轨迹方程的 几种求法整理(例题+答案)

2023年12月3日发(作者：风诗句)

轨迹方程的六种求法整理

求轨迹方程是高考中常见的一类问题.本文对曲线方程轨迹的求法做一归纳，供同学们参考.

求轨迹方程的一般方法：

1. 直译法：如果动点P的运动规律是否合乎我们熟知的某些曲线的定义难以判断，但点P满足的等量关系易于建立，则可以先表示出点P所满足的几何上的等量关系，再用点P的坐标（x，y）表示该等量关系式，即可得到轨迹方程。

2. 定义法：如果动点P的运动规律合乎我们已知的某种曲线（如圆、椭圆、双曲线、抛物线）的定义，则可先设出轨迹方程，再根据已知条件，待定方程中的常数，即可得到轨迹方程

3. 参数法：如果采用直译法求轨迹方程难以奏效，则可寻求引发动点P运动的某个几何量t，以此量作为参变数，分别建立P点坐标x，y与该参数t的函数关系x＝f（t）， y＝g（t），进而通过消参化为轨迹的普通方程F（x，y）＝0。

4. 代入法（相关点法）：如果动点P的运动是由另外某一点P'的运动引发的，而该点的运动规律已知，（该点坐标满足某已知曲线方程），则可以设出P（x，y），用（x，y）表示出相关点P'的坐标，然后把P'的坐标代入已知曲线方程，即可得到动点P的轨迹方程。

5. 交轨法：在求动点轨迹时，有时会出现要求两动曲线交点的轨迹问题，这种问题通常通过解方程组得出交点（含参数）的坐标，再消去参数求得所求的轨迹方程（若能直接消去两方程的参数，也可直接消去参数得到轨迹方程），该法经常与参数法并用。

6. 待定系数法：已知曲线是圆，椭圆，抛物线，双曲线等

一、直接法

把题目中的等量关系直接转化为关于x,y,的方程基本步骤是：建系。设点。列式。化简。说明等，圆锥曲线标准方程的推导。

·PBx2，求点P的轨迹。y2x6， 1. 已知点A(2，，0)B(3，0)，动点P(x，y)满足PA2. 2.已知点B（－1，0），C（1，0），P是平面上一动点，且满足|PC||BC|PBCB.

（1）求点P的轨迹C对应的方程；

（2）已知点A（m,2）在曲线C上，过点A作曲线C的两条弦AD和AE，且AD⊥AE，判断：直线DE是否过定点？试证明你的结论.

（3）已知点A（m,2）在曲线C上，过点A作曲线C的两条弦AD，AE，且AD，AE的斜率k1、k2满足k1·k2=2.求证：直线DE过定点，并求出这个定点.

解：（1）设P(x,y)代入|PC||BC|PBCB得 二、定义法

(x1)2y21x,化简得y24x.

利用所学过的圆的定义、椭圆的定义、双曲线的定义、抛物线的定义直接写出所求的动点的轨迹方程，这种方法叫做定义法．这种方法要求题设中有定点与定直线及两定点距离之和或差为定值的条件，或利用平面几何知识分析得出这些条件．

1、 若动圆与圆(x2)y4外切且与直线x=2相切，则动圆圆心的轨迹22方程是

1 解：如图，设动圆圆心为M，由题意，动点M到定圆圆心（－2，0）的距离等于它到定直线x=4的距离，故所求轨迹是以（－2，0）为焦点，直线x=4为准线的抛物线，并且p=6，顶点是（1，0），开口向左，所以方程是y12(x1)．选（B）．

2、一动圆与两圆xy1和xy8x120都外切，则动圆圆心轨迹为

22222MOr1,解：如图，设动圆圆心为M，半径为r，则有MCr2,动点M到两定点的距离之差MCMO1.为1，由双曲线定义知，其轨迹是以O、C为焦点的双曲线的左支

3、在△ABC中，BC24，AC，AB上的两条中线长度之和为39，求△ABC的重心的轨迹方程．

解：以线段BC所在直线为x轴，线段BC的中垂线为y轴建立直角坐标系，如图1，M2为重心，则有BMCM3926．

3

∴M点的轨迹是以B，C为焦点的椭圆，

其中c12，a13．∴ba2c25．

x2y2

∴所求△ABC的重心的轨迹方程为1(y0)．

16925注意：求轨迹方程时要注意轨迹的纯粹性与完备性.

