2024年1月4日发(作者:冬字)
《5.3.1 平行线的性质》教案
第1课时 平行线的性质
【教学目标】
1.理解平行线的性质;(重点)
2.能运用平行线的性质进行推理证明.(重点、难点)
【教学过程】
一、情境导入
窗户内窗的两条竖直的边是平行的,在推动过程中,两条竖直的边与窗户外框形成的两个角∠1、∠2有什么数量关系?
二、合作探究
探究点一:平行线的性质
如图,AB∥CD,BE∥DF,∠B=65°,求∠D的度数.
解析:利用“两直线平行,内错角相等,同旁内角互补”的性质可求出结论.
解:∵AB∥CD,∴∠BED=∠B=65°.∵BE∥FD,∴∠BED+∠D=180°,∴∠D=180°-∠BED=180°-65°=115°.
方法总结:已知平行线求角度,应根据平行线的性质得出同位角相等,内错角相等,同旁内角互补.再结合已知条件进行转化.
探究点二:平行线与角平分线的综合运用
如图,DB∥FG∥EC,∠ACE=36°,AP平分∠BAC,∠PAG=12°,求∠ABD的度数.
解析:先利用GF∥CE,易求∠CAG,而∠PAG=12°,可求得∠PAC=48°.由AP是∠BAC的角平分线,可求得∠BAP=48°,从而可求得∠BAG=∠BAP+∠PAG=48°+12°=60°,即可求得∠ABD的度数.
解:∵FG∥EC,∴∠CAG=∠ACE=36°.∴∠PAC=∠CAG+∠PAG=36°+12°=48°.∵AP平分∠BAC,∴∠BAP=∠PAC=48°.∵DB∥FG,∴∠ABD=∠BAG=∠BAP+∠PAG=48°+12°=60°.
方法总结:(1)利用平行线的性质可以得出角之间的相等或互补关系,利用角平分线的定义,可以得出角之间的倍分关系;(2)求角的度数,可把一个角转化为一个与它相等的角或转化为已知角的和差.
探究点三:平行线性质的探究应用
如图,已知∠ABC.请你再画一个∠DEF,使DE∥AB,EF∥BC,且DE交BC边与点P.探究:∠ABC与∠DEF有怎样的数量关系?并说明理由.
解析:先根据题意画出图形,再根据平行线的性质进行解答即可.
解:∠ABC与∠DEF的数量关系是相等或互补.理由如下:如图①,因为DE∥AB,所以∠ABC=∠DPC.又因为EF∥BC,所以∠DEF=∠DPC,所以∠ABC=∠DEF.如图②,因为DE∥AB,所以∠ABC+∠DPB=180°.又因为EF∥BC,所以∠DEF=∠DPB,所以∠ABC+∠DEF=180°.故∠ABC与∠DEF的数量关系是相等或互补.
方法总结:画出满足条件的图形时,必须注意分情况讨论,即把所有满足条件的图形都要作出来.
三、板书设计
两直线平行,同位角相等求角的大小或平行线两直线平行,内错角相等说明角之间的
的性质两直线平行,同旁内角互补数量关系【教学反思】
平行线的性质是几何证明的基础,教学中注意基本的推理格式的书写,培养学生的逻辑思维能力,鼓励学生勇于尝试.在课堂上,力求体现学生的主体地位,把课堂交给学生,让学生在动口、动手、动脑中学数学
第2课时 平行线的性质和判定及其综合运用
【教学目标】
1.掌握平行线的性质与判定的综合运用;(重点、难点)
2.体会平行线的性质与判定的区别与联系.
【教学过程】
一、复习引入
问题:平行线的判定与平行线的性质的区别是什么?
判定是已知角的关系得平行关系,性质是已知平行关系得角的关系.
两者的条件和结论刚好相反,也就是说平行线的判定与性质是互逆的.
二、合作探究
探究点一:先用判定再用性质
如图,C,D是直线AB上两点,∠1+∠2=180°,DE平分∠CDF,EF∥AB.
(1)CE与DF平行吗?为什么?
(2)若∠DCE=130°,求∠DEF的度数.
