2022-2023学年湖北省鄂东南省级示范高中教育教学改革联盟学校高三(上

2023年12月31日发(作者：人物传记推荐)

2022-2023学年湖北省鄂东南省级示范高中教育教学改革联盟学校高三（上）期中数学试卷

一、单项选择题：（本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的四个选项中，只有一项符合题目要求。）

1．已知命题：∀x∈Z，|x|∈N，则该命题的否定是（ ）

A．∀x∈Z，|x|∉N B．∃x∈Z，|x|∈N C．∃x∈Z，|x|∉N D．∃x∉Z，|x|∉N

2．已知集合𝐴={𝑥|𝑦=√𝑙𝑜𝑔0.5(4𝑥−3)}，𝐵={𝑥|3𝑥2−8𝑥+4≤0}，则A∩B＝（ ）

A．(，2]

34B．[，2]

23C．[，1]

23D．(，1]

343．下列函数中周期为π，且为偶函数的是（ ）

A．y＝cos|x|

C．y＝|cosx|

→→B．𝑦=𝑡𝑎𝑛2

𝑥

𝜋D．𝑦=𝑠𝑖𝑛(4𝑥+2)

→→→→→→4．已知△ABC的外接圆圆心为O，且𝐴𝐵+𝐴𝐶+2𝑂𝐴=0，|𝐴𝑂|=|𝐴𝐵|，则向量𝐴𝐵在向量𝐵𝐶上的投影向量为（ ）

1→A．−𝐵𝐶

4B．𝐵𝐶

41→C．−√3→4𝐵𝐶

√3→D．𝐵𝐶

45．（多选）已知函数f（x）的定义域为R，g（x）＝f（2﹣x）﹣f（2+x），h（x）＝f（2﹣x）+f（x），则下述正确的是（ ）

A．g（x）为奇函数 B．g（x）为偶函数

D．h（x）的图象关于点（1，0）对称

2𝜋𝜋，D点为AC上一点且∠𝐷𝐵𝐶=，𝐵𝐷=32C．h（x）的图象关于直线x＝1对称

6．在△ABC中，角A，B，C，所对的边分别为a，b，c，∠𝐴𝐵𝐶=3，则a+2c的最小值为（ ）

A．2√3 B．9√3 C．6√3 D．√3

7．已知a＝e﹣2，b＝1﹣ln2，c＝ee﹣e2，则（ ）

A．c＞b＞a

𝑥B．a＞b＞c C．a＞c＞b D．c＞a＞b

13+3，𝑥≤18．已知函数𝑓(𝑥)={3，则函数𝐹(𝑥)=𝑓[𝑓(𝑥)]−3𝑓(𝑥)−2的零点个数是（ ）

|𝑙𝑜𝑔3(𝑥−1)|，𝑥＞1B．5 C．4 D．3 A．6

二、多项选择题：（本题共4小题，每小题5分，共20分。在每小题给出的选项中，有多项符合要求。全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分。）

第1页（共18页）

9．已知a，b∈R，则使“a+b＞1”成立的一个必要不充分条件是（ ）

A．a2+b2＞1 B．|a|+|b|＞1 C．2a+2b＞1 D．+𝑎4𝑏+1𝑏＞10

10．水车是我国劳动人民创造发明的一种灌溉工具，作为中国农耕文化的组成部分，充分体现了中华民族的创造力，见证了中国农业文明．水车的外形酷似车轮，在轮的边缘装有若干个水斗，借助水势的运动惯性冲动水车缓缓旋转，将水斗内的水逐级提升．如图，某水车轮的半径为6米，圆心距水面的高度为4米，水车按逆时针方向匀速转动，每分钟转动2圈，当其中的一个水斗A到达最高点时开始计时，设水车转动t（分钟）时水斗A距离水面的高度（水面以上为正，水面以下为负）为f（t）（米），下列选项正确的是（ ）

A．f（t）＝6cos4πt+4（t≥0）

𝜋

12B．𝑓(𝑡)=6𝑠𝑖𝑛(𝜋𝑡+2)+4(𝑡≥0)

C．若水车的转速减半，则其周期变为原来的

D．在旋转一周的过程中，水斗A距离水面高度不低于7米的时间为10秒

11．设等比数列{an}的公比为q，其前和项和为Sn，前n项积为Tn，且满足条件a1＞1，a2022a2023＞1，（a2022﹣1）（a2023﹣1）＜0，则下列选项正确的是（ ）

A．0＜q＜1

B．S2022+1＜S2023

D．T4043＞1 C．T2022是数列{Tn}中的最大项

2𝑥112．已知函数𝑓(𝑥)=𝑥+1，令𝑥1=2，𝑥𝑛+1=𝑓(𝑥𝑛)，则下列正确的选项为（ ）

A．数列{xn}的通项公式为𝑥𝑛=B．𝑥1+𝑥2+⋯+𝑥𝑛＜3𝑛−6

2122𝑛−1𝑛−1+1，𝑛∈𝑁∗

C．若数列{an}为等差数列，a1+a2+a3+a4+a5+a6＝﹣6，则f（a1）+f（a2）+⋯+f（a6）＝12

D．𝑥1⋅𝑥2⋅𝑥3⋅⋯⋅𝑥𝑛+1＞2𝑒

三、填空题（本题共4小题，每小题5分，共20分。）

第2页（共18页）

1

13．已知𝛼+𝛽=→𝜋，𝛼，𝛽均为锐角，则（1+tanα）（1+tanβ）＝ ．

4→→→→→14．已知向量𝑎，𝑏不共线，且向量𝜆𝑎+𝑏与𝑎+(2𝜆−1)𝑏的方向相反，则实数λ的值为 ．

15．若项数为n的数列{an}满足：ai＝an+1﹣i（i＝1，2，3⋯n）我们称其为n项的“对称数列”．例如：数列1，2，2，1为4项的“对称数列”；数列1，2，3，2，1为5项的“对称数列”．设数列{cn}为2k﹣1（k≥2）项的“对称数列”，其中c1，c2，c3，…，ck是公差为2的等差数列，数列{cn}的最大项等于8．记数列{cn}的前2k﹣1项和为S2k﹣1，若S2k﹣1＝32，则k＝ ．

