BSM模型

Black—Scholes 模型

波动率

某变量在单位时间内连续复利收益率的标准差σ被定义为这一变量的波动率期权。当波动率

被用于期权定价时时间单位通常定义为一年，因此波动率就是一年的连续复利收益率的标准

差；但当波动率被用于风险控制时，时间单位通常是一天，此时的波动率对应于没天的连续

复利收益率的标准差。

一般来讲，σT等于变量ln为市场变量在时间T的价格，S是此市场

√

(

S

T

)

的标准差这里的S

T0

0

S

变量的当前价格，表达式ln

(

S

T

)

等于变量在时间T的连续复利收益率（这里的收益并不对应

0

S

于单位时间收益）。当σ对应于每天的波动率，T就应该以天来计算；当σ对应于每年的波动

率，T就应以年来计量。

当所考虑的时间展望期较为短暂时，以标准差计量的将来股票价格的不确定性与我们展望期

限的平方根成正比。例如，股票价格4周变化的标准差近似等于每周变化的标准差的两倍，

这一结论也就是著名的格言“不确定性与时间的平方根成正比”。

在计算波动率时，会产生以下问题，我们应该采用日历天数还是交易天数。研究人员已经证

明在交易开盘交易时的波动率比交易所关闭时的波动率要大很多，因此，当有历史数据估计

波动率时，分析员常常忽略交易所关闭的天数，在计算时通常假定每年有252个交易日。

假设σ为某一资产的年波动率，σ为相应的日波动率，连续复利收益率的标准差分别为σ和

ydy

σ252，即

d

√

σ=σ

yd

√252

或

σ=

d

以上关系式说明，日波动率大约为年波动率的6%。

隐含波动率

期权公式中唯一不能直接就是股票价格的波动率，隐含波动率是交易员从期权价格中计算出

的隐含的波动率。

为了解释如何计算隐含波动率，我们假设某股票价格为21美元，期权行使价格为20美元，

无风险利率为10%，期权期限为3个月，期权类型为欧式看涨期权，标的资产不支付任何股

息，期权的市场价值为1.875美元，隐含波动率是对应于c=1.875时，Black-Scholes公式中σ

的取值。不幸的是，我们不能 直接反解Black-Scholes公式并将波动率表示为期权价格以及

其他变量的函数，但是我们可以用迭代的方式来丘吉尔隐含波动率。例如，开始时令σ=0.20，

√

252

σ

y

对应这一波动率，期权价格为1.76美元，这一价格比市价1.875美元要小，由于期权价格

为σ的递增函数，令σ=0.30，对应的期权价格为2.10美元，此值高于市价，这意味着σ一定

介于0.2~0.3之间；接下来，令σ=0.25，此值对应的期权价格也偏高，所以σ应该在0.20~0.25

之间，这样继续下去，每次迭代我们可以使得σ所在的区间减半因此可以计算出满足任意精

度的σ的近似值。在本例中，隐含波动率σ=0.235，既每年23.5%。

隐含波动率被广泛应用于交易之中，但在风险管理领域，基于历史数据的波动率更为流行。

采用历史数据来估算波动率

根据历史数据估计变量的波动率时，观察时间的间隔通常为某一固定时间区间（如1天、一

周或1个月）。定义

n+1:观察次数

S

i

:第i个时间段结束时变量的价格，i=0，1，…，n

τ：单位时间间隔的长度

令

S

i

u=ln⁡()

i

S

i−1

式中，i=1,2，…，n。

u

i

的标准差的估计式s为

1

s=∑u−u̅

√

()

i

2

n−1

i=1

n

或

11

s=∑u−(∑u)

√

2

i

i

n−1n(n−1)

i=1i=1

nn

2

式中，u̅为u的均值。

i

如前所述，u的标准差为στ，其中σ为变量的波动率。因此变量s是στ的估计值，σ近似

i

√√

为σ̂，其中

s

̂=σ

√

τ

以上估计式的标准差为σ̂2n。当τ以年为计量单位时，计算出的波动率对应于年变化率；

⁄

√

当τ以天为计量单位时，计算出的波动率对应于日变化率。

信用风险来源于贷款的借贷方、债券发行人及衍生产品的交易对手的违约可能性。

期望收益率

股票的期望收益率μ取决于股票的风险。风险越大，股票的期望收益率越高。同时，股票的

期望收益率还取决与利率水平，它与利率水平同方向变动。然而，我们不需要关心有哪些因

素决定μ的大小，可以证明，用标的股票价格来表示股票的价值时，股票期权的价值与μ

完全无关，但是有一个关于股票期望收益率的问题很容易引起误解，在此简单解释一下。

Black-Scholes模型的潜在假设是，在不支付股利的条件下，短期股票价格变动的百分比大致

服从正态分布，在连续的几个短期内股价变动之间是相互独立的，股价变动百分比就是股价

的收益率，而在连续时期内变动随机且相互独立的变量被称为服从随机游走。因此这以假设

可以表述为股票价格收益率服从随机游走。定义：

μ：股票的年预期收益率

σ：股票价格的年波动率

在时间段∆t内股票价格变动百分比的平均值为μ∆t，股价变动百分比的标准差为σ∆t。因此，

√

Black-scholes模型的潜在假设可以表示为：

∆S

S

~∅(μ∆t，σ∆t) (1)

