2021-2022学年北京市大兴区高一(下)期末数学试卷【答案版】

2024年3月31日发(作者：防灾减灾主题班会)

2021-2022学年北京市大兴区高一（下）期末数学试卷

一、选择题共10小题，每小题4分，共40分.在每小题列出的四个选项中，选出符合题目要求的一项.

1．1，2，3，4，5，5这组数据的第50百分位数是（ ）

A．3 B．3.5 C．4 D．5

2．在复平面内，复数z对应的点的坐标是（2，1），则𝑧=（ ）

A．2﹣i B．1﹣2i C．2+i D．1+2i

3．抛掷一枚硬币两次，则至少有一次正面朝上的概率是（ ）

A．

4

→→

1

B．

3

→→

1

C．

2

1

D．

4

3

4．已知𝑒

1

，

𝑒

2

是单位向量，且𝑒

1

⊥𝑒

2

，则下列结论正确的是（ ）

A．𝑒

1

=𝑒

2

B．|𝑒

1

|+|𝑒

2

|=1

→→→→

C．(𝑒

1

+𝑒

2

)

2

=2 D．|𝑒

1

−𝑒

2

|=2

→→→→

5．如图，A，B两点在河的两岸，在B同侧的河岸边选取点C，测得BC的距离10m，∠ABC＝75°，∠

ACB＝60°，则A，B两点间的距离为（ ）

A．5

√

2𝑚 B．5

√

3𝑚 C．5

√

5𝑚 D．5

√

6𝑚

6．一个袋中只装有红球、黄球和蓝球，从中随机摸出一个球，若摸出红球的概率为0.5，摸出黄球的概率

为0.4，则摸出红球或蓝球的概率是（ ）

A．0.1 B．0.3 C．0.6

→→

D．0.9

7．已知点O（0，0），A（﹣1，2），B（1，1），则𝑂𝐴

与𝐴𝐵的夹角的余弦值为（ ）

A．−

5

4

B．

5

4

C．−

10

3

D．

3

10

8．“直线l∥平面α”是“平面α内存在无数条直线都与直线l平行”的（ ）

A．充分而不必要条件

C．充分必要条件

→

→

→

→

→

B．必要而不充分条件

D．既不充分也不必要条件

→

9．已知向量𝑎

，

𝑏满足2≤𝑎⋅𝑏≤4，且|𝑎|=2，则|𝑏|的取值范围是（ ）

A．（0，1） B．[1+∞） C．[2，+∞）

第1页（共18页）

D．[0，2]

10．如图，在正方体ABCD﹣A

1

B

1

C

1

D

1

中，M是棱AB的中点．令直线D

1

M与AA

1

所成的角为θ

1

，直线

D

1

M与平面A

1

B

1

C

1

D

1

所成的角为θ

2

，二面角D

1

﹣AM﹣C的平面角为θ

3

，则（ ）

A．θ

1

＞θ

2

＝θ

3

C．θ

1

＝θ

2

＜θ

3

B．θ

1

＞θ

3

＞θ

2

D．θ

1

＜θ

3

＜θ

2

二、填空题共5小题，每小题5分，共25分.

11．若𝑎

=(1

，

2)与𝑏=(−3

，

𝑥)是共线向量，则x＝ ．

12．若复数z满足i•z＝1+i，则z＝ ；|z|＝ ．

13．一组样本数据的频率分布直方图如图所示，由此图，估计总体数据不低于30的概率为 ；估计

总体数据的第80百分位数是 ．

→

→

14．已知直线m和平面α，β．给出下列三个论断：

①m∥α； ②α∥β； ③m⊂β．

以其中的两个论断作为条件，余下的一个论断作为结论，写出一个正确的命题： ．

15．已知以O为起点的向量𝑎

，

𝑏在正方形网格中的位置如图所示，网格纸上小正方形的边长为1．

→

→

①𝑎⋅(𝑎−𝑏)= ．

②设集合𝑀={𝑃|𝑂𝑃=𝜆𝑎+𝜇𝑏

，

0≤𝜆≤1

，

1≤𝜇≤2}，

则M表示的区域的面积为 ．

第2页（共18页）

→→

→

→

→

→

三、解答题共6小题，共85分.解答应写出文字说明，演算步骤或证明过程.