解析:(1)由∠1+∠DCE=180°,∠1+∠2=180°,可得∠2=∠DCE,即可证明CE∥DF;
1(2)由平行线的性质,可得∠CDF=50°.由DE平分∠CDF,可得∠CDE=∠2CDF=25°.最后根据“两直线平行,内错角相等”,可得到∠DEF的度数.
解:(1)CE∥DF.理由如下:∵∠1+∠2=180°,∠1+∠DCE=180°,∴∠2=∠DCE,∴CE∥DF;
(2)∵CE∥DF,∠DCE=130°,∴∠CDF=180°-∠DCE=180°-130°=150°.∵DE平分∠CDF,∴∠CDE=∠CDF=25°.∵EF∥AB,∴∠DEF=∠CDE=225°.
方法总结:根据题目中的数量找出各量之间的关系是解这类问题的关键.从角的关系得到直线平行用平行线的判定,从平行线得到角相等或互补的关系用平行线的性质,二者不要混淆.
探究点二:先用性质再用判定
如图,已知DF∥AC,∠C=∠D,CE与BD有怎样的位置关系?说明理由.
解析:由图可知∠ABD和∠ACE是同位角,只要证得同位角相等,则CE∥BD.由平行线的性质结合已知条件,稍作转化即可得到∠ABD=∠C.
解:CE∥BD.理由如下:∵DF∥AC,∴∠D=∠ABD.∵∠C=∠D,∴∠ABD=∠C,∴CE∥BD.
方法总结:解答此类要判定两直线平行的题,可围绕截线找同位角、内错角和同旁内角.
探究点三:平行线性质与判定中的探究型问题
如图,AB∥CD,E,F分别是AB,CD之间的两点,且∠BAF=2∠EAF,∠CDF=2∠EDF.
(1)判定∠BAE,∠CDE与∠AED之间的数量关系,并说明理由;
(2)∠AFD与∠AED之间有怎样的数量关系?
解析:平行线中的拐点问题,通常需过拐点作平行线.
解:(1)∠AED=∠BAE+∠CDE.理由如下:如图,过点E作EG∥AB.∵AB∥CD,∴AB∥EG∥CD,∴∠AEG=∠BAE,∠DEG=∠CDE.∵∠AED=∠AEG+∠DEG,∴∠AED=∠BAE+∠CDE;
(2)同(1)可得∠AFD=∠BAF+∠CDF.∵∠BAF=2∠EAF,∠CDF=2∠EDF,∴33333∠BAE+∠CDE=∠BAF+∠CDF=(∠BAF+∠CDF)=∠AFD,∴∠AED=∠22222AFD.
方法总结:无论平行线中的何种问题,都可转化到基本模型中去解决,把复杂的问题分解到简单模型中,问题便迎刃而解.
三、板书设计
同位角相等内错角相等同旁内角互补判定性质两直线平行
【教学反思】
本节内容的重点是平行线的性质及判定的综合,直接运用了“∵”“∴”的推理形式,为学生创设了一个学习推理的环境,逐步培养学生的逻辑推理能力.因此,这一节课有着承上启下的作用,比较重要.本节内容的难点是理解平行线的性质和判定的区别,并在推理中正确地应用.由于学生还没有学习命题的概念和命题的组成,不知道判定和性质的本质区别和联系是什么,所以在教学中,应让学生通过应用和讨论,体会到如果已知角的关系,推出两直线平行,就是平行线的判定;反之,如果两直线平行,得出角的关系,就是平行线的性质
《5.3.1 平行线的性质》导学案
第1课时 平行线的性质
【学习目标】:
1.掌握两直线平行,同位角、内错角相等,同旁内角互补,并能熟练运用.
2.通过独立思考,小组合作,运用猜想、推理的方法,提升自己利用图形分析问题的能力.
3.激情投入,全力以赴,培养严谨细致的学习习惯.
【重点】:平行线的性质.
【难点】:根据平行线的性质进行推理.
【自主学习】
一、知识链接
平行线的判定方法有哪几种?
二、新知预习
如图,直线a与直线b平行,直线c与它们相交.
(1)量一量:用量角器量图中8个角的度数.
