圆的认识 -- 知识点归纳

2024年1月4日发(作者：一件快乐的事)

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圆的认识

圆的定义：

圆是一种几何图形。当一条线段绕着它的一个端点在平面旋转一周时，它的另一个端点的轨迹叫做圆。

在一个个平面，线段OA绕它固定的一个端点O旋转一周，另一个端点A随之旋转所形成的图形叫做圆，固定的端点O叫做圆心，线段OA叫做半径。

相关定义:

1 在同一平面，到定点的距离等于定长的点的集合叫做圆。这个定点叫做圆的圆心。图形一周的长度，就是圆的周长。

2 连接圆心和圆上的任意一点的线段叫做半径，字母表示为r。

3 通过圆心并且两端都在圆上的线段叫做直径，字母表示为d。直径所在的直线是圆的对称轴。

4 连接圆上任意两点的线段叫做弦。最长的弦是直径,直径是过圆心的弦。

5 圆上任意两点间的局部叫做圆弧，简称弧。大于半圆的弧称为优弧，优弧是用三个字母表示。小于半圆的弧称为劣弧，劣弧用两个字母表示。半圆既不是优弧，也不是劣弧。优弧是大于180度的弧，劣弧是小于180度的弧。

6 由两条半径和一段弧围成的图形叫做扇形。

7 由弦和它所对的一段弧围成的图形叫做弓形。

8 顶点在圆心上的角叫做圆心角。

9 顶点在圆周上，且它的两边分别与圆有另一个交点的角叫做圆周角。

10 圆周长度与圆的直径长度的比值叫做圆周率。它是一个无限不循环小数，通常用π表示，π=3.14159265……在实际应用中，一般取π≈3.14。

11圆周角等于一样弧所对的圆心角的一半。

12 圆是一个正n边形〔n为无限大的正整数〕，边长无限接近0但不等于0。

圆的集合定义：

圆是平面到定点的距离等于定长的点的集合，其中定点是圆心，定长是半径。

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圆的字母表示：

以点O为圆心的圆记作“⊙O〞，读作O〞。

圆—⊙ ；

半径—r或R〔在环形圆中外环半径表示的字母〕；

弧—⌒ ；

直径—d ；

- . 可修编.

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扇形弧长—L ；

周长—C ；

面积—S。

圆的性质:〔1〕圆是轴对称图形，其对称轴是任意一条通过圆心的直线。

圆也是中心对称图形，其对称中心是圆心。

垂径定理：垂直于弦的直径平分这条弦，并且平分弦所对的2条弧。

逆定理：平分弦〔不是直径〕的直径垂直于弦，并且平分弦所对的2条弧。

〔2〕有关圆周角和圆心角的性质和定理

① 在同圆或等圆中，如果两个圆心角，两个圆周角，两组弧，两条弦，两条弦心距中有一组量相等，那么他们所对应的其余各组量都分别相等。

②在同圆或等圆中，相等的弧所对的圆周角等于它所对的圆心角的一半〔圆周角与圆心角在弦的同侧〕。

直径所对的圆周角是直角。90度的圆周角所对的弦是直径。

圆心角计算公式： θ=(L/2πr)×360°=180°L/πr=L/r(弧度)。

即圆心角的度数等于它所对的弧的度数；圆周角的度数等于它所对的弧的度数的一半。

③ 如果一条弧的长是另一条弧的2倍，那么其所对的圆周角和圆心角是另一条弧的2倍。

〔3〕有关外接圆和切圆的性质和定理

①一个三角形有唯一确定的外接圆和切圆。外接圆圆心是三角形各边垂直平分线的交点，到三角形三个顶点距离相等；

②切圆的圆心是三角形各角平分线的交点，到三角形三边距离相等。

③R=2S△÷L〔R：切圆半径，S：三角形面积，L：三角形周长〕。

④两相切圆的连心线过切点。〔连心线：两个圆心相连的直线〕

⑤圆O中的弦PQ的中点M，过点M任作两弦AB，CD，弦AD与BC分别交PQ于X，Y，那么M为XY之中点。

〔4〕如果两圆相交，那么连接两圆圆心的线段〔直线也可〕垂直平分公共弦。

〔5〕弦切角的度数等于它所夹的弧的度数的一半。

〔6〕圆角的度数等于这个角所对的弧的度数之和的一半。

〔7〕圆外角的度数等于这个角所截两段弧的度数之差的一半。

〔8〕周长相等，圆面积比长方形、正方形、三角形的面积大。

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点、线、圆与圆的位置关系：

点和圆位置关系

①P在圆O外，那么 PO>r。

②P在圆O上，那么 PO=r。

③P在圆O，那么 0≤PO

反过来也是如此。

- . 可修编.