16．若不等式sinx﹣ln（x+1）+ex≥1+x+ax2−x3恒成立，则a的取值范围为 ．

四、解答题（本题共6小题，共70分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。）

17．（10分）已知等差数列{an}和等比数列{bn}满足a1＝2，b2＝4，an＝2log2bn，n∈N*．

（1）求数列{an}，{bn}的通项公式；

（2）设数列{an}中不在数列{bn}中的项按从小到大的顺序构成数列{cn}，记数列{cn}的前n项和为Sn，求S50．

18．（12分）在△ABC中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，且满足𝑎𝑐𝑜𝑠𝐶−√3𝑎𝑠𝑖𝑛𝐶=𝑏−2𝑐．

（1）求角A；

1→（2）已知AB＝2，AC＝6，M点为BC的中点，N点在线段AC上且|𝐴𝑁|=|𝐴𝐶|，点P为AM与BN3→13的交点，求∠MPN的余弦值．

19．（12分）如图，在三棱柱ABC﹣A1B1C1中，AB＝AC＝AA1＝3，AB⊥AC，∠A1AB＝∠A1AC，D是棱B1C1的中点．

（1）证明：BC⊥平面A1AD；

（2）若三棱锥B1﹣A1BD的体积为98√2，求平面A1BD与平面CBB1C1的夹角θ．

第3页（共18页）

20．（12分）在一次数学随堂小测验中，有单项选择题和多项选择题两种．单项选择题，每道题四个选项中仅有一个正确，选择正确得5分，选择错误得0分；多项选择题，每道题四个选项中有两个或三个选项正确，全部选对得5分，部分选对得2分，有选择错误的得0分．

（1）小明同学在这次测验中，如果不知道单项选择题的答案就随机猜测．已知小明知道单项选择题的正确答案和随机猜测的概率都是．问小明在做某道单项选择题时，在该道题做对的条件下，求他知道21这道单项选择题正确答案的概率；

（2）小明同学在做多选题时，选择一个选项的概率为，选择两个选项的概率为，选择三个选项的概5522率为．已知某个多项选择题有三个选项是正确的，小明在完全不知道四个选项正误的情况下，只好根51据自己的经验随机选择，记小明做这道多项选择题所得的分数为X，求X的分布列及数学期望．

21．（12分）设点P为圆C：x+y＝4上的动点，过点P作x轴垂线，垂足为点Q，动点M满足2𝑀𝑄=√3𝑃𝑄（点P、Q不重合）

（1）求动点M的轨迹方程E；

（2）若过点T（4，0）的动直线与轨迹E交于A、B两点，定点N为(1，)，直线NA的斜率为k1，直线NB的斜率为k2，试判断k1+k2是否为定值．若是，求出该定值；若不是，请说明理由．

22．（12分）已知函数f（x）＝asin（1﹣x）+lnx，a∈R．

（1）讨论函数f（x）在x∈（0，1）上的单调性；

（2）证明：𝑠𝑖𝑛

1111111+𝑠𝑖𝑛+𝑠𝑖𝑛+⋯+𝑠𝑖𝑛＜𝑙𝑛2+(+)．

22222𝑛+1𝑛234(1+𝑛)3222→→

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2022-2023学年湖北省鄂东南省级示范高中教育教学改革联盟学校高三（上）期中数学试卷

参考答案与试题解析

一、单项选择题：（本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的四个选项中，只有一项符合题目要求。）

1．已知命题：∀x∈Z，|x|∈N，则该命题的否定是（ ）

A．∀x∈Z，|x|∉N B．∃x∈Z，|x|∈N C．∃x∈Z，|x|∉N D．∃x∉Z，|x|∉N

解：根据全称量词命题的否定是存在量词命题知，

命题：∀x∈Z，|x|∈N，则该命题的否定是：∃x∈Z，|x|∉N．

故选：C．

2．已知集合𝐴={𝑥|𝑦=√𝑙𝑜𝑔0.5(4𝑥−3)}，𝐵={𝑥|3𝑥2−8𝑥+4≤0}，则A∩B＝（ ）

A．(，2]

34B．[，2]

3423C．[，1]

23D．(，1]

2334解：𝐴={𝑥|0＜4𝑥−3≤1}={𝑥|＜𝑥≤1}，𝐵={𝑥|(3𝑥−2)(𝑥−2)≤0}={𝑥|≤𝑥≤2}，

∴𝐴∩𝐵=(4，1]．

故选：D．

3．下列函数中周期为π，且为偶函数的是（ ）

A．y＝cos|x|

C．y＝|cosx|

B．𝑦=𝑡𝑎𝑛2

𝑥3

𝜋2D．𝑦=𝑠𝑖𝑛(4𝑥+)