16．（13分）已知向量𝑎

，

𝑏满足|𝑎|=1

，

𝑏=(3

，

4)．

（1）当𝑎与𝑏的夹角为60°时，求𝑎⋅𝑏；

（2）当实数k为何值时，向量𝑘𝑎+𝑏与𝑘𝑎−𝑏垂直；

（3）若𝑎=𝜆𝑏(𝜆∈𝑅)，求λ的值．

17．（14分）从0，1，2，3这四个数字中，不放回地取两次，每次取一个，构成数对（x，y），x为第一次

取到的数字，y为第二次取到的数字．设事件A＝“第一次取出的数字是1”，B＝“第二次取出的数字是

2”．

（1）写出此试验的样本空间及P（A），P（B）的值；

（2）判断A与B是否为互斥事件，并求P（A∪B）；

（3）写出一个事件C，使A⊆C成立．

18．（15分）如图，在四棱锥P﹣ABCD中，PA⊥平面ABCD，底面ABCD为菱形，E，F分别为BC，PD

的中点．

（1）求证：BD⊥平面PAC；

（2）求证：CF∥平面PAE；

（3）若平面PAE⊥平面PAD，求∠ABC的大小．

→

→

→

→

→

→

→

→

→

→

→

→

→

→

19．（14分）某校有高中学生1000人，其中男生400人，女生600人．A同学按男生、女生进行分层，采

用分层随机抽样的方法调查该校全体高中学生的身高（单位：cm）情况，总样本量为100，计算得到男生

身高样本的平均数为170，方差为16；女生身高样本的平均数为160，方差为18．

（1）如果已知男、女样本量按比例分配，求总样本的平均数𝑥

1

和方差s

1

2

；

（2）如果已知男、女样本量分别为30和70，在这种情况下，总样本的平均数为𝑥

2

，总样本的方差为s

2

2

，

分别直接写出𝑥

1

与𝑥

2

，s

1

2

与s

2

2

的大小关系；

（3）如果已知B同学采用了简单随机抽样的方法调查该校全体高中学生的身高情况，样本量为100，其样

本平均数为𝑥

3

，能否认为𝑥

1

比𝑥

3

更接近总体平均身高，说明理由．

第3页（共18页）

20．（14分）在△ABC中，𝑎=2

√

2

，

𝑎

2

+𝑐

2

−𝑏

2

=

√

2𝑎𝑐．

（1）若𝑏=

√

5，求sinC；

（2）若△ABC存在且唯一确定，求b的取值范围．

21．（15分）如图1，四边形ABCD是矩形，将△ADC沿对角线AC折起成△AD'C，连接D'B，如图2，构

成三棱锥D'﹣ABC．过动点D'作平面ABC的垂线D'O，垂足是O．

（1）当O落在何处时，平面AD'C⊥平面ABC，并说明理由；

（2）在三棱锥D'﹣ABC中，若AD'＝BD'，P为D'A的中点，判断直线OP与平面BD'C的位置关系，并说

明理由；

（3）设T是△ABC及其内部的点构成的集合，AB＝2，BC＝1，当O∈T时，求三棱锥D'﹣ABC的体积的

取值范围．

第4页（共18页）

2021-2022学年北京市大兴区高一（下）期末数学试卷

参考答案与试题解析

一、选择题共10小题，每小题4分，共40分.在每小题列出的四个选项中，选出符合题目要求的一项.

1．1，2，3，4，5，5这组数据的第50百分位数是（ ）

A．3 B．3.5 C．4 D．5

解：1，2，3，4，5，5这组数据共计6个，所以6×50%＝3，

故第50百分位数是

故选：B．

2．在复平面内，复数z对应的点的坐标是（2，1），则𝑧=（ ）

A．2﹣i B．1﹣2i C．2+i D．1+2i

3+4

2

=3.5，

解：∵复数z对应的点的坐标是（2，1），

∴z＝2+i，

∴𝑧=2−𝑖．

故选：A．

3．抛掷一枚硬币两次，则至少有一次正面朝上的概率是（ ）

A．

4

1

B．

3

1

C．

2

1

2

1

D．

4

3

解：抛掷一枚硬币两次，则全部是反面朝上的概率为

故至少有一次正面朝上的概率为 1−=，

故选：D．

1

4

3

4

×

1

2

=，

4

1

4．已知𝑒

1

，

𝑒

2

是单位向量，且𝑒

1

⊥𝑒

2

，则下列结论正确的是（ ）

A．𝑒

1

=𝑒

2

C．(𝑒

1

+𝑒

2

)

