2024年3月31日发(作者:月光启蒙)
江苏省连云港市灌南县、灌云县2022-2023学年高二上学期
期末联考数学试题
学校:___________姓名:___________班级:___________考号:___________
一、单选题
1.已知直线l过
A
1,3
、
B
1,1
两点,则直线l的倾斜角的大小为(
A.
)
4
B.
3
C.
2
3
D.
2.在等比数列
{
a
n
}
中,
a
3
,a
7
是函数
则
a
5
=(
A
.
2
或
2
)
B
.
2
1
3
f
(
x
)
x
4
x
2
4
x
1
的极值点,
3
C
.
2
D
.
22
)
3
4
3.若抛物线
y
2
8x
上的点
M
到焦点的距离为8,则点
M
到
y
轴的距离是(
A.4B.6C.8
)
D.10
(
x
1)
2
(
y
1)
2
9
4.方程组
2
的解的个数是(
2
x
y
8
x
6
y
9
0
A.2B.1C.0D.不确定
)
D.16
5.若
a
n
为等差数列,其前n项和为
S
n
,S
4
2
,S
8
6
,则
S
12
(
A.10B.12C.14
6
.宁启铁路线新开行
“
绿巨人
”
动力集中复兴号动车组,最高时速为
160km/h
.假设
“
绿
巨人
”
开出站一段时间内,速度
v(m/s)
与行驶时间
t(s)
的关系为
v6.6t0.6t
2
,则出站后
“
绿巨人
”
速度首次达到
48m/s
时加速度为(
A
.
12.6m/s
2
B
.
14.6m/s
2
)
C
.
14.8m/s
2
D
.
16.8m/s
2
x
2
y
2
7.已知椭圆方程为
2
2
1
a
b
0
,点
0,1
在椭圆上,右焦点为F,过原点的直
ab
线与椭圆交于A,B两点,若
AFBF4
,则椭圆的方程为()
x
2
A.
y
2
1
4
x
2
y
2
C.
1
32
x
2
B.
y
2
1
2
x
2
y
2
D.
1
43
2
x
4,
x
0
8.已知函数
f
x
,关于
x
的方程
f
x
a
恰有两个不等实根
ln
x
,
x
0
x
1
,x
2
x
1
x
2
,则
x
1
x
2
的最小值为()
试卷第1页,共4页
e
A.
3
e
2
B.
2
C.
2e
e
3
D.
2
二、多选题
9
.定义在
R
上的函数
yf(x)
的导函数的图像如图所示,则下列说法正确的是()
A
.函数
yf(x)
在
(3,5)
上单调递减
B
.
f(0)f(3)
C
.函数
yf(x)
在
x
=
5
处取得极小值
D
.函数
yf(x)
存在最小值
10.已知直线
l:
m2
xym10
,圆
C:x
2
y
2
4x50
,则(
A.圆
C
的圆心为
(2,0)
C
.圆心到直线
l
的最大距离为
2
B.直线
l
过定点
1,1
D
.无论
m
取何值,直线
l
与圆
C
相交
)
x
2
y
2
11.已知双曲线
C
:
2
2
1(
a
0,
b
0)
经过点
M(3,2)
,并且它的一条渐近线被圆
ab
(x2)
2
y
2
4
所截得的弦长为
23
,则下列结论正确的是()
A.双曲线
C
的离心率为
23
3
B.双曲线
C
的渐近线为
y3x
C.若双曲线
C
的顶点为
A,B
,则
k
AM
k
BM
D.直线
x2y10
与
C
有两个公共点
12
.分形几何学是一门以不规则几何形态为研究对象的几何学,分形的外表结构极为复
杂,但其内部却是有规律可寻的,一个数学意义上的分形的生成是基于一个不断迭代的
方程式,即一种基于递归的反馈系统
.