(2)说一说:由测量的结果,你发现∠1与∠5、∠2与∠6、∠3与∠7、∠4与∠8、∠3与∠6、∠4与∠5、∠3与∠5、∠4与∠6的大小有什么关系?
(3)想一想:(2)中的各对角分别是什么角?
(4)议一议:两条平行直线被第三条直线所截,所得的同位角、内错角、同旁内角有什么关系?
三、自学自测
1.如图,直线a∥b,∠1=70°,那么∠2的度数是( )
A.50° B.60° C.70° D.80°
2.下列说法中,(1)同位角相等,两直线平行;(2)两直线平行,同旁内角互补;(3)内错角相等,两直线平行;(4)同一平面内,垂直于同一直线的两条直线平行.其中是平行线的性质的是( )
A.(1)和(3) B.(2) C.(4) D.(2)和(4)
【课堂探究】
要点探究
探究点:平行线的性质
问题1:画两条平行线a//b,然后画一条截线c与a、b相交,标出如图所示的角. 度量所形成的8个角的度数,把结果填入下表:
角
度数
角
度数
观察: ∠1~ ∠8中,哪些是同位角?它们的度数之间有什么关系?说出你的猜想.
猜想 :两条平行线被第三条直线所截,同位角 .
思考:再任意画一条截线d,同样度量各个角的度数,你的猜想还成立吗?
问题2:如图,已知a//b,那么∠2与∠3相等吗?为什么?
∠1
∠5
∠2
∠6
∠3
∠7
∠4
∠8
问题3:如图,已知a//b,那么∠2与∠4有什么关系呢?为什么?
典例精析
例1.如图是一块梯形铁片的残余部分,量得∠A=100°,∠B=115°,梯形的另外两个角的度数分别是多少?
例2:小明在纸上画了一个∠A,准备用量角器测量它的度数时,因不小心将纸片撕破,只剩下如图的一部分,如果不能延长DC、FE的话,你能帮他设计出多少种方法测出∠A的度数?
二、课堂小结
平行线的性质
两直线平行, 同位角相等
两直线平行,内错角相等
两直线平行, 同旁内角互补
【当堂检测】
1.如图,已知平行线AB、CD被直线AE所截
(1)从∠1=110°可以知道∠2 是多少度吗,为什么?
几何语言
图示
(2)从∠1=110°可以知道 ∠3是多少度吗,为什么?
(3)从∠1=110°可以知道∠4 是多少度吗,为什么?
2.如图,一条公路两次拐弯的前后两条路互相平行.第一次拐弯时∠B是142°,第二次拐弯时∠C是多少度?为什么?
3.如图,直线 a ∥ b,直线b垂直于直线c,那么直线a垂直于直线c吗?
4.如果有两条直线被第三条直线所截,那么必定有( )
A.内错角相等 B.同位角相等 C.同旁内角互补 D.以上都不对
5.(1)如图1,若AB∥DE , AC∥DF,试说明∠A=∠D.请补全下面的解答过程,括号内填写依据.
解: ∵ AB∥DE( )
∴∠A=_______ ( )
∵AC∥DF( )
∴∠D=______ ( )
∴∠A=∠D ( )
(2)如图2,若AB∥DE , AC∥DF,试说明∠A+∠D=180o.请补全下面的解答过程,括号内填写依据.
解: ∵ AB∥DE( )
∴∠A= ______ ( )
∵AC∥DF( )
∴∠D+ _______=180° ( )
∴∠A+∠D=180°( )
6.【拓展题】如图,潜望镜中的两面镜子是互相平行放置的,光线经过镜子反射时,∠1=∠2,∠3=∠4,∠2和∠3有什么关系?为什么进入潜望镜的光线和离开潜望镜的光线是平行的?
5.3.1 平行线的性质
第2课时 平行线的性质和判定及其综合运用
【学习目标】:
1.进一步熟悉平行线的判定方法和性质.
2.运用平行线的性质和判定进行简单的推理和计算.
【重点】:平行线的判定方法和性质.
【难点】:平行线的性质和判定的综合运用.
