2022年高中数学新人教版B版精品教案《2.4 正态分布》

2.4 正态分布〔第一课时〕

高二年级 数学 主讲人：叶穗

一、

教材分析

正态分布是高中新教材人教B版选修2-3的第二章?随机变量及其分布?的最

后一节内容，正态分布在统计中是很常用的分布，它刻画很多随机现象，由中

心极限定理知一个随机变量如果是众多的、互不相干的、不分主次的偶然因素

作用结果之和，它就服从或近似服从正态分布，服从正态分布的随机变量是一

种连续型随机变量。该节内容通过研究频率分布直方图、频率分布折线图、总

体密度曲线，引出拟合的函数式，进而得到正态分布的概念、分析正态曲线的

特点，最后研究了它的应用。

正态分布密度函数的推导是十分困难的，一般教材书采用直接给出正态分布

密度函数表达式的方法，通过分析正态分布密度曲线的解析表达式，得到正态

分布密度曲线的特点，借助比照不同参数的正态分布密度曲线的图像，得到两

个参数的含义，并直接给出了正态分布随机变量分别取值在三个常用领域的概

率。

二、

学情分析

在必修三的学习中，学生已经掌握了统计等知识，这为学生理解利用频率分

布直方图来研究小球的分布规律奠定了根底。但正态分布的密度函数表达式较

为复杂抽象，学生理解比拟困难。

三、

教学目标

（一）

知识与技能

1.了解正态分布密度曲线的来源，理解正态分布的概念及其曲线特点；

3.掌握利用3原那么解决一些简单的与正态分布有关的概率计算问题；

4.掌握正态分布在实际生活中的应用和作用.

（二）

过程与方法

1.通过高尔顿板试验、频率分布直方图、折线图认识正态曲线，体验从有限

到无限的思想方法;

2.通过借助几何画板，了解正态分布曲线的特点及曲线所表示的意义.

（三）

情感态度与价值观

1.通过经历直观动态的高尔顿试验，提高学生学习数学的兴趣;

2.通过教学中一系列的探究过程使学生体验发现的快乐，形成积极的情感，

培养学生的进取意识和科学精神.

四、

教学重、难点

（一）

教学重点:正态分布密度曲线的特点；利用3原那么解决一些简单的与正

态分布有关的概率计算问题.

（二）

教学难点:在现实生活中什么样的随机变量服从正态分布,正态分布密度

曲线所表示的意义.

五、

教学过程

（一）

创设情境

1、

引入：街头的钉板赌博游戏，你认为中奖概率低的主要原因是什么？

生：小球落入两端的概率要比落到中间的概率小。

师：这是为什么呢？

2、试验：计算机模拟高尔顿钉板实验，研究小球掉落的分布规律

3、

问题探究：

（1）

在小球投放前，你知道这个小球落到哪个球槽中吗？

生：不能确定小球落到哪个球槽，因为是随机试验，落到哪个球槽中，是一

个随机事件。

（2）

观察小球掉落球槽的分布规律，并画出其频率分布直方图

生：中间高，两边地

师：如何画出其频率分布直方图？

生：以球槽的编号为横坐标，以小球落入各个球槽内的频率/组距值为纵坐

标建立直角坐标系并画出频率分布直方图

（3）

当投放大量的小球，球槽不断缩小时，球槽内小球的分布情况的规律如何？

△总结：当投放大量的小球，球槽不断缩小时，球槽内小球频率分布的形状越

来越趋近于一条光滑的钟形曲线.

（二）

引入概念

1、

正态曲线

当重复次数增加时，曲线就是〔或近似是〕以下函数的图像：

其中实数和为参数.的图像为正态分布密度曲线,简称正态曲线.

△特别地，当时，相应的函数表示式为，相应的曲线称为标准正态曲线.

2、

正态曲线对应区间概率的计算

探究：如果用表示落下的小球第一次与高尔顿钉板底部接触时的坐标，那么

（1）

是随机变量吗？

生：是随机变量，且是连续型随机变量

（2）

落在区间的概率为？

3、

如果对于任何实数,随机变量满足

那么称X的分布为正态分布,记,服从正态分布，那么记为.

是反映随机变量取值的平均水平的特征数，可以用样本均值去估计;

是衡量随机变量总体波动大小的特征数，可以用样本标准差去估计.

4、

现实生活中的正态分布

正态分布是生活中常用的分布，也称为高斯分布，德国的10马克纸币上就

印有高斯的头像和正态分布曲线，以前的德国硬币上也印刻了正态分布曲线。

经验说明，一个随机变量如果是众多的、互不相干的、不分主次的偶然因素

作用的结果之和，它就服从或近似服从正态分布。

例如：

测量：长度测量误差、某一地区同年龄人的身高、体重、肺活量

生物：一定条件生长的小麦的株高、穗长、单位面积产量等

生产：正常生产条件下各种产品的质量指标

气象：某地每年七月份的平均气温、平均温度、降雨量

△总结：正态分布在统计学中是很重要的分布，研究的是连续型随机变量的

概率分布规律.

（三）

分析性质

1、

正态曲线的特点

（1）

曲线位于x轴上方,与x轴不相交;

（2）

曲线是单峰的,它关于直线对称；

（3）

曲线在处到达峰值;

（4）

当一定时,曲线随着的变化而沿x轴平移;

（5）

当一定时,曲线的形状由确实定

越小,曲线越“瘦高〞,表示总体的分布越集中;

越大,曲线越“矮胖〞,表示总体的分布越分散.

2、

正态曲线下的面积规律

(1)

对称区域面积相等;

(2)X轴与正态曲线所夹面积恒等于1.

3、

特殊区间的概率〔3原那么〕

△小概率事件：〔一般不超过5 ％ 〕，通常称这些情况发生为小概率事件。

六、

例题讲解

例1.设两个正态分布和的密度函数图像如下图，那么有〔 〕

A．

B．

C．

D．

例2.如图，是一个正态曲线，试根据图象写出其正态分布的概率密度函数的解

析式，求出总体随机变量的期望和方差。

例3.在某次数学考试中，考生的成绩服从一个正态分布，即.

〔1〕试求考试成绩位于区间(70,110)上的概率是多少？

〔2〕假设这次考试共有2021名考生，试估计考试成绩在(80,100)间的考生大

约有多少人？

例4、一次考试共有60名同学参加，考生的成绩，据此估计，大约应有57人

的分数在以下哪个区间内？〔 〕

A.(90,110] B.(95,125] C.(100,12021 D.(105,115]

七、

课堂小结

（一）

总结

（二）

布置作业

课本P 习题2.4 A组 1、2 B组 1、2

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