22

4、设Q是圆x+y=4上动点另点A（3。0）。线段AQ的垂直平分线l交半径OQ于点P(见图2－45)，当Q点在圆周上运动时，求点P的轨迹方程．

解：连接PA ∵l⊥PQ，∴|PA|=|PQ|．又P在半径OQ上．∴|PO|+|PQ|=2．

由椭圆定义可知：P点轨迹是以O、A为焦点的椭圆．

2 5、已知ΔABC中，A,B,C所对应的边为a,b,c,且a>c>b,a,c,b成等差数列，|AB|=2,求顶点C的轨迹方程

解：|BC|+|CA|=4>2,由椭圆的定义可知，点C的轨迹是以A、B为焦点的椭圆，其长轴为4，焦距为2, 短轴长为23,

x2y21,

∴椭圆方程为43又a>b, ∴点C在y轴左侧，必有x<0,而C点在x轴上时不能构成三角形，故x≠─2,

x2y21(─2

6、一动圆与圆xy6x50外切，同时与圆xy6x910内切，求动圆圆心M的轨迹方程，并说明它是什么样的曲线。

解析：（法一）设动圆圆心为M(x,y)，半径为R，设已知圆的圆心分别为O1、O2，

将圆方程分别配方得：(x3)y4，(x3)y100，

当①

当②

将①②两式的两边分别相加，得|O1M||O2M|12，

即③

移项再两边分别平方得：

22222222M与O1相切时，有|O1M|R2

M与O2相切时，有|O2M|10R

y

P

O2

x

(x3)2y2(x3)2y212

O1

2(x3)2y212x ④

两边再平方得：3x4y1080，

22x2y21， 整理得3627x2y21，轨迹是椭圆。 所以，动圆圆心的轨迹方程是3627（法二）由解法一可得方程(x3)y(x3)y12，

由以上方程知，动圆圆心M(x,y)到点O1(3,0)和O2(3,0)的距离和是常数12，所以点M的轨迹是焦点为O1(3,0)、O2(3,0)，长轴长等于12的椭圆，并且椭圆的中心在坐标原点，焦点在x轴上，

∴2c6，2a12，∴c3，a6，

∴b36927，

22222x2y21。 ∴圆心轨迹方程为3627

3 三、相关点法

此方法适用于动点随已知曲线上点的变化而变化的轨迹问题.

若动点P(x，y)随已知曲线上的点Q(x0，y0)的变动而变动，且x0、y0可用x、y表示，则将Q点坐标表达式代入已知曲线方程，即得点P的轨迹方程．这种方法称为相关点法(或代换法)．

1、已知抛物线y2=x+1，定点A(3，1)、B为抛物线上任意一点，点P在线段AB上，且有BP∶PA=1∶2，当B点在抛物线上变动时，求点P的轨迹方程．

分析解：设点P(x，y)，且设点B(x0，y0)∵BP∶PA=1∶2，且P为线段AB的内分点．

x2y21有动点P，F1,F2是曲线的两个焦点，求PF1F2的重心M的轨2、双曲线9迹方程。

解：设P,M点坐标各为P(x1,y1),M(x,y)，∴在已知双曲线方程中a3,b1，∴c9110

∴已知双曲线两焦点为F1(10,0),F2(10,0)，

∵PF1F2存在，∴y10

x1(10)10xx13x3由三角形重心坐标公式有，即 。

y3y1yy1003∵y10，∴y0。

(3x)2(3y)21(y0) 3、已知点P在双曲线上，将上面结果代入已知曲线方程，有94 即所求重心M的轨迹方程为：x9y1(y0)。

22x22y＝1上一动点，O为坐标原点，M为线段OP4、（2001上海，3）设P为双曲线4的中点，则点M的轨迹方程是 。

解析：设P（x0，y0） ∴M（x，y）

x0y04x2,y ∴2x＝x0，2y＝y0∴∴x－4y2＝1x2－4y2＝1

422

5、已知△ABC的顶点B(3，，0)C(1，0)，顶点A在抛物线yx2上运动，求△ABC的重心G的轨迹方程．

31x0x，x3x2，

①03 解：设G(x，y)，A(x0，y0)，由重心公式，得

∴yy0，y03y． ②32 又∵A(x0，y0)在抛物线yx2上，∴y0x0． ③

将①，②代入③，得3y(3x2)2(y0)，

4 即所求曲线方程是y3x24x(y0)．

3 四、参数法

如果不易直接找出动点的坐标之间的关系，可考虑借助中间变量（参数），把x，y联系起来．若动点P（x，y）的坐标x与y之间的关系不易直接找到，而动点变化受到另一变量的制约，则可求出x、y关于另一变量的参数方程，再化为普通方程．