√

其中，∆S是时间段∆t内股票价格S的变动，∅(μ∆t，σ∆t)定义了一个均值为m标准差为s

√

的正态分布。

对数正态分布

(1)式的假设表明在未来任意时刻的股票价格都服从对数正态分布。对数正态分布与一般的

正态有很多不同之处，正态分布的变量可以取任意正值和任意负值，而对数正态分布的变量

只能取正的值。正态分布是对称的；而对数正态分布则是不对称的，它的均值、中位数和众

数均不相同。

若一个变量服从对数正态分布，换而言之就是对这个变量取自然对数后的新变量服从正态分

布。所以，根据Black-Scholes模型对股票价格的潜在假设，lnS服从正态分布，其中，S是

TT

未来时刻T的股票价格。lnS的均值和标准差分别可以表示为：

T

lnS+−T 和 σT

0

(μ)

σ

2

2

√

其中S是股票价格。因此可将股票收益率的分布表示为：

0

lnS~∅[lnS+−T，σT] (2)

T0

(μ)

σ

2

2

√

ES=Se

()

T0

μt

那么S的均值和方差分别可以表示为

T

2

2μtσT

varS=Se(e−1)

()

T

0

根据式(2)和正态分布的性质可以得到

σ

2

lnS−lnS~∅[(μ−)T，σ√T]

T0

2

2

即

ln~∅[(μ−T，σT] (3)

S2

T

0

Sσ

2

)

√

当T=1时，表达式ln⁡(S

T0

⁄

S)是股票按连续复利计的年收益率，因此，按连续复利计的年收

益率的均值和标准差分别为μ−⁡σ^2/2和σ。

式(1)表明μ∆t是在一段非常段得时间内的股票价格的。。期望变动百分比。这样，很容易假

设μ是按连续复利计的股票预期收益率。而事实并不是这样，我们定义R为在长为T年的期

限内真正实现的按连续复利计的收益率，即

S=Se

T0

RT

因此

R=ln

1S

T

TS

0

等式(3)表明R的期望值为E(R)=⁡μ−⁡σ^2/2

引起按连续复利计的期望收益率与μ之间的原因是很微小的，但却十分重要，假设我们考虑

一系列非常短的、长度为∆t的时间段，定义S为第i段时间段末的股票价格，定义∆S为S

iii−1

−

S

i

。在模型对股票价格作出的假设下，每个时间间隔的股票收益率的平均值将接近于μ。这

就意味着，∆S

ii

⁄

S的算术平均值近似为μ∆t。而在整个数据期间内，按期限∆t计复利的期望

收益率为μ−⁡σ^2/2，并非是μ。

它的数学证明也很简单，首先我们对等式

ES=Se

()

T0

μT

取对数可得

lnES=lnS+μT

[

()]()

T0

令

lnES=ElnS

[[

()]()]

TT

所以

ElnS−lnS=μT

[

()]()

T0

即

ElnSS=μT

[

(⁄)]

T0

进而推出

ER=μ

()

但是，不能这样简单的推导，因为自然对数函数ln是一个非线性函数。实际上，

lnES>ElnS

[[

()]()]

TT

所以有

ElnSS<μT

[

(⁄)]

T0

即

ER<μ

()

如前所述E(R)=⁡μ−⁡σ^2/2。这一现象源于数学家们所熟悉的一个结论，一组不完全相等的

数值的几何平均值总是低于其算术平均值。

信用评级

穆迪及标准普普尔等评级公司专门从事信用评级业务，这些公司对企业债券提供信用评级。

在穆迪的系统中，信用的最佳级别为Aaa，具有这种级别的债券几乎没有违约的可能。接下

来的一个次好级别为Aa，在网下由好到坏信用级别的排序为A，Baa，Ba，B及Caa。高于

Baa的债券被称为投资级别债券。标准普尔与穆迪Aaa，Aa，A，Baa，Ba，B及Caa相对应

的信用级别分别是AAA，AA，A，BBB，BB，B，CCC。为了产生更细的信用等级，穆迪将等

级分为Aa1，Aa2及Aa3，并又将A等级分为A1，A2及A3等；类似地，标准普尔将AA级

分为AA+，AA及AA-，并将A等级分为A+，A及A-，等等（穆迪对Aaa及标准普尔对AAA

级没有在细分）。

信用级别反映了有关违约概率的信息，所以人们往往可能认为公司信用级别会经常随好消息

或换消息到达市场时而被调整。