光学第2章

2023年12月30日发(作者：鞋子好评语)

第二章 理想光学系统

2－1 作图：

（1）作轴上实物点A的像A

（2）作轴上虚物点A的像A

（3）作垂轴实物AB的像AB

（4）作垂轴虚物AB的像AB

（5）画出焦点F、F的位置

（6）画出焦点F、F的位置

2－2 单透镜成像时，若其共轭距（物与像之间距离）为250mm，求下列情况透镜焦距：

1；（3）虚物，4。

4l 解：（1）实物成像时，由题意：ll250 又∵4

l ∴l50mm

l200mm

（1） 实物，4；（2）实物， 由单透镜高斯公式：111

llf 得单透镜的焦距为：f40mm

（2）实物成像时，由题意：ll250 又∵ ∴l200mm

l50mm

由单透镜高斯公式：l1

l4111

llf 得单透镜的焦距为：f40mm

（3）虚物成像时，由题意：ll250 又∵ ∴l50mm

l200mm

由单透镜高斯公式：l4

l111

llf 得单透镜的焦距为：f40mm

2－3 有一薄正透镜对某一实物成一倒立实像，像高为物高的一半，今将物向透镜移近100mm，则所得的像与物同样大小，求该薄正透镜的焦距。

解：物体未移动时，由题意： 移动后：11f

2xf

x100 解之得：f100mm

x200mm

2－4 一个薄透镜对某一物体成实像，放大率为－1，今以另一透镜紧贴在第一透镜上，则见像向透镜方向移动20mm，放大率为原先的3/4倍，求两块透镜的焦距。

解：单透镜成像时：l1

ll203

l4 解之得：l80mm

l80mm

组合透镜成像时，由题意： 对于单透镜成像，设其焦距为f1，则有高斯公式： 求得第一块透镜的焦距为：f140mm

对于组合透镜成像，设组合焦距为f，则有高斯公式：111

llf1111

l20lf 求得组合透镜的焦距为：f240mm

7 ∵两透镜紧贴，设第二块透镜的焦距为f2，则：f1f2

ff1f2 ∴

1f211

ff1 ∴第二块透镜的焦距为：f2240mm

2－5 一透镜对无限远处和物方焦点前5m处的物体成像时，二像的轴向间距为3mm，求透镜的焦距。

解：透镜对无穷远处物体成像，像点位于像方焦点处。

由牛顿公式：xxf得：

f

2－6 有一理想光学系统位于空气中，其光焦度为50D，当焦物距x＝－180mm，物高y＝60mm时，试分别用牛顿公式和高斯公式求像的位置和大小，以及轴向放大率和角放大2xx(5000)3122.5mm

率。

解：由题意，系统的焦距为：f10.02m20mm

则物距为：lxf18020200mm

由牛顿公式得焦像距和垂轴放大率分别为：

xff20202.22mm

x180x2.220.111

f20

 由高斯公式得像距、垂轴放大率分别为：

llf2002022.22mm

lf20020

l22.20.111

l200 ∴像高为：yy0.111606.66 mm

轴向放大率为：0.123

角放大率为：

2－7 已知物象之间共轭距离为625mm，1/4，现欲使4，而共轭距离不变，试求透镜的焦距及透镜向物体移动的距离。（透镜位于空气中）

29

l1

l4 解得：l500mm

l125mm

ld 设透镜向物体移动的距离为d，则：4

ld ∴d375mm

ll(500)125 焦距为：f100mm

ll500125 解：由题意：

ll625



2－8 已知一透镜r120.5mm，r215.8mm，d10.8mm，n1.61，求其焦距、光焦度、基点位置。

解：f1nr11.6120.554.1mm

n11.611

f2nr2r1.6115.815.841.7mm

f2225.9mm

n11.611n11.611df1f210.854.141.71.6mm

f1f254.1(25.9)875.7mm ∴透镜的焦距为：f1.6 光焦度：111.142D

f0.8757df1)875.7(110.8)700.88mm

54.1 焦点位置：lFf(1

lFf(1d10.8)875.7(1)1102.5mm

f241.7df1875.710.8174.82mm

54.1 主平面位置：lHf

lHf

d10.8875.7226.8mm

f241.72－9 一薄透镜f1200mm和另一薄透镜f250mm组合，组合焦距为100mm，求两透镜的相对位置和组合的主点位置。

f1f220050 解：∵f ∴100

250df1f2d∴两透镜间的距离为：d150mm

组合后的主点位置：lHfdf1d10015075mm

200150300mm

50

lHff2100

2－10 一薄透镜由5D和－10D的两个薄透镜组成，两者间距为50mm，求组合系统的光焦度和主点位置，若把两透镜顺序颠倒，再求其光焦度和主点位置。

解：当光焦度为5D的薄透镜放在前面时，组合系统的光焦度为：

12d125100.055(10)2.5D

主点位置：lHfdf1dd1d2505100mm

2.510200mm

2.5lHff250 当光焦度为－10D的薄透镜放在前面时，组合系统的光焦度仍为－2.5D

主点位置：lHd15010200mm

2.5lH

d2505100mm

2.52－11 有三个透镜，f1100mm，f250mm，f350mm，其间隔d110mm，d210mm，设该系统处于空气中，求组合系统的像方焦距。

解：设h1100mm，u10，则：

100htanu111tanu2

100f1h2h1d1tanu110010190mm

h90tanu2tanu2212.8tanu3

50f2h3h2d2tanu290102.862mm

h62tanu3tanu332.81.56

50f3∴组合系统的像方焦距为：fh1tanu310064.1mm

1.562－12一个三片型望远镜系统，已知f1100mm，f2250mm，f3800mm，入射平行光在三个透镜上的高度分别为：h11.5mm，h21mm，h30.9mm，试求合成焦距和d1、d2的值。