【自主学习】
一、知识链接
1.平行线的判定方法有哪些?
2.平行线的性质有哪些?
二、新知预习
1.两条直线被第三条直线所截,同位角、内错角相等,或者说同旁内角互补,这句话对吗?
2.自主归纳:
(1)两直线平行,同位角 ,内错角 ,同旁内角 .
(2)不难发现,平行线的判定,反过来就是 ,注意它们之间的联系和区别.
(3)运用平行线的性质时,不要忽略前提条件“ ”,不要一提同位角或内错角,就认为是相等的.
【课堂探究】
一、要点探究
探究点:平行线的性质和判定及其综合应用
典例精析
例1.如图,三角形ABC中,D是AB上一点,E是AC上一点,∠ADE=60°,∠B = 60°,∠AED=40°.
(1)DE和BC平行吗?为什么?
(2)∠C是多少度?为什么?
做一做:已知AB∥CD,∠1 = ∠2.试说明:BE∥CF.
例2.如图,AB∥CD,猜想∠A、∠P 、∠PCD的数量关系,并说明理由.
例3.如图,若AB//CD,你能确定∠B、∠D与∠BED 的大小关系吗?说说你的看法.
【变式题1】如图,AB//CD,探索∠B、∠D与∠DEB的大小关系 .
ABECD
【变式题2】如图,AB∥CD,则∠A,∠C与∠E1,∠E2,…,∠En有什么关系?
【变式题3】如图,若AB∥CD, 则∠A,∠C与各拐角之间有什么关系?
二、课堂小结
平行线的判定与性质
平行线的判定
平行线的性质
【当堂检测】
1.填空:如图,
已知角的关系得平行的关系.
已知平行的关系得角的关系.
(1)∠1= 时,AB∥CD.
(2)∠3= 时,AD∥BC.
2.直线a,b与直线c相交,给出下列条件:①∠1= ∠2;②∠3= ∠6;③∠4+∠7=180°;④∠3+ ∠5=180°,
其中能判断a//b的是( )
A. ①②③④ B .①③④ C. ①③ D. ④
3. 有这样一道题:如图,AB//CD,∠A=100°, ∠C=110°,求∠AEC的度数.
请补全下列解答过程.
解:过点E作EF//AB.
∵AB//CD(已知),
∴ // (平行于同一直线的两直线平行).
∴∠A+∠ =180°,∠C+∠ =180°(两直线平行,同旁内角互补).
又∵∠A=100°,∠C=110°(已知),
∴∠ = °, ∠ = °.
∴∠AEC=∠1+∠2= °+ ° = °.
4.已知AB⊥BF,CD⊥BF,∠1= ∠2,试说明∠3=∠E.
5.如图,EF∥AD,∠1=∠2,∠BAC=70 °,求∠AGD的度数.
第五章相交线与平行线5.3.1《平行线的性质》同步练习
一、单选题(共15题;共30分)
1、如图,把一块含有45°角的直角三角板的两个顶点放在直尺的对边上.如果∠1=20o , 那么∠2的度数是( )
A、30°
B、25°
C、20°
D、15°
2、如图所示BC//DE,∠1=108°,∠AED=75°,则∠A的大小是( )
A、60°
B、33°
C、30°
D、23°
3、两条平行直线被第三条直线所截,下列命题中正确的是( )
A、同位角相等,但内错角不相等
B、同位角不相等,但同旁内角互补
C、内错角相等,且同旁内角不互补
D、同位角相等,且同旁内角互补
4、一架飞机向北飞行,两次改变方向后,前进的方向与原来的航行方向平行,已知第一次向左拐50°,那么第二次向右拐( )
A、40°
B、50°
C、130°
D、150°
5、如图,下列说法正确的是( )
A、若AB//CD,则∠1=∠2
B、若AD//BC,则∠B+∠BCD=180º
C、若∠1=∠2,则AD//BC
D、若∠3=∠4,则AD//BC
6、下列图形中,由AB//CD能得到∠1=∠2的是( )
A、
B、
C、 D、
7、下列语句:①两条不相交的直线叫做平行线;②过直线外一点有且只有一条直线与已知直线垂直;③若AB=BC,则点B是AC的中点;④若两角的两边互相平行,则这两个角一定相等;其中说法正确的个数是( )
