八年级数学上册勾股定理(1)(人教版)

2024年2月15日发(作者：福建科技馆)

勾股定理

一、教学目的

1．使学生掌握勾股定理及其证明。

2．通过讲解我国古代学者发现及应用勾股定理的成就，对学生进行受国主义教育、学习目的教育。

二、教学重点、难点

重点；勾股定理的证明和应用。

难点：勾股定理的证明。

三、教学过程

引言:直角三角形三边之间有一种特别重要的关系，早在我国古代就引起人们的兴趣。我国古代把直角三角形中较短的直角边叫做勾，较长的直角边叫做股，斜边叫做弦。介绍商高答周公的勾三股四弦必五的故事。

人们还发现，在直角三角形中勾为6，股为8，弦必为10；勾为5，股为12，弦必为13，……。而32+42=52，62+82=102，52+122=132，……即勾2+股2=弦2。是否所有直角三角形都有这种性质呢？

事实上，可以证明，对于所有的直角三角形的三边都有这种关系，此关系我国把它称为“勾股定理”，现在我们就来学习这个定理。

新课

勾股定理 直角三角形两直角边a、b的平方和等于斜边c的平方。即a2+b2=c2。

对于这个定理的证明可按教科书中所给的方法。根据教科书中的方法事先用硬纸片拼好图形1-104。

a b b a

a a c a a b

a c c

b

b c b b b c c a

a b a b

图 1-104

（1）先让学生观察，拼成的两个正方形边长都是a+b，则面积相等。再看这两个正方形又由哪些三角形和正方形拼成的。

（2）分别写出左、右两个正方形的面积：

1aba2b2。

212右边的正方形是四个全等直角三角形与一个正方形组成，其面积为4abc。

2在边正方形是四个全等直角三角形与两个正方形组成，其面积为4（3）左、右两个正方形面积相等，即

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ab4∴

abc。

2222211abc24ab，

22acb（4）勾股定理的变形。今后在运用勾股定理时，根据需要可将其变形为：或bca，从而可知，在Rt△中已知两边可求出第三边。

222222向学生说明，这种证法是采用割补拼接（称拼图）的方法。在拼补过程中只要没有重叠、没有空隙，而面积不会改变，利用计算也可以证明几何命题，而且是一种常用的证明方法。

勾股定理的证明方法很多，以后还会用其它方法来证明。

我国发现勾股定理的时间比较早，在公元前一世纪《周髀算经》里记载着夏禹（公元前21世纪）和商高（公元前1120年）发现了这个定理。春秋时代（公元前6、7世纪）陈子也对这个定理作出了很大贡献，所以也叫陈子定理。又由于古书中记有“勾广三，股修四，径隅五”，因此这个定理就称为勾股定理。

在西方最早发现这个定理的相传是公元五百多年古希腊数学家毕达哥拉斯，所以西方多称“毕达哥拉斯定理”，他们的发现比我国晚了好几百年。我们的祖先是勤劳智慧的！

勾股定理是平面几何中一个十分重要的定理，它反映了直角三角形中三条边之间 的数量关系，在理论和实践中应用很广。

课堂提问

在Rt△ABC中，∠C=Rt∠，（1）已知a=6，b=8，求c；

（2）已知a=40，c=41，求b；

（3）已知∠A=30°，a=2，求b、c；

（4）A=45°，c=4，求a、b。

讲解教科书P99例1。

解题时注意书写格式。

小结

勾股定理是Rt△的一个重要性质，利用它计算线段长度就非常方便。它不仅在数学上用处很广，所以务必掌握勾股定理。

练习：教材P100中1，2。

作业：教材P106中2，3，4。

思考题：教材P109勾股定理的证明。

四、教学注意问题

1．使学生理解利用拼图拼接（掌握原则不重不漏）也是证明几何命题的一种方法。

2．灵活运用勾股定理，掌握在Rt△中已知两边求第三边的方法。

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