解：由于y＝cos|x|＝cosx是偶函数，且它的周期为2π，故A不满足条件；

由于y＝tan是奇函数，故B不满足条件；

2𝑥由于y＝|cosx|是偶函数，且它的周期为×2π＝π，故C满足条件；

21由于y＝sin（4x+2）＝cos4x是偶函数，且它的周期为故选：C．

𝜋2𝜋4=𝜋2，故D不满足条件，

4．已知△ABC的外接圆圆心为O，且𝐴𝐵+𝐴𝐶+2𝑂𝐴=0，|𝐴𝑂|=|𝐴𝐵|，则向量𝐴𝐵在向量𝐵𝐶上的投影向量为（ ）

1→A．−4𝐵𝐶

→→→→→→→→B．𝐵𝐶

4→→1→C．−4𝐵𝐶

→→√3→√3→D．𝐵𝐶

4解：∵△ABC的外接圆圆心为O，且𝐴𝐵+𝐴𝐶+2𝑂𝐴=0，

第5页（共18页）

∴△ABC为直角三角形，∠ABC=3，向量𝐴𝐵在向量𝐵𝐶上的投影向量为−4𝐵𝐶，

故选：A．

5．已知函数f（x）的定义域为R，g（x）＝f（2﹣x）﹣f（2+x），h（x）＝f（2﹣x）+f（x），则下述正确的是（ ）

A．g（x）为奇函数 B．g（x）为偶函数

D．h（x）的图象关于点（1，0）对称

𝜋→→1→C．h（x）的图象关于直线x＝1对称

解：因为g（x）＝f（2﹣x）﹣f（2+x），

所以g（﹣x）＝f（2+x）﹣f（2﹣x）＝﹣g（x），即g（x）为奇函数，A正确，B错误；

因为h（x）＝f（2﹣x）+f（x），

所以h（2﹣x）＝f（x）+f（2﹣x）＝h（x），即h（x）的图象关于x＝1对称，C正确，D错误．

故选：AC．

6．在△ABC中，角A，B，C，所对的边分别为a，b，c，∠𝐴𝐵𝐶=3，则a+2c的最小值为（ ）

A．2√3 B．9√3 C．6√3 D．√3

2𝜋𝜋，D点为AC上一点且∠𝐷𝐵𝐶=，𝐵𝐷=32解：在△ABC中，设∠A＝α，由于∠ABC=因为∠DBC=2，故∠DBA=6，

在△ABD中，由正弦定理得𝐴𝐵62𝜋𝜋𝜋，则0＜α＜，∠C=−α，

333𝜋𝜋𝐴𝐵𝑠𝑖𝑛∠𝐴𝐷𝐵=𝐵𝐷𝑠𝑖𝑛𝐴，

3𝑠𝑖𝑛(5𝜋6−𝛼)∴=，即c=，

5𝜋𝑠𝑖𝑛𝛼𝑠𝑖𝑛𝛼𝑠𝑖𝑛(−𝛼)33𝑠𝑖𝑛(𝜋6+𝛼)在△CBD中，由正弦定理得=，∴=，即a=，

𝜋𝜋𝑠𝑖𝑛(𝜋−𝛼)𝑠𝑖𝑛∠𝐶𝐷𝐵𝑠𝑖𝑛𝐶𝑠𝑖𝑛(+𝛼)𝑠𝑖𝑛(−𝛼)3𝐵𝐶𝐵𝐷𝐵𝐶6333𝑠𝑖𝑛(−𝛼)3√3(+𝑠𝑖𝑛2𝛼)3√3(𝑐𝑜𝑠2𝛼+√3𝑠𝑖𝑛𝛼𝑐𝑜𝑠𝛼)3𝑠𝑖𝑛(𝜋6226+𝛼)∴a+2c=+ 2•=== 3√3+𝜋1−𝑐𝑜𝑠2𝛼√3𝑠𝑖𝑛(3−𝛼)𝑠𝑖𝑛𝛼√3𝑠𝑖𝑛𝛼𝑐𝑜𝑠𝛼−𝑠𝑖𝑛2𝛼𝑠𝑖𝑛2𝛼−225𝜋1+𝑐𝑜𝑠2𝛼√3𝜋13√3𝜋𝜋5𝜋𝜋，因为0＜α＜，所以＜2α+＜，则＜sin（2α+）≤1，

𝜋1366662𝑠𝑖𝑛(2𝛼+6)−2故当sin（2α+）＝1，即α=时，3√3+即a+2c的最小值为9√3．

故选：B．

𝜋6𝜋63√33√3取到最小值33+√11=9√3．

𝑠𝑖𝑛(2𝛼+𝜋)−1−6227．已知a＝e﹣2，b＝1﹣ln2，c＝ee﹣e2，则（ ）

A．c＞b＞a B．a＞b＞c C．a＞c＞b

第6页（共18页）

D．c＞a＞b

令f（x）＝lnx﹣x，x＞1，则𝑓′(𝑥)=1𝑥−1＜0，于是f（x）在（1，+∞）上单调递减，

所以f（e）＜f（2），即lne﹣e＜ln2﹣2，即e﹣2＞1﹣ln2，故a＞b；

令g（x）＝ex﹣x，x＞1，则g′（x）＝ex﹣1＞0，于是g（x）在（1，+∞）上单调递增，

所以g（e）＞g（2），即ee﹣e＞e2﹣2，即ee﹣e2＞e﹣2，故c＞a；

综上c＞a＞b．

故选：D．

3𝑥+38．已知函数𝑓(𝑥)={3，𝑥≤1，则函数𝐹(𝑥)=𝑓[𝑓(𝑥)]−3𝑓(𝑥)−1|𝑙𝑜𝑔，𝑥＞12的零点个数是（3(𝑥−1)|A．6 B．5 C．4 D．3

解：作出函数f（x）的图象如图所示，

当y＝0时，f（x）＝y只有一个根，

当0＜y≤1时，f（x）＝y有二个根，

当1＜y≤2时，f（x）＝y有三个根，

当y＞2时，f（x）＝y有二个根，

令t＝f（x），F（t）＝f（t）﹣3t−12的零点即为f（t）＝3t+12的根，

第7页（共18页）

）

作出两函数y＝f（t）与y＝3t+可知两函数有两交点t1，t2，且0＜t1＜1，1＜t2＜2，

所以函数𝐹(𝑥)=𝑓[𝑓(𝑥)]−3𝑓(𝑥)−2的零点个数是5个．

故选：B．

二、多项选择题：（本题共4小题，每小题5分，共20分。在每小题给出的选项中，有多项符合要求。全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分。）