下面我们用分形的方法得到一系列图形,如图
1
,
在长度为
1
的线段
AB
上取两个点
C
、
D
,使得
ACDB
1
AB
,以
CD
为边在线段
AB
4
1
3
的上方做一个正方形,然后擦掉
CD
,就得到图形
2
;对图形
2
中的最上方的线段
EF
作
,同样的操作,得到图形
3
;依次类推,我们就得到以下的一系列图形设图
1
,图
2
,图
3,
试卷第2页,共4页
图
n
,各图中的线段长度和为
a
n
,数列
a
n
的前
n
项和为
S
n
,则()
A.
a
n
1
a
n
B.
S
5
89
8
1
2
n
C.
a
n
3
恒成立
D.存在正数
m
,数列
{3
a
n
}
的前
n
项和
T
n
m
恒成立
三、填空题
1
13.曲线
ylnx1
的一条切线的斜率为(
e
为自然对数的底数),该切线的方程为____.
e
14.诺沃尔(Knowall)在1740年发现了一颗彗星,并推算出在1823年、1906年、1989
年……人类都可以看到这颗彗星,即彗星每隔83年出现一次.从发现那次算起,彗星
第10次出现的年份是___________.
x
2
y
2
15.设
k
为实数,已知双曲线
1
的离心率
e(2,3)
,则
k
的取值范围为
4
k
_____________
四、双空题
16
.已知扇形
OAB
的半径为
4
,圆心角为
2
(02
π)
,作扇形
OAB
的内切圆
P
,再
在扇形内作一个与扇形两个半径
OA,OB
相切且与圆
P
外切的小圆
Q
,则小圆
Q
半径的
最大值为
____________
,此时圆
P
的面积为
_____________
五、解答题
试卷第3页,共4页
17.已知函数
f(x)x
3
ax
2
(1)
若
f
(1)3
,求函数
f(x)
在区间
[0,2]
上的最大值;
(2)
若函数
f(x)
在区间
[1,2]
上为增函数,求实数
a
的取值范围.
*
18.在数列
{
a
n
}
中,
a
1
2
,
a
n
1
2
a
n
2(
n
N
)
(1)证明:数列
{
a
n
2}
是等比数列;
(2)若
b
n
log
2
(
a
n
2)
,
c
n
bb
,求数列
{
c
n
}
的前n项和Sn.
nn
1
19.已知圆
O:x
2
y
2
1
,抛物线
C:y
2
2px
的焦点坐标为
F(2,0)
(1)过圆
O
外一点
P
作直线
PQ
与圆
O
相切于点
Q
,且
PQ2PF
,求点
P
的轨迹方程;
(2)
过点
F
与圆
O
相切的直线交抛物线
C
于
A,B
两点,求
|AB|
.
20.已知数列
a
n
的前n项和
S
n
n
2
n
,递增等比数列
b
n
满足
b
2
a
1
,且
1
2
b
n
2
b
n
5
b
n
1
.
(1)求数列
a
n
,
b
n
的通项公式;
(2)求数列
a
n
b
n
的前n项和为
T
n
.
x
2
x
2
y
2
21.已知椭圆
C
:
2
2
1(
a
b
0)
与双曲线
y
2
1
有相同的焦点,椭圆
C
上任一
2
ab
点到两个焦点的距离之和为4,直线
l
:
y
(1)
求椭圆
C
的方程;
(2)椭圆
C
上是否存在定点
M(x
0
,y
0
)
,使得直线
MA
的倾斜角与直线
MB
的倾斜角互补,
若存在,求出
M
点的坐标,若不存在,请说明理由.
22
.已知函数
f(x)alnx
.
(1)记函数
g(x)x
(2)设
h(x)f(x)x
自然对数的底数).
2
3
xm
与椭圆
C
相交于
A,B
两点.
2
(a2)xf(x)
,当
a2
时,讨论函数
g(x)
的单调性;
2
22
,若
h(x)
存在两个不同的零点
x
1
,x
2
,证明:
2eax
1
x
2
(
e
为
试卷第4页,共4页
参考答案:
1.D
【分析】利用两点的斜率公式即可得到答案.
【详解】
tan
故选:D.
2.C
【分析】根据题意可知:
a
3
,a
7
是方程
f
(x)0
的两根,利用韦达定理和等比数列的性质即
可求解
.