A、1
B、2
C、3
D、4
8、同一平面内,两条不重合的直线的位置关系是( )
A、平行或垂直
B、平行或相交
C、平行、相交或垂直
D、相交
9、下列生活实例中;①交通道口的斑马线;②天上的彩虹;③体操的纵队;④百米跑道线;⑤火车的平直铁轨线.其中属于平行线的有( )
A、1个
B、2个
C、3个
D、4个
10、如图,AB∥CD,∠A=46°,∠C=27°,则∠AEC的大小应为( )
A、19°
B、29°
C、63°
D、73°
11、如图,直线l1∥l2 , 且分别与△ABC的两边AB、AC相交,若∠A=50°,∠1=35°,∠2的度数为( )
A、95°
B、65°
C、85°
D、35°
12、如图,已知:AB∥CD,CE分别交AB、CD于点F、C,若∠E=20°,∠C=45°,则∠A的度数为( )
A、5°
B、15°
C、25°
D、35°
13、如图,l∥m,矩形ABCD的顶点B在直线m上,则∠α=( )
A、20°
B、25°
C、30°
D、35°
14、如图,若a∥b,则下列选项中,能直接利用“两直线平行,内错角相等”判定∠1=∠2的是( )
A、 B、
C、 D、
15、如图,如果AB∥CD,那么图中相等的内错角是( )
A、∠1与∠5,∠2与∠6
B、∠3与∠7,∠4与∠8
C、∠5与∠1,∠4与∠8
D、∠2与∠6,∠7与∠3
二、填空题(共5题;共10分)
16、如图,已知:∠A=∠F,∠C=∠D,求证:BD∥EC,下面是不完整的说明过程,请将过程及其依据补充完整.
证明:∵∠A=∠F(已知)
∴AC∥ ________,________
∴∠D=∠1________
又∵∠C=∠D(已知)
∴∠1=________ ________
∴BD∥CE ________
17、如图,点A,C,F,B在同一直线上,CD平分∠ECB,FG∥CD.若∠ECA为α度,则∠GFB为________ 度(用关于α的代数式表示).
18、如图所示,一条公路两次拐弯后和原来的方向相同,即拐弯前、•后的两条路平行,若第一次拐角是150°,则第二次拐角为________ .
19、如图,把含有60 º角的三角尺ABC的直角顶点C放在直线DE上,当AB∥DE。则∠BCD=________度。
20、如图,EF∥BC,AC平分∠BAF,∠B=80°,则∠C=________ °.
三、解答题(共2题;共10分)
21、已知:如图,AB∥EF,BC∥ED,AB,DE交于点G.
求证:∠B=∠E.
22、如图,直线a∥b,BC平分∠ABD,DE⊥BC,若∠1=70°,求∠2的度数.
四、作图题(共1题;共5分)
23、作图题:(只保留作图痕迹)如图,在方格纸中,有两条线段AB、BC.利用方格纸完成以下操作:
(1)过点A作BC的平行线;
(2)过点C作AB的平行线,与(1)中的平行线交于点D;
(3)过点B作AB的垂线.
五、综合题(共2题;共20分)
24、已知:如图,AE⊥BC,FG⊥BC,∠1=∠2,∠D=∠3+60°,∠CBD=70°.
(1)求证:AB∥CD;
(2)求∠C的度数.
25、如图,AB、CD为两个建筑物,建筑物AB的高度为60米,从建筑物AB的顶点A点测得建筑物CD的顶点C点的俯角∠EAC为30°,测得建筑物CD的底部D
点的俯角∠EAD为45°.
(1)求两建筑物底部之间水平距离BD的长度;
(2)求建筑物CD的高度(结果保留根号).
答案解析部分
一、单选题
1、
、【答案】B
【考点】平行线的性质
【解析】
【分析】本题主要利用两直线平行,同位角相等作答.
【解答】根据题意可知,两直线平行,同位角相等,
∴∠1=∠3,
∵∠3+∠2=45°,
∴∠1+∠2=45°
∵∠1=20°,
∴∠2=25°.