9．已知a，b∈R，则使“a+b＞1”成立的一个必要不充分条件是（ ）

A．a2+b2＞1 B．|a|+|b|＞1 C．2a+2b＞1 D．+𝑎4𝑏+1𝑏112＞10

解：对于A，当a＝b＝﹣1时，满足a2+b2＞1，不满足a+b＞1，

即a2+b2＞1推不出a+b＞1，不充分；

当a=2，𝑏=4时，满足a+b＞1，不满足a2+b2＞1，

即a+b＞0，推不出a2+b2＞1，不必要，故A错误；

对于B，当a＝b＝﹣1时，满足|a|+|b|＞1，不满足a+b＞1，即|a|+|b|＞1推不出ab＞1，不充分；

当a+b＞1时，平方得a2+2ab+b2＞1，

又（|a|+|b|）2＝|a|2+2|ab|+|b|2≥a2+2ab+b2＞1，

又|a|+|b|＞0，∴|a|+|b|＞1，

∴a+b＞1能推出|a|+|b|＞1，是必要条件，故B正确；

对于C，当a＝b＝0时，满足2a+2b＞1，不满足a+b＞1，即2a+2b＞1推不出a+b＞1，不充分，

当a+b＞1时，由2a＞0，2b＞0，2a+2b≥2√2𝑎⋅2𝑏=2√2𝑎+𝑏＞2√2＞1，

∴a+b＞1，能推出2a+2b＞1，是必要条件，故C正确；

对于D，当a＝b=时，满足+𝑎124𝑏+1𝑏13＞10，不满足a+b＞1，

即+𝑎4𝑏+1𝑏＞10推不出a+b＞1，不充分；

4𝑏+1𝑏当a＝2，b＝1时，满足a+b＞1，不满足+𝑎＞10，

即a+b＞1推不出+𝑎4𝑏+1𝑏＞10，不必要，故D错误．

故选：BC．

10．水车是我国劳动人民创造发明的一种灌溉工具，作为中国农耕文化的组成部分，充分体现了中华民族的创造力，见证了中国农业文明．水车的外形酷似车轮，在轮的边缘装有若干个水斗，借助水势的运动惯性冲动水车缓缓旋转，将水斗内的水逐级提升．如图，某水车轮的半径为6米，圆心距水面的高度为4米，水车按逆时针方向匀速转动，每分钟转动2圈，当其中的一个水斗A到达最高点时开始计时，设第8页（共18页）

水车转动t（分钟）时水斗A距离水面的高度（水面以上为正，水面以下为负）为f（t）（米），下列选项正确的是（ ）

A．f（t）＝6cos4πt+4（t≥0）

𝜋2

12B．𝑓(𝑡)=6𝑠𝑖𝑛(𝜋𝑡+)+4(𝑡≥0)

C．若水车的转速减半，则其周期变为原来的

D．在旋转一周的过程中，水斗A距离水面高度不低于7米的时间为10秒

解：由题意，设f（t）＝6sin（ωt+φ）+B，所以6+B＝10，解得B＝4，T=𝜔=2，解得ω＝4π，

t＝0时，f（0）＝6sinφ+4＝10，解得sinφ＝1，所以φ=，

所以f（t）＝6sin（4πt+2）+4＝6cos4πt+4，其中t≥0，选项A正确，选项B错误；

若水车的转速减半，则其周期变大，所以选项C错误；

令f（t）≥7，得6cos4πt+4≥7，t∈[0，]，解得cos4πt≥，

2112𝜋𝜋22𝜋1即0≤4πt≤3或𝜋5𝜋3≤4πt≤2π，解得t∈[0，112]∪[512，]，

211所以在旋转一周的过程中，水斗A距离水面高度不低于7米的时间为故选：AD．

12×2×60＝10秒，选项D正确．

11．设等比数列{an}的公比为q，其前和项和为Sn，前n项积为Tn，且满足条件a1＞1，a2022a2023＞1，（a2022﹣1）（a2023﹣1）＜0，则下列选项正确的是（ ）

A．0＜q＜1

B．S2022+1＜S2023

D．T4043＞1 C．T2022是数列{Tn}中的最大项

解：由于等比数列{an}的公比为q，其前和项和为Sn，前n项积为Tn，

若a1＞1，a2022a2023＞1，（a2022﹣1）（a2023﹣1）＜0，

则数列{an}各项均为正值，且（a1q20121）（a1q2022）＝（a1）2（q4043）＞1，

故有a2022＞1，0＜a2023＜1，则0＜q＜1，故A正确，等比数列{an}为正项的递减数列；

第9页（共18页）

由于S2022+1＞S2020+a2023＝S2023，故B错误；

根据a1＞a2＞…＞a2021＞1＞a2022＞1＞a2023…＞0，可知T2022是数列{Tn}中的最大项，故C正确；

2由等比数列的性质可得a1a4043＝a2a4042＝…＝a2021a2023=𝑎2022，

所以T4043＝a1a2…a4043=𝑎20224043＞1，故D正确，

故选：ACD．

12．已知函数𝑓(𝑥)=2𝑥1，令𝑥1=，𝑥𝑛+1=𝑓(𝑥𝑛)，则下列正确的选项为（ ）

𝑥+1222𝑛−1𝑛−1A．数列{xn}的通项公式为𝑥𝑛=B．𝑥1+𝑥2+⋯+𝑥𝑛＜𝑛−

2316+1，𝑛∈𝑁∗

C．若数列{an}为等差数列，a1+a2+a3+a4+a5+a6＝﹣6，则f（a1）+f（a2）+⋯+f（a6）＝12

D．𝑥1⋅𝑥2⋅𝑥3⋅⋯⋅𝑥𝑛+1＞2𝑒

1𝑛解：函数𝑓(𝑥)=𝑥+1，令𝑥1=2，𝑥𝑛+1=𝑓(𝑥𝑛)=𝑥+1，可得=+，即−1=(−𝑛𝑥𝑛+122𝑥𝑛𝑥𝑛+12𝑥𝑛2𝑥12𝑥111111𝑛−11)，所以{1𝑥𝑛−1}是首项为1，公比为的等比数列，所以222𝑛−111𝑥𝑛−1=()21𝑛−12，所以xn=，