解：∵1hh2110.912330.0080833

h1h11001.5(250)1.5800mm

∴合成焦距为：f1123.71mm

u1

tanh11.50.015tanu2

100f1 ∴d1h1h21.5133.33mm

0.015tanu1h210.0150.011

250f2

tanu2tanu2∴d2h2h310.99.091mm

0.011tanu2

2－13 一球形透镜，直径为40mm，折射率为1.5，求其焦距和主点位置。

解：对于直径为40mm的球形透镜，两个折射面的半径分别为20mm和－20mm，厚度d为40mm，则：

f1nr11.52060mm

n11.51nr2r1.5(20)2060mm

f2240mm

n11.51n11.51f2df1f240606080mm

f1f2604030mm ∴透镜的焦距为：f80 主平面位置：lHfdf1304020mm

60

lHf

d403020mm

f2602－14 有一双薄镜系统，f1100mm，f250mm，要求总长度（第一透镜至系统像方焦点的距离）为系统焦距的0.7倍，求两透镜的间隔和系统的焦距。

解：第一透镜至系统像方焦点的距离为：dlF

则由题意：dlF0.7f



∴df(1df1)0.7f ∴df(df10.3)

f1f2 ∵f

df1f2 上两式联立求解得：d81.62mm，f158.1mm

或d18.375mm，f158.1mm

由题意，f应为正值，故两透镜的间隔和系统的焦距为：d81.62mm，f158.1mm

2－15 由两个同心的反射球面（两球面的球心重合）构成的光学系统，按照光线的反射顺序第一个反射球面是凹面，第二个反射球面是凸面，要求系统的像方焦点恰好位于第一个反射球面的顶点，若两球面间隔为d，求两球面的半径和组合焦距。

解：由题意，两个同心的反射球面如图所示，且：lFd，r1r2d

对于反射球面：f1f1r1r

f2f22

22∵lFf1f2ddf(1)(1)

f1df1f2f1∴r1r22d(1)d

2(2dr1r2)r1将r1r2d代入上式可求得：r13d

∴r2r1d2d

组合焦距为：

3ddf1f22f3d

3ddf1f2dd2

2－16 已知物点A离透镜的距离l1为30mm，透镜的通光口径D1为30mm，在透镜后10mm处有一光孔，其直径D2为22mm，像点A离透镜的距离l160mm，试求这个系统的孔径光阑、入瞳和出瞳。

解：由高斯公式，得透镜焦距为：fl1l160(30)20mm

l1l13060

光孔D2对前面透镜成像，即已知l210mm，则物距为：

l2fl2102020mm

2010fl2则光孔D2对前面透镜成像D2为：

D2D2l2222044mm

10l2∴D1和D2对轴上物点A的夹角分别为：

u1arctanD130arctan26.565

2(l1)230D244

u2arctanarctan23.749

2(l1l2)250 ∵u2u1

∴D2是入瞳，相应光孔D2为孔径光阑，它被后面透镜成像为出瞳，因为其后没有透镜，所以出瞳与光孔D2重合。

2－17 有一物镜焦距f100mm，其框直径D240mm，在它前面50mm处有一光孔，直径D1为35mm，问物点在－500mm和－300mm时，是否都是由同一光孔起孔径光阑作用？相应的入瞳和出瞳的位置和大小如何？

解：光孔和透镜前都不再有透镜，因此它们在物方空间的像与各自本身重合。

当l500mm时，光孔1和物镜2对物点的张角分别为：

u1arctanD135arctan2.227

2(ld)2(50050)D240arctan2.29

2l2500

u2arctan∵u2u1 ∴光孔1是孔径光阑也是入瞳，光孔对后面的透镜成像得其出瞳位置：

l1fl1100(50)100mm

fl110050

D1l135(100)70mm 相应的出瞳直径为：D1l150当l300mm时，光孔1和物镜2对物点的张角分别为：

u1arctanD135arctan4.004

2(ld)2(30050)D240arctan3.814

2l2300

u2arctan∵u2u1 ∴透镜内孔为孔径光阑，而且也是入瞳和出瞳。

2－18 将一个f40mm，直径D130mm的薄透镜做成放大镜，眼瞳2放在透镜像方焦点上，眼瞳直径D24mm，物面放在透镜物方焦点上，试问：

（1） 哪一个是孔径光阑，哪一个是视场光阑？

（2） 入瞳在哪里？物方半视场角等于多少？

（3） 入射窗在哪里？视场边缘是否有渐晕？视场线等于多少？

解：（1）如图，由于眼瞳2放在透镜像方焦点上，物面放在透镜物方焦点上，则透镜1和眼瞳2对物点的张角分别为：

u1arctanD130arctan20.56

2f240D24arctan2.86

2f240

u2arctan∵u2u1 ∴眼瞳是孔径光阑。由于系统只有两个光孔，所以其中之一为孔径光阑，则另一必为视场光阑，据此可知透镜框为视场光阑。

（2）∵孔径光阑在透镜的像方焦平面上

∴入瞳在物空间无限远处，物方半视场角：u22.86

（3）∵视场光阑是透镜，在其前面没有成像透镜，所以透镜既是入射窗。

且由于入射窗与物面不重合，所以视场边缘有渐晕，线视场直径为：

DD1D230426mm

2－19 现有一照相机，其物镜f40mm，现以常摄距离p3m进行拍摄，相对孔径分别采用1/3.5和1/22，试分别求其景深。

解：DfD1＝1/3.5时

2aDf21.43mm

f1.354ap2221.43300020.00029243.98mm 则景深为：2222224ap21.4330000.00029D1＝1/22时

2aDf3.41mm

f224ap223.41300020.000291637.37mm 则景深为：2222224ap3.4130000.00029