故选:B.
【点评】本题主要考查了两直线平行,内错角相等的性质,需要注意隐含条件,直尺的对边平行,等腰直角三角板的锐角是45°的利用.
2、
【答案】B
【考点】平行线的性质
【解析】
【解答】解:
∵BC∥DE,∠1=108°,
∴∠2=∠1=108°,
∵∠2=∠A+∠AED,∠AED=75°,
∴∠A=∠2-∠AED=33°.
故选B.
【分析】由BC∥DE,∠1=108°,根据两直线平行,同位角相等,即可求得∠2的度数,又由三角形外角的性质,即可求得∠A的大小.
3、
【答案】D
【考点】平行线的性质
【解析】【分析】先根据平行线的判定得到同位角相等,两直线平行;同位角不相等,两直线不平行,然后根据平行线的性质得到两直线平行,则同旁内角互补;两直线不平行,则同旁内角不互补,再分别进行判断即可.
【解答】A、同位角相等,两直线平行;两直线平行,则内错角相等,所以A选项不正确;
B、同位角不相等,两直线不平行;两直线不平行,则同旁内角不互补,所以B选项不正确;
C、内错角相等,两直线平行;两直线平行,则同旁内角互补,所以C选项不正确;
D、同位角相等,两直线平行;两直线平行,则同旁内角互补,所以D选项正确.
故选D.
【点评】本题考查了平行线的判定与性质:同位角相等,两直线平行;内错角相等,两直线平行;两直线平行,内错角相等;两直线平行,同旁内角互补.
4、
【答案】B
【考点】平行线的性质
【解析】【分析】先画出图形,再根据平行线的性质即可得到结果。
【解答】如图所示:
根据两直线平行,同位角相等,得第二次向右拐50°.
故选B.
【点评】解答本题的关键是首先能够把实际问题转化为几何问题,然后运用平行线的性质求解.
5、
【答案】C
【考点】平行线的判定与性质
【解析】【分析】根据平行线的判定和性质依次分析各选项即可,要注意哪两条线是被截线。
A、若AB//CD,则∠3=∠4,无法说明∠1=∠2,B、若AD//BC,则∠B+∠BAD=180º,无法说明∠B+∠BCD=180º,D、若∠3=∠4,则AB//CD,故错误;
C、若∠1=∠2,则AD//BC,本选项正确。
【点评】平行线的判定和性质是初中数学的重点,贯穿于整个初中数学的学习,是中考中半径常见的知识点,一般难度不大,需熟练掌握。
6、
【答案】B
【考点】平行线的性质
【解析】解答:根据平行线性质判断每一个选项,答案是B.分析:A、∵AB∥CD,
∴∠1+∠2=180°,
故A选项错误;
B、∵AB∥CD,
∴∠1=∠3,
∵∠2=∠3,
∴∠1=∠2,
故B选项正确;
C、∵AB∥CD,
∴∠BAD=∠CDA,
若AC∥BD,可得∠1=∠2;
故C选项错误;
D、若梯形ABCD是等腰梯形,可得∠1=∠2,
故D选项错误.
故选B.
7、
【答案】A
【考点】平行线的性质,平行线的判定与性质
【解析】【解答】①两条不相交的直线叫做平行线,说法错误;②过直线外一点有且只有一条直线与已知直线垂直,说法正确;③若AB=BC,则点B是AC的中点,说法错误;④若两角的两边互相平行,则这两个角一定相等,说法错误;因此正确的说法有1个.故选:A.
【分析】根据在同一平面内,不相交的两条直线叫平行线可得①说法错误;根据在平面内,过一点有且只有一条直线与已知直线垂直可得②正确;当AB=BC=AC时,点B是AC的中点,因此③错误;若两角的两边互相平行,则这两个角相等或互补,因此④错误.
8、
【答案】B
【考点】平行线的判定与性质
【解析】【解答】在同一平面内两条不重合的直线的位置关系是平行和相交.故
选B.
【分析】根据在同一平面内两条不重合的直线的位置关系得出即可.