1=1+𝑛−11+2𝑛−121数列{xn}的通项公式为𝑥𝑛=1𝑛−1+1，𝑛∈𝑁∗．所以A正确；

211当n＝1时，x1=2，选项B，𝑥1+𝑥2+⋯+𝑥𝑛＜3𝑛−6，可得x1＜2，与已知条件矛盾，故B不正确；

数列{an}为等差数列，a1+a2+a3+a4+a5+a6＝﹣6，可得a1+a6＝﹣2，a1＝﹣2﹣a6，a2＝﹣2﹣a5，a3＝﹣2﹣a4，

函数𝑓(𝑥)=𝑥+1，可得f（﹣x﹣2）+𝑓(𝑥)=𝑥+1+−𝑥−2+1=𝑥+1+𝑥+1=4，

则f（a1）+f（a2）+⋯+f（a6）＝12，正确；

要证明𝑥1⋅𝑥2⋅𝑥3⋯𝑥𝑛+1＞2𝑒，只需要证明即证明(1+即(1+11𝑥1𝑥2⋅⋅⋅𝑥𝑛+12𝑥2𝑥1(−𝑥−2)2𝑥2(𝑥+2)＜2𝑒，

1111111)(1+)⋅⋅⋅(1+)＜2𝑒，也就是(1+)(1+)⋅⋅⋅(1+)＜𝑒，

𝑛012220212𝑛22111111)(1+)⋅⋅⋅(1+)＜𝑒，即证明ln[(1+)(1+)⋅⋅⋅(1+𝑛𝑛)]＜1．

111111𝑛，可得𝑙𝑛(1+𝑛)＜𝑛，所以ln[(1+1)(1+2)⋅⋅⋅(1+𝑛)]＝ln（1+2）222222因为ln（x+1）＜x，令𝑥=112(1−2𝑛)111111+ln（1+2）+•+ln（1+𝑛）＜2+2+⋅⋅⋅+𝑛==1−𝑛＜1．所以D正确．

12221−222故选：ACD．

三、填空题（本题共4小题，每小题5分，共20分。）

第10页（共18页）

13．已知𝛼+𝛽=𝜋，𝛼，𝛽均为锐角，则（1+tanα）（1+tanβ）＝ 2 ．

4𝜋解：∵𝛼+𝛽=4，𝛼，𝛽均为锐角，

∴tan（α+β）=𝑡𝑎𝑛𝛼+𝑡𝑎𝑛𝛽=1，

1−𝑡𝑎𝑛𝛼𝑡𝑎𝑛𝛽∴tanα+tanβ＝1﹣tanαtanβ，

∴tanα+tanβ+tanαtanβ＝1，

∴（1+tanα）（1+tanβ）＝1+tanα+tanβ+tanαtanβ＝1+1＝2．

故答案为：2．

14．已知向量𝑎，𝑏不共线，且向量𝜆𝑎+𝑏与𝑎+(2𝜆−1)𝑏的方向相反，则实数λ的值为 −2 ．

解：设𝜆𝑎+𝑏=μ[𝑎+(2𝜆−1)𝑏]=𝜇𝑎+𝜇(2𝜆−1)𝑏，

因为𝑎，𝑏不共线，故λ＝μ，1＝μ（2λ﹣1），联立解得λ＝1（舍），或−2，易知𝜆=−2时符合题意．

故答案为：−．

15．若项数为n的数列{an}满足：ai＝an+1﹣i（i＝1，2，3⋯n）我们称其为n项的“对称数列”．例如：数列1，2，2，1为4项的“对称数列”；数列1，2，3，2，1为5项的“对称数列”．设数列{cn}为2k﹣1（k≥2）项的“对称数列”，其中c1，c2，c3，…，ck是公差为2的等差数列，数列{cn}的最大项等于8．记数列{cn}的前2k﹣1项和为S2k﹣1，若S2k﹣1＝32，则k＝ 4或5 ．

解：由题意知，ck＝8，

所以c1，c2，c3，⋯，ck是以8为末项，2为公差的等差数列，

由ck＝c1+（k﹣1）×2＝8，得c1＝10﹣2k，

所以c1+c2+c3+⋯+ck=因为S2k﹣1＝32，

所以S2k﹣1＝c1+c2+c3+⋯+ck+…+c2k﹣1＝2（c1+c2+c3+⋯+ck）﹣ck＝2k（9﹣k）﹣8＝32，即k2﹣9k+20＝0，

解得k＝4或5．

故答案为：4或5．

16．若不等式sinx﹣ln（x+1）+ex≥1+x+ax2−3x3恒成立，则a的取值范围为 （﹣∞，1] ．

解：原不等式可转化为𝑠𝑖𝑛𝑥−𝑙𝑛(𝑥+1)+𝑒𝑥−1−𝑥−𝑎𝑥2+3𝑥3≥0，

设𝑓(𝑥)=𝑠𝑖𝑛𝑥−𝑙𝑛(𝑥+1)+𝑒𝑥−1−𝑥−𝑎𝑥2+3𝑥3，x＞﹣1，则𝑓′(𝑥)=𝑐𝑜𝑠𝑥−𝑥+1+𝑒𝑥−1−2𝑎𝑥+𝑥2，

第11页（共18页）

→→→→→→1→→→→→→→→1112(𝑐1+𝑐𝑘)⋅𝑘=k（9﹣k），

21111

𝑓″(𝑥)=−𝑠𝑖𝑛𝑥+𝑓(4)(𝑥)=𝑠𝑖𝑛𝑥+16(𝑥+1)4𝑥2+𝑒−2𝑎+2𝑥，𝑓″′(𝑥)=−𝑐𝑜𝑠𝑥−2(𝑥+1)3+𝑒𝑥+2，

(𝑥+1)+𝑒𝑥，

（x）＞0，由f″′（0）＝0，当f′″（x）单调递增， 显然，当x＞﹣1时，f（4）当x∈（﹣1，0），f″′（x）＜0，f″（x）单调递减，当x∈（0，+∞）时，f″′（x）＞0，f″（x）单调递增，