2

=2

解：根据题意，依次分析选项：

对于A，𝑒

1

⊥𝑒

2

，则𝑒

1

，

𝑒

2

方向不同，A错误；

对于B，|𝑒

1

|+|𝑒

2

|＝1+1＝2，B错误；

对于C，𝑒

1

⊥𝑒

2

，则𝑒

1

•𝑒

2

=0，则有（𝑒

1

+𝑒

2

）

2

=𝑒

1

2

+𝑒

2

2

+2𝑒

1

•𝑒

2

=2，C正确；

对于D，𝑒

1

⊥𝑒

2

，则𝑒

1

•𝑒

2

=0，则有（𝑒

1

−𝑒

2

）

2

=𝑒

1

2

+𝑒

2

2

﹣2𝑒

1

•𝑒

2

=2，则|𝑒

1

−𝑒

2

|=

√

2，D错误；

第5页（共18页）

→→→→

→→

B．|𝑒

1

|+|𝑒

2

|=1

D．|𝑒

1

−𝑒

2

|=2

→→

→→

→→

→→→→

→→

→→→→→→→→→→

→→→→→→→→→→→→

故选：C．

5．如图，A，B两点在河的两岸，在B同侧的河岸边选取点C，测得BC的距离10m，∠ABC＝75°，∠

ACB＝60°，则A，B两点间的距离为（ ）

A．5

√

2𝑚 B．5

√

3𝑚 C．5

√

5𝑚 D．5

√

6𝑚

解：在△ABC中，∠ABC＝75°，∠ACB＝60°，可得∠CAB＝180°﹣60°﹣75°＝45°，

又因为得BC＝10m，由正弦定理可得：

√

3

𝐵𝐶

𝑠𝑖𝑛∠𝐶𝐴𝐵

=

𝐴𝐵

𝑠𝑖𝑛∠𝐴𝐶𝐵

，

𝑠𝑖𝑛∠𝐴𝐶𝐵

2

可得AB=•BC=

√

•10＝5

√

6，

𝑠𝑖𝑛∠𝐶𝐴𝐵

2

2

故选：D．

6．一个袋中只装有红球、黄球和蓝球，从中随机摸出一个球，若摸出红球的概率为0.5，摸出黄球的概率

为0.4，则摸出红球或蓝球的概率是（ ）

A．0.1 B．0.3 C．0.6 D．0.9

解：由题意可得，摸出蓝球的概率为1﹣0.5﹣0.4＝0.1，

则摸出红球或蓝球的概率是0.5+0.1＝0.6．

故选：C．

7．已知点O（0，0），A（﹣1，2），B（1，1），则𝑂𝐴

与𝐴𝐵的夹角的余弦值为（ ）

A．−

5

4

→→

B．

5

4

C．−

10

3

D．

3

10

解：∵O（0，0），A（﹣1，2），B（1，1），

∴𝑂𝐴=（﹣1，2），𝐴𝐵=（2，﹣1），

故cos

＜

𝑂𝐴，𝐴𝐵

＞

=

故选：A．

8．“直线l∥平面α”是“平面α内存在无数条直线都与直线l平行”的（ ）

A．充分而不必要条件

C．充分必要条件

B．必要而不充分条件

→→

→→

−1×2+2×(−1)

√

(−1)

2

+2

2

⋅

√

2

2

+(−1)

2

=−

5

，

4

D．既不充分也不必要条件

解：①若直线l∥平面α，则l⊂β，α∩β＝m时，l∥m，则平面α内与直线m平行的直线都与直线l平

第6页（共18页）

行，

∴平面α内存在无数条直线都与直线l平行，∴充分性成立，

②若平面α内存在无数条直线都与直线l平行，则l∥平面α或l⊂α，∴必要性不成立，

∴“直线l∥平面α”是“平面α内存在无数条直线都与直线l平行”的充分不必要条件，

故选：A．

9．已知向量𝑎

，

𝑏满足2≤𝑎⋅𝑏≤4，且|𝑎|=2，则|𝑏|的取值范围是（ ）

A．（0，1）

→

→

→

→

→

→

→

→

B．[1+∞）

𝜋

2

C．[2，+∞） D．[0，2]