9、
【答案】D
【考点】平行线的判定与性质
【解析】【解答】属于平行线的有:①③④⑤.故选D.
【分析】根据平行线的定义即可确定.
10、
【答案】D
【考点】平行线的性质
【解析】解:∵AB∥CD,∠A=46°,∠C=27°,
∴∠ABE=∠C=27°.
∵∠AEC是△ABE的外角,
∴∠AEC=∠A+∠ABE=46°+27°=73°.
故选D.
【分析】先根据平行线的性质求出∠ABC的度数,再由三角形外角的性质即可得出结论.
11、
【答案】A
【考点】平行线的性质
【解析】【解答】解:如图:
∵直线l1∥l2 , ∠1=35°,
∴∠AEF=∠1=35°,
∵∠A=50°,
∴∠2=∠AFE=180°﹣∠A﹣∠AEF=95°,
故选A.
【分析】根据平行线的性质求出∠AEF,根据三角形内角和定理求出∠AFE,即可得出答案.
12、
【答案】C
【考点】平行线的性质
【解析】【解答】解:∵AB∥CD,∠C=45°,
∴∠EFB=∠C=45°,
∵∠E+∠A=∠EFB,∠E=20°,
∴∠A=45°﹣20°=25°,
故选C.
【分析】根据平行线性质求出∠EFB的度数,根据三角形的外角性质得出∠A+∠E=∠EFB,代入求出即可.
13、
【答案】B
【考点】平行线的性质
【解析】【解答】解:延长DC交直线m于E.如图所示:
∵l∥m,
∴∠CEB=65°.
在Rt△BCE中,∠BCE=90°,∠CEB=65°,
∴∠α=90°﹣∠CEB=90°﹣65°=25°;
故选:B.
14、
【答案】B
【考点】平行线的性质
【解析】【解答】解:∵∠1与∠2,
∴能直接利用“两直线平行,内错角相等”判定∠1=∠2的是B,
故选B.
【分析】先判断出∠1与∠2是内错角,然后根据平行线的性质即可得出答案.
15、
【答案】D
【考点】平行线的性质
【解析】【解答】解:∵∠1与∠5,∠4与∠8是直线AD、BC被AC所截得到的内错角,而AD、BC的位置关系不确定,∴∠1与∠5,∠4与∠8的数量关系也不确定,故A、B、C错误;
D、∵∠2与∠6是平行线AB、CD被AC所截得到的内错角,∠3与∠7是平行线AB、CD被BD所截得到的内错角,由平行线的性质可得,它们相等,故正确.
故选D.
【分析】找出平行线AB、CD被AC所截得到的内错角是∠2、∠6,被BD所截得到的内错角是∠3,∠7.
二、填空题
16、
【答案】DF;内错角相等,两直线平行;两直线平行,内错角相等;∠C;等量代换;同位角相等,两直线平行
【考点】平行线的判定与性质
【解析】【解答】∵∠A=∠F(已知)
∴AC∥DF(内错角相等,两直线平行)
∴∠D=∠1(两直线平行,内错角相等)
又∵∠C=∠D(已知)
∴∠1=∠C(等量代换)
∴BD∥CE(同位角相等,两直线平行).
【分析】由已知一对内错角相等得到AC与DF平行,利用两直线平行同位角相等得到一对角相等,再由已知另一对角相等,等量代换得到一对同位角相等,利用同位角相等两直线平行即可得证.2
17、
【答案】90﹣
【考点】平行线的性质
【解析】【解答】解:∵点A,C,F,B在同一直线上,∠ECA为α,
∴∠ECB=180°﹣α,
∵CD平分∠ECB,
∴∠DCB=(180°﹣α),
∵FG∥CD,
∴∠GFB=∠DCB=90﹣.
【分析】根据FG∥CD得出∠GFB=∠DCF,再由互补和角平分线得出∠DCF=(180°﹣α),解答即可.
18、
【答案】150°
【考点】平行线的性质
【解析】【解答】
由题意得,∠1=150°,a∥b,
∴∠2=∠1=150°(两直线平行,内错角相等).