3
13
1
1
14
1
3
【详解】因为
f
(
x
)
x
4
x
2
4
x
1
,所以
f
(x)x8x4
.
3
1
3
又因为
a,a
是函数
f
(
x
)
x
4
x
2
4
x
1
的极值点,
3
2
37
即
a
3
,a
7
是方程
f
(x)x
2
8x40
的两根,则有
a
3
a
7
4
,
2
由
{
a
n
}
为等比数列可知:
a
5
a
3
a
7
4
,因为
a
3
a
7
80
,且
a
3
a
7
4
,所以
a
3
0,a
7
0
,
则有
a
5
0
,所以
a
5
2
,
故选:
C
.
3.B
【分析】求出焦点坐标和准线方程,利用抛物线定义列出方程,求出点
M
到
y
轴的距离
.
【详解】
y
2
8x
的焦点坐标为
2,0
,准线方程为
x2
,
由抛物线定义可知:点
M
到焦点的距离等于到准线的距离,
即
x
M
2
8
,解得:
x
M
6
,
即点
M
到
y
轴的距离是
6.
故选:B
4.A
【分析】记
C
1
:(x1)
2
(y1)
2
9,C
2
:
x4
y3
16
,得
r
1
r
2
C
1
C
2
r
1
r
2
即可
解决
.
22
答案第
1
页,共
13
页
22
(
x
1)
(
y
1)
9
【详解】由题得,
,
22
x
4
y
3
16
记
C
1
:(x1)
2
(y1)
2
9,C
2
:
x4
y3
16
,
所以
C
1
(1,1),r
1
3,C
2
(4,3),r
2
4
,
所以
C
1
C
2
9165,r
1
r
2
1,r
1
r
2
7
,
因为
r
1
r
2
C
1
C
2
r
1
r
2
,
所以
C
1
与
C
2
相交,两圆有两个交点,
22
(
x
1)
2
(
y
1)
2
9
所以方程组
2
的解的个数是2,
2
x
y
8
x
6
y
9
0
故选:A
5.B
【分析】利用等差数列的性质可得
S
4
,S
8
S
4
,S
12
S
8
成等差数列,即可求得答案
【详解】因为
S
4
,S
8
S
4
,S
12
S
8
成等差数列,
故
2
S
8
S
4
S
4
S
12
S
8
,即
242S
12
6
,得
S
12
12
.
故选:B
6.A
【分析】通过求导,利用导数的运算、导数的瞬时变化率进行求解.
【详解】因为
v6.6t0.6t
2
,所以
v
6.61.2t
,
当
v48
时,得
486.6t0.6t
2
,即
t
2
+11t800
,
解得
t=5
或
t16
(舍去
)
,
故当
t=5
时,
v
6.61.25=12.6
,
即速度首次达到
48m/s
时加速度为
12.6m/s
2
,
故选:A.
7.A
【分析】根据椭圆的性质可得
a,b
,则椭圆方程可求
.
【详解】由点
0,1
在椭圆上得
b1
,
答案第
2
页,共
13
页
由椭圆的对称性可得
AFBF2a4
,则
a2
,
x
2
故椭圆方程为
y
2
1
.
4
故选:A.
8.D
【分析】数形结合得
2x
1
4lnx
2
,即
x
1
g
(
x
)
ln
x
2
4
x
ln
x
2
2
x
2
,转化为函数
,
x
1
x
2
2
22
x
ln
x
2
x
,求
g(x)
的最小值即可得到答案.
2
【详解】函数
f(x)
的图象如图所示,
已知关于
x
的方程
f
x
a
恰有两个不等实根
x
1
,x
2
x
1
x
2
,则
2x
1
4lnx
2
,则
x
1
ln
x
2
4
2
ln
x
2
4
x
ln
x
2
x
2
2
2
x
2
22
x
ln
x
2
x
2
x
1
x
2
设函数
g
(
x
)
'
则
g
(
x
)
ln
x
3
,
2
x
0,e
3
,g
'
(x)0,g(x)
单调递减
x
e
3
,
,g
'
(x)0,g(x)
单调递增
3e
3
e
3
3
则
g(x)
的最小值为
g
(e)
2e
.