解：设向量𝑎与𝑏的夹角为θ，θ∈[0，），

→

→

𝑎•𝑏=|𝑎

|•|𝑏|cosθ＝2•|𝑏|cosθ，

因为2≤𝑎⋅𝑏≤4，

所以2≤2•|𝑏

|cosθ≤4，即1≤|𝑏|cosθ≤2，

0

＜

𝑥≤1

→

1

0

＜

𝑥≤1

设cosθ＝x，|𝑏

|＝y，则{

，即

𝑦≥

𝑥

，

1≤𝑥𝑦≤2

𝑦≤

2

{

𝑥

作出可行域，如图所示，

→→

→

→

→

→→

由图可得，y≥1，

所以|𝑏

|≥1．

故选：B．

10．如图，在正方体ABCD﹣A

1

B

1

C

1

D

1

中，M是棱AB的中点．令直线D

1

M与AA

1

所成的角为θ

1

，直线

D

1

M与平面A

1

B

1

C

1

D

1

所成的角为θ

2

，二面角D

1

﹣AM﹣C的平面角为θ

3

，则（ ）

→

第7页（共18页）

A．θ

1

＞θ

2

＝θ

3

B．θ

1

＞θ

3

＞θ

2

C．θ

1

＝θ

2

＜θ

3

D．θ

1

＜θ

3

＜θ

2

解：取A

1

B

1

的中点N，连接如图，

易得AA

1

∥MN，故直线D

1

M与AA

1

所成的角θ

1

＝∠D

1

MN，

又直线D

1

D⊥平面A

1

B

1

C

1

D

1

，

故直线D

1

M与平面A

1

B

1

C

1

D

1

所成的角为θ

2

＝∠D

1

MD，

又AB⊥平面AA

1

D

1

D，

故二面角D

1

﹣AM﹣C的平面角为θ

3

＝∠D

1

AD＝45°，

111111

因为𝑡𝑎𝑛𝜃

1

=

𝑀𝑁

＞

𝑀𝑁

=1

，

𝑡𝑎𝑛𝜃

3

=1

，

𝑡𝑎𝑛𝜃

2

=

𝑀𝐷

＜

𝐴𝐷

=1，

𝐷𝑁𝐷𝐴𝐷𝐷𝐷𝐴

故tanθ

1

＞tanθ

3

＞tanθ

2

，

又θ

1

，θ

2

，θ

3

均为锐角，故θ

1

＞θ

3

＞θ

2

．

故选：B．

二、填空题共5小题，每小题5分，共25分.

11．若𝑎

=(1

，

2)与𝑏=(−3

，

𝑥)是共线向量，则x＝ ﹣6 ．

解：∵𝑎=(1

，

2)与𝑏=(−3

，

𝑥)是共线向量，

∴

−3

1

→

→

→

→

=，

2

𝑥

则x＝﹣6．

故答案为：﹣6．

12．若复数z满足i•z＝1+i，则z＝ 1﹣i ；|z|＝

√

2 ．

解：∵i•z＝1+i，

∴𝑧=

𝑖

=

1+𝑖(1+𝑖)𝑖

=1−𝑖，

𝑖

2

∴|𝑧|=

√1

2

+(−1)

2

=

√

2．

故答案为：1﹣i；

√

2．

13．一组样本数据的频率分布直方图如图所示，由此图，估计总体数据不低于30的概率为 0.55 ；估

计总体数据的第80百分位数是 38.75 ．

第8页（共18页）

解：数据在10～20之间的频率为：0.015×10＝0.15；

数据在20～30之间的频率为：0.03×10＝0.3；

数据在40～50之间的频率为：0.015×10＝0.15；

数据在30～40之间的频率为：1﹣0.15﹣0.3﹣0.15＝0.4；

所以总体数据不低于30的概率为：0.4+0.15＝0.55；

数据在10～40之间的频率为：1﹣0.15﹣0.85＝85%，数据在10～30之间的频率为：0.15+0.3﹣0.45＝

45%因此总体数据的第80百分位数一定位于30～40之间．

由30+10×

0.85−0.45

=38.75，可以估计估计总体数据的第80百分位数是38.75．

故答案为：0.55；38.75．

14．已知直线m和平面α，β．给出下列三个论断：

①m∥α； ②α∥β； ③m⊂β．

以其中的两个论断作为条件，余下的一个论断作为结论，写出一个正确的命题： 若α∥β，m⊂β，则

m∥α ．

解：①②作条件，③作结论：

若m∥α，α∥β，则m⊂β，此命题是假命题，结论应该是m⊂β或m∥β；

①③作条件，②作结论：

若m∥α，m⊂β，则α∥β，此命题是假命题，结论应该是α，β相交或平行；

②③作条件，①作结论：

若α∥β，m⊂β，则m∥α，由两平面平行的性质定理得此命题是真命题．

故答案为：若α∥β，m⊂β，则m∥α．

15．已知以O为起点的向量𝑎

，

𝑏在正方形网格中的位置如图所示，网格纸上小正方形的边长为1．

①𝑎⋅(𝑎−𝑏)= 2 ．

②设集合𝑀={𝑃|𝑂𝑃=𝜆𝑎+𝜇𝑏

，

0≤𝜆≤1

，

1≤𝜇≤2}，则M表示的区域的面积为 4 ．

→

→

→

→→

→

→

→

0.80−0.45

第9页（共18页）