(学习指导) 组合与组合数公式Word版含解析

1.2.2 组合

第1课时 组合与组合数公式

学 习 目 标 核 心 素 养

1.理解组合与组合数的概念．(重

点)

2.会推导组合数公式，并会应用公

式求值．(重点)

3.理解组合数的两个性质，并会求

值、化简和证明．(难点、易混点)

1．组合的概念

一般地，从n个不同元素中取出m(m≤n)个元素合成一组，叫做从n个不同元

素中取出m个元素的一个组合．

思考1：怎样理解组合，它与排列有何区别？

[提示] (1)组合要求n个元素是不同的，被取的m个元素也是不同的，即从n

个不同的元素中进行m次不放回地取出．

(2)取出的m个元素不讲究顺序，也就是说元素没有位置的要求，无序性是组

合的特点．

(3)辨别一个问题是排列问题还是组合问题，关键看选出的元素与顺序是否有

关，若交换某一问题中某两个元素的位置对结果产生影响，则是排列问题，否则

就是组合问题．

2．组合数的概念

从n个不同元素中取出m(m≤n)个元素的所有不同组合的个数，叫做从n个不

同元素中取出m个元素的组合数．

思考2：如何理解组合与组合数这两个概念？

[提示] 同“排列”与“排列数”是两个不同的概念一样，“组合”与“组合

1.通过学习组合与组合数的概

念，体现了数学抽象的素养.

2.借助组合数公式及组合数的

性质进行运算，培养数学运算的

素养.

数”也是两个不同的概念，“组合”是指“从n个不同元素中取m(m≤n)个元素合

成一组”，它不是一个数，而是具体的一件事；“组合数”是指“从n个不同元

素中取出m(m≤n)个元素的所有不同组合的个数”，它是一个数．例如，从3个不

同元素a，b，c中每次取出两个元素的组合为ab，ac，bc，其中每一种都叫一个

组合，这些组合共有3个，则组合数为3.

3．组合数公式及其性质

m

n！

m

A

n

(1)公式：C＝＝.

n

A

m

m

m！n－m！

nmmm1mm

－－

(2)性质：C＝C，C＋C＝C.

nnnnn1

＋

0

(3)规定：C＝1.

n

1．下面几个问题中属于组合问题的是( )

①由1,2,3,4构成的双元素集合；②5个队进行单循环足球比赛的分组情况；

③由1,2,3构成两位数的方法；④由1,2,3组成无重复数字的两位数的方法．

A．①③ B．②④ C．①② D．①②④

C [①②取出元素与顺序无关，③④取出元素与顺序有关．]

2．若C＝28，则n＝( )

2

n

A．9 B．8

C．7 D．6

B[C＝＝28，解得n＝8.]

2

n

n×n－1

2

3．甲、乙、丙三地之间有直达的火车，相互之间的距离均不相等，则车票票

价的种数是________．

3[甲、乙、丙三地之间的距离不等，故票价不同，同距离两地票价相同，故该

3×2

问题为组合问题，不同票价的种数为C＝＝3.]

2

3

2

172

4．C＝________，C＝________.

618

6×5

1712

15 18[C＝15，C＝＝C＝18.]

61818

2

写出问题的组合

【例1】 已知A，B，C，D，E五个元素，写出每次取出3个元素的所有组

合．

[解]法一：可按AB→AC→AD→BC→BD→CD顺序写出，即

所以所有组合为ABC，ABD，ABE，ACD，ACE，ADE，BCD，BCE，BDE，

CDE.

法二：画出树形图，如图所示．

由此可以写出所有的组合：ABC，ABD，ABE，ACD，ACE，ADE，BCD，BCE，

BDE，CDE.

1．此类列举所有从n个不同元素中选出m个元素的组合，可借助本例所示的

“顺序后移法”(如法一)或“树形图法”(如法二)，直观地写出组合做到不重复不

遗漏．

2．由于组合与顺序无关．故利用“顺序后移法”时箭头向后逐步推进，且写

出的一个组合不可交换位置．如写出ab后，不必再交换位置为ba，因为它们是同

一组合．画“树形图”时，应注意顶层及下枝的排列思路，防止重复或遗漏．

[跟进训练]

1．已知a，b，c，d这四个元素，写出每次取出2个元素的所有组合．

[解] 可按a→b→c→d顺序写出，即

所以所有组合为ab，ac，ad，bc，bd，cd.

组合数公式的应用

433

【例2】 (1)计算C－CA·；

1073

－－

n9n5

(2)计算C＋C.

nn1

＋

[思路点拨]解答此类问题要恰当选择组合数公式，并注意使用组合数公式的隐

含条件．

10×9×8×77×6×5

[解] (1)原式＝－·(3×2×1)＝210－210＝0.

4×3×2×13×2×1



n≥5－n，



n＋1≥9－n，

(2)由得n＝4或5.



9－n≥0，



5－n≥0，



n∈N，

*

51

当n＝4时，原式＝C＋C＝5，

45

40

当n＝5时，原式＝C＋C＝16.

56

1．在具体选择公式时，要根据原题的特点，一般地，公式C＝常用于n

n！

A

m

n

m

n

A

m

m

为具体数的数目，偏向于组合数的计算，公式C＝常用于n为字母

的题目，偏向于解不等式或证明恒等式．

m

n

n－m！m！

2．解题时，一定不要忘记组合数的意义．

[跟进训练]

－

n3n17

2．求值：C＋C.

