的完成学习任务。大部分学生学习习惯不是很好，从课堂上看，学习兴趣还是有的，但是注意力无法长时间集中，不愿意花时间动脑思考问题，对于课堂例题的模仿型习题能够较好的完成，但是遇到些微的变式问题就十分困难。从作业上来看，作业常出现计算错误，审题不清漏看条件，且缺乏独立意识，喜欢与他们对答案等等行为。存有有极个别学生对学习有抵触情绪。

三、教学目标

1、通过对几种常见的勾股定理验证方法的欣赏，体会数形结合的思想方法。

2、了解勾股定理的重要性以及在人类重大科技发现中的地位，感受人类文明、理性精神。

3、掌握勾股定理，能用勾股定理解决基本的相关证明和计算。

四、教学重点、难点

重点:掌握勾股定理的内容

难点:勾股定理的证明

五、教学方案设计

一、创设情景、引入兴趣

猜猜这个纸制品是什么，图片中的三个正方形的摆放图形有什么意义么？通过这个枚1955年希腊发行的纪念毕达哥拉斯学派的邮票引入。回顾初中阶段还有哪些知识接触到毕达哥拉斯学派，融入人文精神，并且引入勾股定理

二、探索新知

通过初一年级时毕达哥拉斯学派的回忆，回顾初一年级时引入无理数的图像，推广到两个边长为a的正方形变形拼接成一个大正方形求新大正方形的面积与边长。拼接后回答下面的问题

如图，已知一个等腰直角三角形ABC，AB是斜边。AB=2a，AC=BC=a

ABC

（1）分别以这个三角形的各边为边向外部作正方形，这样所作的三个正方形面积之间有怎样的等量关系。

（2）在一个等腰直角三角形中，两条直角边与一条斜边在数量上有怎样的等量关系。

通过观察，可知两条直角边AC、BC为边的两个正方形的面积之和等于以斜边AB为边的那个正方形的面积。

即等腰三角形中，两条直角边的平方和等于斜边的平方。

上述性质是两个边长相等的正方形拼出的图形得到的结论，那么回到起初的那张邮票，通过观察发现邮票和我们拼出的图形十分相似，但是又有点不一样，

小正方形的面积不完全相同。解决那个邮票上图案代表的意思，既是勾股定理的具体结论。

此部分，教师引导学生利用网格来提示说明三个正方形的面积关系，从而说明中间空白部分的直角三角形的直角边与斜边的关系。

最终得到了勾股定理:直角三角形直角边的平方和，等于斜边的平方。

即Rt△ABC，∠C=90°时，AC=a，BC=b，AB=C时，勾股定理的其他证明方法:

随后展示我国古人赵爽的证明方法，经历这个过程，感受勾股定理的证明的多样性，以及我国浓厚的历史文化。穿插西方对于勾股定理的研究，感受勾股定理是人类文明的瑰宝，科学是不分国界的。

三、巩固新知

例1:Rt△ABC，∠C=90°时

(1)若BC=5，AC=12，求AB

(2)若BC=7，AC=24，求AB

例2:求变长是1的等边三角形的面积

已知:三角形ABC，AB=AC=BC=1，求S△ABC

提示:作底边上的高。

通过这部分的例题，学生掌握解题步骤，尝试使用勾股定理，期中第二题是实行一定的变式，实质是知道斜边与一条直角边求另一条直角边

四、学生课内练习

完成书本P141习题

五、回家作业

完成练习册§19.9（1）

ABC

小组为单位查询资料，其他人对勾股定理的验证方法，另寻时间实行交流，加强学习兴趣。

附件1当整数n = 2时，关于x, y, z的不定方程有正整数解。可看作勾股定理

费马大定理: 当整数n > 2时，关于x, y, z的不定方程不存有正整数解。

附件2:勾股定理的故事、邮票

毕达哥拉斯有次应邀参加一位富有政要的餐会，这位主人豪华宫殿般的餐厅铺着是正方形美丽的大理石地砖，由于大餐迟迟不上桌，这些饥肠辘辘的贵宾颇有怨言；这位善于观察和理解的数学家却凝视脚下这些排列规则、美丽的方形磁砖，但毕达哥拉斯不但仅欣赏磁砖的美丽，而是想到它们和[数]之间的关系，于是拿了画笔并且蹲在地板上，选了一块磁砖以它的对角线 ab为边画一个正方形，他发现这个正方形面积恰好等于两块磁砖的面积和。他很好奇，于是再以两块磁砖拼成 的矩形之对角线作另一个正方形，他发现这个正方形之面积等于5块磁砖的面积，也就是以两股为边作正方形面积之和。至此毕达哥拉斯作了大胆的假设: 任何直角三角形，其斜边的平方恰好等于另两边平方之和。那一顿饭，这位古希腊数学大师，视线都一直没有离开地面。

为纪念二千五百年前一个学派和宗教团体——毕达哥拉斯学派成立以及它

在文化上的贡献，1955年，希腊发行了一张邮票，图案由三个棋盘排列而成。这个图案是对数学上一个非常重要定理的说明。在我国，人们称它为勾股定理或商高定理；在欧洲，人们称它为毕达哥拉斯定理。为什么一个定理有这么多名称呢？

商高是公元前十一世纪的中国人。当时中国的朝代是西周，处于奴隶社会时期。在中国古代大约是西汉的数学著作《周髀算经》中记录着商高同周公的一段对话。周公问商高：“天不可阶而升，地不可将尽寸而度。”天的高度和地面的一些测量的数字是怎么样得到的呢？商高说：“故折矩以为勾广三，股修四，经隅五。”即我们常说的勾三股四弦五。什么是“勾、股”呢？在中国古代，人们把弯曲成直角的手臂的上半部分称为“勾”，下半部分称为“股”。商高答话的意思是：当直角三角形的两条直角边分别为3（短边）和4（长边）时，径隅（就是弦）则为5。以后人们就简单地把这个事实说成“勾三股四弦五”。由于勾股定理的内容最早见于商高的话中，所以人们就把这个定理叫做“商高定理”。

关于勾股定理的发现，《周髀算经》上说：“故禹之所以治天下者，此数之所由生也。”“此数”指的是“勾三股四弦五”，这句话的意思就是说：勾三股四弦五这种关系是在大禹治水时发现的。

欧洲人则称这个定理为毕达哥拉斯定理。毕达哥拉斯（PythAgorAs）是古希腊数学家，他是公元前五世纪的人。希腊另一位数学家欧几里德（Euclid，是公

元前三百年左右的人）在编著《几何原本》时，认为这个定理是毕达哥达斯最早发现的，因而国外一般称之为“毕达哥拉斯定理”。并且据说毕达哥拉斯在完成这一定理证明后欣喜若狂，而杀牛百只以示庆贺。因此这一定理还又获得了一个带神秘色彩的称号：“百牛定理”。所以他就把这个定理称为"毕达哥拉斯定理"，以后就流传开了。