由f″（0）＝2﹣2a，分类讨论，

①2﹣2a≥0，即a≤1时，f″（0）≥0，即有x∈（﹣1，+∞），f″（x）≥0，此时，f′（x）单调递增，

又f′（0）＝0，故x∈（﹣1，0），f′（x）＜0，f（x）单调递减，当x∈（0，+∞）时，f′（x）＞0，f（x）单调递增，

所以当x＝0时，f（x）取得最小值，最小值为f（0）＝0，所以f（x）≥0恒成立，满足题意；

②当2﹣2a＜0时，即a＞1时，f″（0）＜0，x→+∞，f″（x）→+∞，

故存在x0＞0，且f″（x0）＝0，当x∈（﹣1，x0），f″（x）＜0，f′（x）单调递减，当x∈（x0，+∞），f″（x）＞0，f（x）单调递增，

又f′（0）＝0，故f′（x0）＜0，当x→+∞，f′（x）→+∞，故存在x1＞x0，且f′（x1）＝0，

所以，当x∈（﹣1，x1），f′（x）＜0，f（x）单调递减，当x∈（x1，+∞）时，f′（x）＞0，f（x）单调递增，

由f（0）＝0，所以f（x）＜f（0）＝0，与f（x）≥0恒成立，矛盾，

综上所述，当a≤1时，满足题意，

所以a的取值范围为（﹣∞，1]，

故答案为：（﹣∞，1]．

四、解答题（本题共6小题，共70分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。）

17．（10分）已知等差数列{an}和等比数列{bn}满足a1＝2，b2＝4，an＝2log2bn，n∈N*．

（1）求数列{an}，{bn}的通项公式；

（2）设数列{an}中不在数列{bn}中的项按从小到大的顺序构成数列{cn}，记数列{cn}的前n项和为Sn，求S50．

解：（1）由题意，设等差数列{an}的公差为d，等比数列{bn}的公比为q，

∵a1＝2，b2＝4，an＝2log2bn，

∴a2＝2log2b2＝2log24＝4，a1＝2log2b1＝2，即log2b1＝1，解得b1＝2，

∴公差d＝a2﹣a1＝4﹣2＝2，

公比q=𝑏2=2=2，

1第12页（共18页）

𝑏4

∴an＝2+2（n﹣1）＝2n，n∈N*，bn＝2•2n1＝2n，n∈N*．

﹣（2）由（1），可得𝑏𝑛=2𝑛=2⋅2𝑛−1=𝑎2𝑛−1，故bn是数列{an}中的第2n设数列{an}的前n项和为Pn，数列的前n项和为Qn，

∵b6=𝑎26−1=a32，b7=𝑎27−1=a64，

﹣1项，

∴数列{cn}的前50项是由数列{an}的前56项去掉数列{bn}的前6项后构成的，

故𝑆50(2+112)×562(1−2)=𝑃56−𝑄6=−=3066．

21−2618．（12分）在△ABC中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，且满足𝑎𝑐𝑜𝑠𝐶−√3𝑎𝑠𝑖𝑛𝐶=𝑏−2𝑐．