OP1、已知线段AA2a，直线l垂直平分AA于O，在l上取两点P，P，使有向线段OP，·OP4，求直线AP与AP的交点M的轨迹方程． 满足OP 解：如图2，以线段AA所在直线为x轴，以线段AA的中垂线为y轴建立直角坐标系．

4 设点P(0，t)(t0)， 则由题意，得P0，．

t 由点斜式得直线AP，AP的方程分别为t4y(xa)，y(xa)．

ata 两式相乘，消去t，得4x2a2y24a2(y0)．这就是所求点M的轨迹方程．

评析：参数法求轨迹方程，关键有两点：一是选参，容易表示出动点；二是消参，消参的途径灵活多变.

5 2、设椭圆中心为原点O，一个焦点为F（0，1），长轴和短轴的长度之比为t．（1）求椭圆的方程；（2）设经过原点且斜率为t的直线与椭圆在y轴右边部分的交点为Q，点P在该直线上，且OPOQtt21，当t变化时，求点P的轨迹方程，并说明轨迹是什么图形．

a2b21,yx解：（1）设所求椭圆方程为221(a＞b＞0).由题意得a解得

abt,b222t2a2.t1所以椭圆方程为t2(t21)x2(t21)y2t2．

b21.t21t2(t21)x12(t21)y12t2,(2)设点P(x,y),Q(x1,y1),解方程组得

y1tx1,1tx,xx122(t1)OPOPx2或tt21和由得2tOQOQxt1yy.,y1222(t1)其中t＞1．消去t，得点P轨迹方程为x2t2t22,

,2222y(x)和x2y(x)．其2222轨迹为抛物线x22222y在直线xy在直线右侧的部分和抛物线x222x2在侧的部分．

2x2y23、已知双曲线22=1(m＞0,n＞0)的顶点为A1、A2，与y轴平行的直线l交双曲线mn于点P、Q 求直线A1P与A2Q交点M的轨迹方程；

yMA1oA2Px

Q解设P点的坐标为(x1,y1)，则Q点坐标为(x1,－y1),又有A1(－m,0),A2(m,0),则A1P的方程为

6 y=y1(xm)

x1m ①

A2Q的方程为 y=－y1(xm)

x1m22 ②

①×②得 y2=－y12x1m(x2m2) ③

x1y1n222又因点P在双曲线上，故221,即y12(x1m2).

mnmx2y2代入③并整理得22=1 此即为M的轨迹方程

mn224、设点A和B为抛物线 y2=4px(p＞0)上原点以外的两个动点，已知OA⊥OB，OM⊥AB，求点M的轨迹方程，并说明它表示什么曲线

解法一 设A(x1,y1),B(x2,y2),M(x,y) (x≠0)

直线AB的方程为x=my+a

由OM⊥AB，得m=－y

xyA由y2=4px及x=my+a，消去x,得y2－4pmy－4pa=0

(y1y2)22a所以y1y2=－4pa, x1x2=

2(4p)所以，由OA⊥OB，得x1x2 =－y1y2

所以a4paa4p

故x=my+4p,用m=－2oNMBxy代入，得x2+y2－4px=0(x≠0)

x故动点M的轨迹方程为x2+y2－4px=0(x≠0)，它表示以(2p,0)为圆心，以2p为半径的圆，去掉坐标原点

解法二 设OA的方程为ykx，代入y2=4px得A(2p2p,)

k2k1x，代入y2=4px得B(2pk2,2pk)

kk(x2p)，过定点N(2p,0)，

∴AB的方程为y21k则OB的方程为y由OM⊥AB，得M在以ON为直径的圆上（O点除外）

故动点M的轨迹方程为x2+y2－4px=0(x≠0)，它表示以(2p,0)为圆心，以2p为半径的圆，去掉坐标原点

解法三 设M(x,y) (x≠0)，OA的方程为ykx，

7 2p2p,)

k2k1则OB的方程为yx，代入y2=4px得B(2pk2,2pk)

k代入y2=4px得A(由OM⊥AB，得

M既在以OA为直径的圆

xy222p2pxy0……①上，

k2k2又在以OB为直径的圆

xy2pkx2pky0……②上（O点除外），

22①k+②得 x2+y2－4px=0(x≠0)

故动点M的轨迹方程为x2+y2－4px=0(x≠0)，它表示以(2p,0)为圆心，以2p为半径的圆，去掉坐标原点

25、过点A（－1，0），斜率为k的直线l与抛物线C：y2=4x交于P，Q两点.若曲线C的焦点F与P，Q，R三点按如图顺序构成平行四边形PFQR，求点R的轨迹方程；