22
3
故选:D.
9.ACD
【分析】借助导数图像的正负性即可分析原函数的单调性.
【详解】
f
(x)0
在
(3,5)
恒成立,则
f(x)
在
(3,5)
上单调递减,故
A
正确;
答案第
3
页,共
13
页
f
(x)0
在
1,3
恒成立,则
f(x)
在
1,3
上单调递增,
则
f(0)f(3)
,故
B
错误;
(3,5)
上
f
(x)0
,
(5,)
上
f
(x)0
,
则函数
yf(x)
在
x
=
5
处取得极小值,故
C
正确
;
由导数图可知
f(x)
在
(,1)
上递减,
f(x)
在
(1,3)
上递增,
f(x)
在
(3,5)
上递减,
f(x)
在
(5,)
上递增,
故
f(x)
min
在两个极小值
f(5)
和
f(1)
中产生,故存在最小值,故
D
正确
;
故选:ACD.
10.BCD
【分析】将圆的标准方程转化为一般方程可判断A,求出直线恒过的定点可判断B,C,D.
【详解】由题可得
C:
x2
y
2
9
,所以圆
C
的圆心为
(2,0)
,故A错误;
由
m2
xym10
的
2xy1m
x1
0
,
2
2
x
y
1
0
联立
解得
x1,y1
,所以直线
l
过定点
1,1
,故B正确;
x
1
0
直线
l
过定点为
P
1,1
,当
CPl
时,
圆心到直线
l
的距离最大为
CP112
,故
C
正确;
因为
CP1123
,所以直线
l
过定点
1,1
在圆内,
所以无论
m
取何值,直线
l
与圆
C
相交,故
D
正确;
故选:BCD.
11.AC
x
2
y
1
0
x
2
【分析】根据题意解得双曲线方程为
C
:
y
2
1
,即可判断ABC,联立方程
x
2
,
2
3
y
1
3
消去
x
得
y
2
22y20
,由
Δ0
即可判断D.
x
2
y
2
【详解】由题知,双曲线
C
:
2
2
1(
a
0,
b
0)
,焦点在
x
轴上,
ab
所以渐近线方程为
y
b
x
,即
bxay0
,
a
因为圆
(x2)
2
y
2
4
,
答案第
4
页,共
13
页
所以圆心为
2,0
,半径为
r2
,
x
2
y
2
因为双曲线
C
:
2
2
1(
a
0,
b
0)
经过点
M(3,2)
,
ab
并且它的一条渐近线记为
bxay0
被圆
(x2)
2
y
2
4
所截得的弦长为
23
,
所以圆心到
bxay0
的距离为
d
所以
2324d
2
,解得
d
所以
ac
2
b
2
所以
2b
b
2
a
2
2b
,
c
2
b
1
,即
c2b
,
c
4b
2
b
2
3b
,
92
1
,解得
b1
,
3
b
2
b
2
x
2
所以
a3,c2
,即双曲线方程为
C
:
y
2
1
,
3
所以双曲线
C
的离心率为
故A正确,B错误;
因为双曲线
C
的顶点为
A(3,0),B(3,0)
,
b
3
c
23
,双曲线
C
的渐近线为
y
x
x
,
a
3
a
3
所以
k
AM
k
BM
2
3
33
3
2
21
,故C正确;
9
33
x
2
y
1
0
x
得
y
2
22y20
,
联立方程
x
2
,消去
2
y
1
3
因为
224120
,
所以直线
x2y10
与
C
有1个公共点,故D错误;
故选:AC
12.BCD
【分析】根据题意分析可得
a
n
1
a
n
1
1
a
3
n
2
,即可判断A、C,
n
1
,利用累加法可得
n
2
2
2
在利用分组求和求数列
a
n
的前
n
项和为
S
n
,即可判断B,再利用等比数列求和求数列
{3
a
n
}
的前
n
项和
T
n
,即可判断D.
【详解】由题意可得:图
n1
最上方的线段长度是图
n
最上方的线段长度的
2
,则图
n
最上
1
答案第
5
页,共
13
页
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