（1）求角A；

1→（2）已知AB＝2，AC＝6，M点为BC的中点，N点在线段AC上且|𝐴𝑁|=3|𝐴𝐶|，点P为AM与BN→的交点，求∠MPN的余弦值．

解：（1）∵𝑎𝑐𝑜𝑠𝐶−√3⋅𝑎𝑠𝑖𝑛𝐶=𝑏−2𝑐，𝑠𝑖𝑛𝐴𝑐𝑜𝑠𝐶−√3𝑠𝑖𝑛𝐴𝑠𝑖𝑛𝐶=𝑠𝑖𝑛𝐵−2𝑠𝑖𝑛𝐶=𝑠𝑖𝑛(𝐴+𝐶)−2𝑠𝑖𝑛𝐶，

化简得：2𝑠𝑖𝑛𝐶=𝑐𝑜𝑠𝐴𝑠𝑖𝑛𝐶+√3𝑠𝑖𝑛𝐴𝑠𝑖𝑛𝐶，2=𝑐𝑜𝑠𝐴+√3𝑠𝑖𝑛𝐴=2𝑠𝑖𝑛(𝐴+6)，

求得𝑠𝑖𝑛(𝐴+6)=1，∴𝐴+6=2，即𝐴=3．

（2）∵M点为BC的中点，

→1→∴𝐴𝑀=(𝐴𝐵+𝐴𝐶)，

2→→→1∵|𝐴𝑁|=3|𝐴𝐶|，𝐵𝑁=𝐴𝑁−𝐴𝐵，

→𝜋𝜋𝜋𝜋𝜋∴𝐵𝑁=𝐴𝐶−𝐴𝐵，

→→1→1→1→1→21→1→2∴𝐴𝑀⋅𝐵𝑁=(2𝐴𝐵+2𝐴𝐶)(3𝐴𝐶−𝐴𝐵)=−2𝐴𝐵−3𝐴𝐵⋅𝐴𝐶+6𝐴𝐶=2，

→→→1→2∵|𝐴𝑀|=（𝐴𝐵+𝐴𝐶）＝13，∴|𝐴𝑀|=√13，

4→→→13→→2∵|𝐵𝑁|＝（𝐴𝐶−𝐴𝐵）2＝4，∴|𝐵𝑁|＝2，

3→21→→→∴cos＜𝐴𝑀，𝐵𝑁＞=即∠MPN的余弦值为→→√132=13．

√13×2√13．

13第13页（共18页）

19．（12分）如图，在三棱柱ABC﹣A1B1C1中，AB＝AC＝AA1＝3，AB⊥AC，∠A1AB＝∠A1AC，D是棱B1C1的中点．

（1）证明：BC⊥平面A1AD；

（2）若三棱锥B1﹣A1BD的体积为98√2，求平面A1BD与平面CBB1C1的夹角θ．

（1）证明：（1）取BC中点O，连接AO，A1O，A1C，

因为AB＝AC，所以AO⊥BC，

因为∠A1AB＝∠A1AC，AB＝AC，AA1＝AA1，所以△A1AB＝△A1AC，

所以A1B＝A1C，所以A1O⊥BC，

因为AO∩A1O＝O，AO，A1O⊂平面A1AOD，

所以BC⊥平面A1AOD，即BC⊥平面A1AD．

（2）解：连接OD，

由（1）知，BC⊥平面AA1DO，因为BC⊂平面ABC，且BC⊂平面BCC1B1，

第14页（共18页）

故平面AA1DO⊥平面ABC，平面AA1DO⊥平面BCC1B1，

过O作OM⊥A1D于M，则OM⊥平面ABC，过A1作A1H⊥OD于H，则A1H⊥平面BCC1B1，

因为DO∥BB1∥AA1知，DO⊥BC，

在△ABC中，𝐴𝐵=𝐴𝐶=𝐴1𝐴=3，𝐵𝐶=3√2，

所以𝑆△𝐵𝐷𝐵1=2𝐷𝐵1⋅𝐷𝑂=4√2，

由等体积法，𝑉𝐵1−𝐴1𝐵𝐷=𝑉𝐴1−𝐵𝐷𝐵1=3𝑆△𝐵𝐷𝐵1⋅𝐴1𝐻=8√2，

所以𝐴1𝐻=，

过H做HE⊥BD，连接A1E，

因为A1H⊥面 BCC1B1，BD⊂平面 BCC1B1，所以AlH⊥DB，

又因为A1H∩HE＝H，AlH，HE⊂平面A1HE，所以DB⊥平面AlHE，

又A1E⊂平面A1HE，所以A1E⊥BD，

所以∠A1EH 即为所求二面角的平面角，

在Rt△A1DH中，𝐴1𝐻=2，𝐴1𝐷=2，则𝐷𝐻=2，

在Rt△DOB中，𝑂𝐷=3，𝑂𝐵=2，𝐷𝐵=2，

由Rt△DEH 与Rt△DOB相似可得：𝐻𝐸𝑂𝐵3√23√633√23321919=𝐷𝐻𝐷𝐵，所以𝐻𝐸=√3，

2则𝐴1𝐸=√𝐴1𝐻2+𝐻𝐸2=√3，所以𝑐𝑜𝑠∠𝐴1𝐸𝐻=即平面A1BD与平面CBB1C1的夹角为．

3𝜋𝐻𝐸1𝜋=，所以∠𝐴1𝐸𝐻=，

𝐴1𝐸2320．（12分）在一次数学随堂小测验中，有单项选择题和多项选择题两种．单项选择题，每道题四个选项中仅有一个正确，选择正确得5分，选择错误得0分；多项选择题，每道题四个选项中有两个或三个选项正确，全部选对得5分，部分选对得2分，有选择错误的得0分．

（1）小明同学在这次测验中，如果不知道单项选择题的答案就随机猜测．已知小明知道单项选择题的正确答案和随机猜测的概率都是．问小明在做某道单项选择题时，在该道题做对的条件下，求他知道21这道单项选择题正确答案的概率；

（2）小明同学在做多选题时，选择一个选项的概率为，选择两个选项的概率为，选择三个选项的概5522率为．已知某个多项选择题有三个选项是正确的，小明在完全不知道四个选项正误的情况下，只好根51据自己的经验随机选择，记小明做这道多项选择题所得的分数为X，求X的分布列及数学期望．

解析：（1）设事件A为“题回答正确”，事件B为“知道正确答案”，

第15页（共18页）

则𝑃(𝐴)=𝑃(𝐵)𝑃(𝐴|𝐵)+𝑃(𝐵)𝑃(𝐴|𝐵)=2×1+2×4=8，

1𝑃(𝐴𝐵)𝑃(𝐵)𝑃(𝐴|𝐵)2×14所以𝑃(𝐵|𝐴)=𝑃(𝐴)==5=5．

𝑃(𝐴)81115（2）设事件Ai表示小明选择了i个选项，事件C表示选择的选项是正确的，

232𝐶1则𝑃(𝑋=2)=𝑃(𝐴1𝐶)+𝑃(𝐴2𝐶)=5×4+5×32=2，

𝐶42𝑃(𝑋=5)=𝑃(𝐴3𝐶)=5×1113=20，

𝐶49，

20𝑃(𝑋=0)=1−𝑃(𝑋=2)−𝑃(𝑋=5)=随机变量X的分布列如下：

X

P

110

92

5125

120

20

∴𝐸(𝑋)=2×2+20×5=4．

21．（12分）设点P为圆C：x2+y2＝4上的动点，过点P作x轴垂线，垂足为点Q，动点M满足2𝑀𝑄=√3𝑃𝑄（点P、Q不重合）

（1）求动点M的轨迹方程E；

（2）若过点T（4，0）的动直线与轨迹E交于A、B两点，定点N为(1，2)，直线NA的斜率为k1，直线NB的斜率为k2，试判断k1+k2是否为定值．若是，求出该定值；若不是，请说明理由．

