三角形边的三等分线分割面积问题证明探究

2023年12月10日发(作者：红烧鸭腿)

三角形边的三等分线分割面积问题证明探究

在几何学里，三角形是一个有趣的主题。它象征着鼓励我们去探索和挑战自己，也可以唤起读者对数学知识的好奇心和兴趣。那么，如何在三角形中寻找三条等分线，用它们以半分的形式将三角形的面积分割？今天，我们就来探究一下如何证明这一特定问题。

一、 问题背景

1.三角形面积分割问题

1.三角形面积分割问题：

给定一个三角形ABC，假设将它的边AB的一个点D等分成两等分（即DB：BD=1：1），将CD以D分割成两等分（即DC：CD=1：1），求三角形ABC面积的分割比例。

此问题一般称为三角形面积分割问题，可以通过以下步骤来求解：

（1） 连结CD，于AB上作AE，与CD平行，得到三角形ADE。

（2） 将三角形ADE分割成两个子三角形ABC，ADC，设这两个三角形的面积分别为S1，S2。

（3） 由三角形三条边的分割比计算出两个三角形的面积比为r：r＝（AD：AE）＊（DC：CD）＝2：3

（4） 可知S1：S2＝r：（1－r）＝2：1，也就是说三角形ABC的面积比为2：1。

2.三角形边的三等分线

三角形边的三等分线是指，在三角形中，从某边的一点引出一条直线，将该边分割成三等份，其中每两个等份之间的点称为三角形边的三等分点。 由此可见，它是一条连接三角形的三个顶点的虚线。因此，三角形中的三等分线可以将三角形分成四个小三角形，小三角形的各边与原大三角形的边成比例。

另外，三角形的三等分线经常被用来构建一系列的三角形，如等腰三角形、直角三角形等。比如，用三角形的三等分线将一个正三角形分成三个等腰三角形；将一个等腰三角形分割成一个钝角三角形和两个直角三角形等。

二、最优解决方案

1.三角形边的三等分线能给面积分割带来最优解决方案

三角形边的三等分线可以把整个三角形分割成三个小三角形，而每一个小三角形的面积比原来的大三角形的面积都小。这样，在分割三角形的面积时，利用三等分线分割可以得到更优的解决方案。

以普通三角形AB，AC，BC为例，假设其面积为S，其中AB的中点为D，AC的中点为E，BC的中点为F，则三等分线DF，AE，BF可以把三角形分割成三个小三角形ADF，AEF，BDF，它们的面积分别为S1，S2，S3，且有S = S1 + S2 + S3，即原三角形面积等于三个小三角形面积之和，这样，S1，S2，S3的和比S小，因此三等分线可以给三角形的面积分割提供最优解决方案。