【分析】运用平行线的性质作答即可。
19、
【答案】30
【考点】平行线的性质
【解析】【解答】解:∵AB∥DE
∴∠ACE=∠A=60°
又∵∠ACE+∠ACB+∠BCD=180°
∴∠BCD=180°-∠ACE-∠ACB=180°-60°-90°=30°.
【分析】平等线的性质.根据AB∥DE得出∠ACE=60°,再由∠ACE+∠ACB+∠BCD=180°得出∠BCD=30°.
20、
【答案】50
【考点】平行线的性质
【解析】【解答】解:∵EF∥BC,
∴∠BAF=180°﹣∠B=100°.
∵AC平分∠BAF,
∴∠CAF=∠BAF=50°,
∵EF∥BC,
∴∠C=∠CAF=50°.
故答案为:50.
【分析】先根据平行线的性质得出∠BAF的度数,再由AC平分∠BAF求出∠CAF的度数,根据平行线的性质即可得出结论.
三、解答题
21、
【答案】证明:∵AB∥EF,
∴∠E=∠AGD,
∵BC∥ED,
∴∠B=∠AGD,
∴∠B=∠E.
【考点】平行线的性质
【解析】【分析】由AB∥EF,BC∥ED,根据平行线的性质,即可得∠E=∠AGD,∠B=∠AGD,继而证得结论.
22、
【答案】
解:∵直线a∥b,
∴∠1=∠ABD=70°,
∵BC平分∠ABD,
∴∠EBD=∠ABD=35°,
∵DE⊥BC,
∴∠2=90°﹣∠EBD=55°.
【考点】平行线的性质
【解析】【分析】根据平行线的性质得到∠1=∠ABD=70°,由角平分线的定义得到∠EBD=∠ABD=35°,根据三角形的内角和即可得到结论.
四、作图题
23、
【答案】解:
(1)A所在的横线就是满足条件的直线,即AE就是所求;
(2)在直线AE上,到A距离是5个格长的点就是D,则CD就是所求与AB平行的直线;
(3)AE上D右边的个点F,过B,F作直线,就是所求.
【考点】平行线的判定与性质
【解析】【分析】(1)A所在的横线就是满足条件的直线;
(2)在直线AD上到A得等于BC的点D,则直线CD即为所求;
(3)AE上D右边的个点F,过B,F的直线即为所求.
五、综合题
24、
【答案】
(1))证明:∵AE⊥BC,FG⊥BC,
∴AE∥GF,
∴∠2=∠A,
∵∠1=∠2,
∴∠1=∠A,
∴AB∥CD;
(2)解:∵AB∥CD,
∴∠D+∠CBD+∠3=180°,
∵∠D=∠3+60°,∠CBD=70°,
∴∠3=25°,
∵AB∥CD,
∴∠C=∠3=25°.
【考点】平行线的判定与性质
【解析】【分析】(1)求出AE∥GF,求出∠2=∠A=∠1,根据平行线的判定推出即可;(2)根据平行线的性质得出∠D+∠CBD+∠3=180°,求出∠3,根据平行线的性质求出∠C即可.
25、
【答案】
(1)解:根据题意得:BD∥AE,
∴∠ADB=∠EAD=45°,
∵∠ABD=90°,
∴∠BAD=∠ADB=45°,
∴BD=AB=60,
∴两建筑物底部之间水平距离BD的长度为60米;
(2)解:延长AE、DC交于点F,根据题意得四边形ABDF为正方形,
∴AF=BD=DF=60,
在Rt△AFC中,∠FAC=30°,
∴CF=AF•tan∠FAC=60×
又∵FD=60,
∴CD=60﹣20 ,
=20 ,
∴建筑物CD的高度为(60﹣20 )米.
【考点】平行线的性质,正方形的性质
【解析】【分析】(1)根据题意得:BD∥AE,从而得到∠BAD=∠ADB=45°,利用BD=AB=60,求得两建筑物底部之间水平距离BD的长度为60米;(2)延长AE、DC交于点F,根据题意得四边形ABDF为正方形,根据AF=BD=DF=60,在Rt△AFC中利用∠FAC=30°求得CF,然后即可求得CD的长.
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