解：（1）设点P为（x0，y0），动点M为（x，y），则Q点为（x0，0），

𝑀𝑄=(𝑥0−𝑥，−𝑦)，𝑃𝑄=(0，−𝑦0)，且点M满足2𝑀𝑄=√3𝑃𝑄，

所以2（x0﹣x，﹣y）=√3（0，﹣y0），

𝑥0=𝑥2𝑥0−2𝑥=0所以{，解得{𝑦=2𝑦，

0−2𝑦=−√3𝑦0√3又因为𝑥0+𝑦022→→→→→→3𝑥2𝑦242=4，所以x+3y＝4，即点M的轨迹方程为：+=1(𝑦≠0)．

432（2）设直线AB的方程为：x＝my+4，

𝑥=𝑚𝑦+4则{𝑥2𝑦2，消去x，整理得（3m2+4）y2+24my+36＝0，

+3=14因为Δ＝（24m）2﹣4×36（3m2+4）＞0，解得m＞2或m＜﹣2；

设A点（x1，y1），B点（x2，y2），则𝑦1+𝑦2=−24𝑚36，𝑦1⋅𝑦2=；

23𝑚+43𝑚2+4第16页（共18页）

所以𝑚𝑦1𝑦2=−(𝑦1+𝑦2)，

所以𝑦1−3𝑦2−32𝑚𝑦1𝑦2+(3−3−3222𝑚)(𝑦1+𝑦2)−92𝑚(𝑦1+𝑦2)−9𝑘1+𝑘2=+===𝑚𝑦1+3𝑚𝑦2+3𝑚2𝑦1𝑦2+3𝑚(𝑦1+𝑦2)+9−3𝑚(𝑦+𝑦)+3𝑚(𝑦+𝑦)+91212232−32𝑚(𝑦1+𝑦2)−932𝑚(𝑦1+𝑦2)+9=−1，

所以k1+k2的值为定值，是定值﹣1．

22．（12分）已知函数f（x）＝asin（1﹣x）+lnx，a∈R．

（1）讨论函数f（x）在x∈（0，1）上的单调性；

（2）证明：𝑠𝑖𝑛1111111+𝑠𝑖𝑛+𝑠𝑖𝑛+⋯+𝑠𝑖𝑛＜𝑙𝑛2+(+)．

22222𝑛+1𝑛234(1+𝑛)11−𝑎𝑥𝑐𝑜𝑠(1−𝑥)，0＜𝑥＜1，

𝑥解：（1）𝑓′(𝑥)=−𝑎𝑐𝑜𝑠(1−𝑥)+𝑥=∵0＜x＜1，∴cos（1﹣x）＞0，

当a≤0时，∵0＜x＜1，∴f'（x）＞0，

此时f（x）在（0，1）内单调递增；

当0＜a≤1时，∵0＜x＜1，∴0＜cos（1﹣x）＜1，f'（x）＞0，

此时f（x）在（0，1）内单调递增；

当a＞1时，令h（x）＝1﹣axcos（1﹣x），

0＜x＜1，h'（x）＝﹣a[cos（1﹣x）+xsin（1﹣x）]，

∵a＞1，cos（1﹣x）＞0，sin（1﹣x）＞0，

∴h'（x）＜0，∴h（x）在（0，1）上为减函数．

又∵h（0）＝1＞0，h（1）＝1﹣a＜0，

∴h（x）在（0，1）上存在唯一零点，使得h（x0）＝1﹣ax0cos（1﹣x0）＝0，

∴当x∈（0，x0），h（x）＞0，f′（x）＜0，f（x）递增；

当时h（x）＜0，f'（x）＜0，f（x）递减，

综上：当a≤1时，此时f（x）在（0，1）内单调递增；

当a＞1时，当x∈（0，x0）时，h（x）＞0，f'（x）＞0，f（x）递增；

当x∈（x0，1）时，h（x）＞0．f′（x）＜0，f（x）递减，

其中为方程ax0cos（1﹣x0）＝1的根；

（2）证明：由（1）知当a＝1时，f（x）＝sin（1﹣x）+lnx在区间（0，1）上单调递增，

则f（x）＜f（1）＝0，即𝑠𝑖𝑛(1−𝑥)＜−𝑙𝑛𝑥=𝑙𝑛(0＜𝑥＜1)，

(1+𝑛)所以𝑠𝑖𝑛=𝑠𝑖𝑛[1−]＜𝑙𝑛，𝑛∈𝑁∗，

22𝑛(𝑛+2)(1+𝑛)(1+𝑛)第17页（共18页）

1𝑥1𝑛2+2𝑛2

因此1111234(𝑛+1)𝑛+1𝑠𝑖𝑛2+𝑠𝑖𝑛2+𝑠𝑖𝑛2+⋯⋯+𝑠𝑖𝑛2＜𝑙𝑛[1×3×2×4×3×5×⋯×𝑛(𝑛+2)]=𝑙𝑛(𝑛+2×234(1+𝑛)𝑛+11𝑛+122222)=𝑙𝑛2+𝑙𝑛𝑛+2＜𝑙𝑛2+𝑙𝑛𝑛，

令𝑔(𝑥)=𝑙𝑛𝑥−2(𝑥−𝑥)，𝑥＞1，则𝑔′(𝑥)=𝑥−2(1+2𝑥−𝑥2−1(𝑥2−2𝑥+1)(𝑥−1)∵𝑔′(𝑥)==−=−＜0，

222𝑥2𝑥2𝑥221111)，

𝑥2∴g（x）在x＞0上为减函数，

∵x＞1∴g（x）＜g（1）＝0，即𝑙𝑛𝑥＜2(𝑥−𝑥)，𝑥∈(1，+∞)上恒成立，

∴𝑙𝑛2+𝑙𝑛故得证．

𝑛+1𝑛+11𝑛+1𝑛111＜𝑙𝑛2+𝑙𝑛＜𝑙𝑛2+(−)=𝑙𝑛2+(+)，

𝑛+2𝑛2𝑛𝑛+12𝑛𝑛+111第18页（共18页）