解：要求点R的轨迹方程，注意到点R的运动是由直线l的运动所引起的，因此可

以探求点R的横、纵坐标与直线l的斜率k的关系．然而，点R与直线l并无直接联系．与l有直接联系的是点P、Q，通过平行四边形将P、Q、R这三点联系起来就成为解题的关键．

由已知l:yk(x1)，代入抛物线C：y2=4x的方程，消x得：

k2yyk0∵

直线l交抛物线C于两点P、Q∴

4k0解得41k201k0或0k1

设P(x1,y1),Q(x2,y2),R(x,y)，M是PQ的中点，则由韦达定理可知：

yM2x1My1y222k,将其代入直线l的方程，得

2ky2Mk∵ 四边形PFQR是平行四边形，

∴

RF中点也是PQ中点M.

4x2xx3MF2k∴

y2y4Mk又k(1,0)(0,1) ∴

xM(1,)．∴ 点R的轨迹方程为y24(x3),x1.

8 6、垂直于y轴的直线与y轴及抛物线y2=2(x–1)分别交于点A和点P，点B在y轴上且点A分OB的比为1:2，求线段PB中点的轨迹方程

解：点参数法 设A(0,t),B(0,3t),则P(t2/2 +1, t),

t211(t22)1x2设Q(x,y),则有,消去t得：y2=16(x–)

2423tt2ty2点评：本题采用点参数，即点的坐标作为参数在求轨迹方程时应分析动点运动的原因，找出影响动点的因素，据此恰当地选择参数

7、过双曲线C：x2─y2/3=1的左焦点F作直线l与双曲线交于点P、Q，以OP、OQ为邻边作平行四边形OPMQ，求M的轨迹方程

解：k参数法 当直线l的斜率k存在时，取k为参数，建立点M轨迹的参数方程设M(x,y),P(x1,y1), Q(x2,y2),PQ的中点N(x0,y0), l: y=k(x+2), 代入双曲线方程化简得：(3─k2)x2─4k2x─4k2─3=0,依题意k≠3,

∴3─k2≠0,x1+x2=4k2/(3─k2),

∴x=2x0=x1

+x2=4k2/(3─k2), y=2y0=2k(x0+2)=12k/(3─k2),

4k2x2(x2)2y23k1 ∴, 消去k并整理，得点M的轨迹方程为：412y12k3k2当k不存在时，点M(─4,0)在上述方程的曲线上，故点M的轨迹方程为：

(x2)2y21

412点评：本题用斜率作为参数，即k参数法，k是常用的参数设点P、Q的坐标，但没有求出P、Q的坐标，而是用韦达定理求x1+x2,y1+y2,从整体上去处理，是处理解析几何综合题的常见技巧

8、（06辽宁,20）已知点A(x1,y1),B(x2,y2)(x1x20)是抛物线y2px(p0)上的两个动点,O是坐标原点,向量OA,OB满足OAOBOAOB.设圆C的方程为

2x2y2(x1x2)x(y1y2)y0

(I) 证明线段AB是圆C的直径;

(II)当圆C的圆心到直线X-2Y=0的距离的最小值为解析：(I)证明1:

2225时，求p的值。

5OAOBOAOB,(OAOB)2(OAOB)2

22OA2OAOBOBOA2OAOBOB

9 整理得:

OAOB0x1x2y1y20

设M(x,y)是以线段AB为直径的圆上的任意一点,则MAMB0

22即(xx1)(xx2)(yy1)(yy2)0整理得:xy(x1x2)x(y1y2)y0

故线段AB是圆C的直径

(II)解法1:设圆C的圆心为C(x,y),则

x1x2x2yy1y22y12y22y2px1,y22px2(p0)x1x2

4p2212y12y22又因x1x2y1y20x1x2y1y2y1y2

4p2x1x20,y1y20y1y24p2

xx1x2yy111(y12y22)(y12y222y1y2)12(y22p2)

24p4p4pp22所以圆心的轨迹方程为ypx2p

设圆心C到直线x-2y=0的距离为d,则

12(y2p2)2y||x2y||y22py2p2||(yp)2p2|pd

555p5p|当y=p时,d有最小值pp25,由题设得p2.