2n13n

＋

[解] 由组合数的公式的性质，





13＋n≥3n，

可得



2n∈N，17－n∈N，





13＋n∈N，3n∈N，

2n≥17－n，

*

*

解得n＝6.

1811

所以，原式＝C＋C

1219

11

＝C＋C

1219

＝12＋19＝31.

简单的组合问题

【例3】 现有10名教师，其中男教师6名，女教师4名．

(1)现要从中选2名去参加会议有多少种不同的选法？

(2)选出2名男教师或2名女教师参加会议，有多少种不同的选法？

(3)现要从中选出男、女教师各2名去参加会议，有多少种不同的选法？

若是

[思路点拨]判断是否为组合问题――→

是否需要分类或分步求解―→套用公式求解

[解] (1)从10名教师中选2名去参加会议的选法种数，就是从10个不同元素

中取出2个元素的组合数，即C＝＝45种．

2

10

(2)可把问题分两类情况：

第1类，选出的2名是男教师有C种方法；

2

6

第2类，选出的2名是女教师有C种方法．

2

4

22

根据分类加法计数原理，共有C＋C＝15＋6＝21种不同选法．

64

22

(3)从6名男教师中选2名的选法有C种，从4名女教师中选2名的选法有C

64

10×9

2×1

22

种，根据分步乘法计数原理，共有不同的选法C×C＝×＝90种．

64

6×54×3

2×12×1

本例其他条件不变，问题变为从中选2名教师参加会议，至少有1名男教师

的选法是多少？最多有1名男教师的选法又是多少？

112

[解] 至少有1名男教师可分两类：1男1女有CC种，2男0女有C种．

646

121

由分类加法计数原理知有CC＋C＝39种．

646

121

最多有1名男教师包括两类：1男1女有CC种，0男2女有C种．

644

121

由分类加法计数原理知有CC＋C＝30种．

644

解简单的组合应用题的策略

1．解简单的组合应用题时，首先要判断它是不是组合问题，组合问题与排列

问题的根本区别在于排列问题与取出元素之间的顺序有关，而组合问题与取出元

素的顺序无关．

2．要注意两个基本原理的运用，即分类与分步的灵活运用．

提醒：在分类和分步时，一定注意有无重复或遗漏．

[跟进训练]

3．(1)集合{0,1,2,3}含有3个元素的子集的个数是( )

A．4 B．5 C．7 D．8

(2)五个点中任何三点都不共线，则这五个点可以连成________条线段；如果

是有向线段，共有________条．

(1)A (2)1020[(1)由于集合中的元素是没有顺序的，一个含有3个元素的子集

就是一个从{0,1,2,3}中取出3个元素的组合，这是一个组合问题，组合数是C＝

3

4

4.

(2)从五个点中任取两个点恰好连成一条线段，这两个点没有顺序，所以是组

合问题，连成的线段共有C再考虑有向线段的问题，这时两个点的先后＝10(条)．

2

5

2

排列次序不同则对应不同的有向线段，所以是排列问题，排列数是A＝20.所以有

5

向线段共有20条．]

排列与组合的相同点与不同点

名称 排列 组合

相同点 都是从n个不同元素中取m(m≤n)个元素，元素无重复

1.排列与顺序有关； 1.组合与顺序无关；

不同点 2.两个排列相同，当且仅当这两个排列2.两个组合相同，当且仅当这两

的元素及其排列顺序完全相同 个组合的元素完全相同

1．判断(正确的打“√”，错误的打“×”)

(1)两个组合相同的充要条件是其中的元素完全相同．( )

(2)从a，a，a三个不同元素中任取两个元素组成一个组合，所有组合的个

123

数为C.( )

2

3

(3)从甲、乙、丙3名同学中选出2名去参加某两个乡镇的社会调查，有多少

种不同的选法是组合问题．( )

(4)从甲、乙、丙3名同学中选出2名，有3种不同的选法．( )

(5)现有4枚2015年抗战胜利70周年纪念币送给10人中的4人留念，有多少

种送法是排列问题．( )

[答案](1)√ (2)√ (3)× (4)√ (5)×

2．下列计算结果为21的是( )

223

A．A＋C B．C

467

C．A D．C

22

77

D[C＝＝21.]

2

7

7×6

2×1

3．6个朋友聚会，每两人握手1次，一共握手________次．

15[每两人握手1次，无顺序之分，是组合问题，故一共握手C＝15次．]

2

6

－

n3n38

4．(1)求C＋C的值；

3n21n

＋

(2)证明：C＝C.

mm

nn1

n

n－m

－

[解] (1)由组合数的定义知，





0≤38－n≤3n，







0≤3n≤21＋n，

19





2

≤n≤38，

即



21

0≤n≤.





2

1921

∴≤n≤，∵n∈N，∴n＝10.

22

*

－

n3n28302138

∴C＋C＝C＋C＝C＋C＝＋31＝466.

3n21n30313031

＋

30×29

2×1

n！n－1！

(2)证明：C＝·＝＝C.

nn

n－mn－mm！n－1－m！m！n－m！

mm

n1n

－