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直线和圆位置关系

①直线和圆无公共点，称相离。 AB与圆O相离，d>r。

②直线和圆有两个公共点，称相交，这条直线叫做圆的割线。AB与⊙O相交，d

③直线和圆有且只有一公共点，称相切，这条直线叫做圆的切线，这个唯一的公共点叫做切点。AB与⊙O相切，d=r。〔d为圆心到直线的距离〕

圆和圆位置关系

①无公共点，一圆在另一圆之外叫外离，在之叫含。

②有唯一公共点的，一圆在另一圆之外叫外切，在之叫切。

③有两个公共点的叫相交。两圆圆心之间的距离叫做圆心距。

设两圆的半径分别为R和r，且R〉r，圆心距为P，那么结论：外离P>R+r；外切P=R+r；含P

切P=R-r；相交R-r

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圆的计算公式:1.圆的周长C=2πr=或C=πd

2.圆的面积S=πr2

3.扇形弧长L=圆心角〔弧度制〕× r = n°πr/180°〔n为圆心角〕

4.扇形面积S=nπ r2/360=Lr/2〔L为扇形的弧长〕

5.圆的直径 d=2r

6.圆锥侧面积 S=πrl〔l为母线长〕

7.圆锥底面半径 r=n°/360°L〔L为母线长〕〔r为底面半径〕

圆的方程:1、圆的标准方程：在平面直角坐标系中，以点O〔a，b〕为圆心，以r为半径的圆的标准方程是

〔x-a〕2+〔y-b)2=r2。

特别地，以原点为圆心，半径为r〔r>0〕的圆的标准方程为x2+y2=r2。

2、圆的一般方程：方程x2+y2+Dx+Ey+F=0可变形为〔x+D/2〕2+〔y+E/2〕2=〔D2+E2-4F〕/4.故有：

①当D2+E2-4F>0时，方程表示以(-D/2,-E/2)为圆心，以〔√D2+E2-4F〕/2为半径的圆；

②当D2+E2-4F=0时，方程表示一个点〔-D/2，-E/2〕；

③当D2+E2-4F<0时，方程不表示任何图形。

3、圆的参数方程：以点O〔a，b〕为圆心，以r为半径的圆的参数方程是 x=a+r*cosθ, y=b+r*sinθ, 〔其中θ为参数〕

圆的端点式：假设两点A〔a1,b1〕,B〔a2,b2〕，那么以线段AB为直径的圆的方程为 〔x-a1〕〔x-a2〕+〔y-b1〕〔y-b2〕=0

圆的离心率e=0，在圆上任意一点的曲率半径都是r。

经过圆x2+y2=r2上一点M〔a0，b0〕的切线方程为 a0·x+b0·y=r2

- . 可修编.

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在圆〔x2+y2=r2〕外一点M〔a0，b0〕引该圆的两条切线，且两切点为A,B，那么A,B两点所在直线的方程也为 a0·x+b0·y=r2。

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圆的历史: 圆形，是一个看来简单，实际上是十分奇妙的形状。古代人最早是从太阳、阴历十五的月亮得到圆的概念的。在一万八千年前的山顶洞人曾经在兽牙、砾石和石珠上钻孔，那些孔有的就很圆。到了器时代，许多器都是圆的。圆的器是将泥土放在一个转盘上制成的。当人们开场纺线，又制出了圆形的石纺锤或纺锤。古代人还发现搬运圆的木头时滚着走比拟省劲。后来他们在搬运重物的时候，就把几段圆木垫在大树、大石头下面滚着走，这样当然比扛着走省劲得多。

约在6000年前，美索不达米亚人，做出了世界上第一个轮子——圆型的木盘。大约在4000多年前，人们将圆的木盘固定在木架下，这就成了最初的车子。

会作圆，但不一定就懂得圆的性质。古代埃及人就认为：圆，是神赐给人的神圣图形。一直到两千多年前我国的墨子〔约公元前468-前376年〕才给圆下了一个定义：圆，一中同长也。意思是说：圆有一个圆心，圆心到圆周的长都相等。这个定义比希腊数学家欧几里得〔约公元前330-前275年〕给圆下定义要早100年。

任意一个圆的周长与它直径的比值是一个固定的数，我们把它叫做圆周率，用字母π表示。它是一个无限不循环小数，π=3.1415926535……但在实际运用中一般只取它的近似值，即π≈3.14.如果用C表示圆的周长：C=πd或C=2πr.?周髀算经?上说"周三径一"，把圆周率看成3，但是这只是一个近似值。美索不达来亚人在作第一个轮子的时候，也只知道圆周率是3。晋时期的徽于公元263年给?九章算术?作注时，发现"周三径一"只是圆接正六边形周长和直径的比值。他创立了割圆术，认为圆接正多连形边数无限增加时，周长就越逼近圆周长。他算到圆接正3072边形的圆周率，π= 3927/1250。徽把极限的概念运用于解决实际的数学问题之中，这在世界数学史上也是一项重大的成就。祖冲之〔公元429-500年〕在前人的计算根底上继续推算，求出圆周率在3.1415926与3.1415927之间，是世界上最早的七位小数准确值，他还用两个分数值来表示圆周率：22/7称为约率，355/113称为密率。 在欧洲，直到1000年后的十六世纪，德国人鄂图〔公元1573年〕和安托尼兹才得到这个数值。现在有了电子计算机，圆周率已经算到了小数点后六十万亿位小数了。

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