555五、交轨法

一般用于求二动曲线交点的轨迹方程．其过程是选出一个适当的参数，求出二动曲线的方程或动点坐标适合的含参数的等式，再消去参数，即得所求动点轨迹的方程．

1、 已知两点P(2,2),Q(0,2)以及一条直线：y=x，设长为2的线段AB在直线上移动，求直线PA和QB交点M的轨迹方程．

解：PA和QB的交点M（x，y）随A、B的移动而变化，故可设A(t,t),B(t1,t1)，则PA：y2t2(x2)(t2),t2QB：y2t1x(t1).t1消去t，得x2y22x2y80.当t=－2，或t=－1时，PA与QB的交点坐标也满足上式，所以点M的轨迹方程是xy2x2x2y80.

221 0 以上是求动点轨迹方程的主要方法，也是常用方法，如果动点的运动和角度有明显的关系，还可考虑用复数法或极坐标法求轨迹方程．但无论用何方法，都要注意所求轨迹方程中变量的取值范围．

2、自抛物线y2＝2x上任意一点P向其准线l引垂线，垂足为Q，连结顶点O与P的直线和连结焦点F与Q的直线交于R点，求R点的轨迹方程.

解：设P（x1，y1）、R（x，y），则Q（－∴OP的方程为y=11，y1）、F（，0），

22 ①

y1x，

x1

1）.

22y2x222由①②得x1＝，y1＝，代入y＝2x，可得y＝－2x+x.

12x12x 六、待定系数法

FQ的方程为y=－y1（x－ ②

当曲线（圆、椭圆、双曲线以及抛物线）的形状已知时，一般可用待定系数法解决.

1、已知Ａ，Ｂ，Ｄ三点不在一条直线上，且A(2，0)，B(2，0)，AD2，

1AE(ABAD)．

2（1）求E点轨迹方程；

（2）过A作直线交以A，B为焦点的椭圆于M，N两点，线段MN的中点到y轴的距

离为4，且直线MN与E点的轨迹相切，求椭圆方程．

51 解：（1）设E(x，y)，由AE(ABAD)知E为BD中点，易知D(2x2，2y)．

2 又AD2，则(2x22)2(2y)24．

即E点轨迹方程为x2y21(y0)；

（2）设M(x1，y1)，N(x2，y2)，中点(x0，y0)．

x2y2 由题意设椭圆方程为221，直线MN方程为yk(x2)．

aa4

∵直线MN与E点的轨迹相切，

∴2kk211，解得k3．

33(x2)代入椭圆方程并整理，得4(a23)x24a2x16a23a40，

3x1x2a2

∴x0，

22(a23) 将y1 1 a24x2y242 又由题意知x0，即

，解得a8．故所求的椭圆方程为1．22(a3)58452、已知圆C1的方程为(x－2)2+(y－1)2=x2a2y2b220,椭圆C2的方程为3=1(a＞b＞0)，C2的离心率为2，如果C1与C2相交于2A、B两点，且线段AB恰为圆C1的直径，求直线AB的方程和椭圆C2的方程.

y2x22.解：由e=,可设椭圆方程为22=1,又设A(x1,y1)、B(x2,y2),则x1+x2=4,y1+y2=2,

22bb又x122b2y12b21,x222b2y22b2=1,两式相减，得x12x222b2y12y22b2=0,

即(x1+x2)(x1－x2)+2(y1+y2)(y1－y2)=0.化简得代入椭圆方程得3x2－12x+18－2b2=0.

有Δ=24b2－72＞0,又|AB|=y1y2=－1,故直线AB的方程为y=－x+3,

x1x224b2722020,得2，解得b2=8.

2(x1x2)4x1x29332x2y2故所求椭圆方程为=1.

168x2y23、已知直线yx1与椭圆221(ab0)相交于A、B两点，且线段AB的中ab点在直线l:x2y0上.

（１）求此椭圆的离心率；

（2 ）若椭圆的右焦点关于直线l的对称点的在圆xy

224上，求此椭圆的方程.

yx1，讲解:（1）设A、B两点的坐标分别为A(x1,y1),B(x2,y2).则由x2 得

y2221ba(a2b2)x22a2xa2a2b20, 根据韦达定理，得

2a22b2,y1y2(x1x2)22,

x1x2222ababa2b2,2 ∴线段AB的中点坐标为（2）.

22abab1 2 a22b220,a22b22(a2c2)a22c2 故椭圆的离心 由已知得222abab率为e2 .

2 （2）由（1）知bc,从而椭圆的右焦点坐标为F(b,0), 设F(b,0)关于直线l:x2y0的对称点为(x0,y0),则解得

x0y001xby1且0200,

x0b22234b且y0b

553242222由已知得

x0y04,(b)(b)4,b4

55x2y21 . 故所求的椭圆方程为841 3