江苏省连云港市灌云县2024年高三下学期期末“3+1”质量调研数学试题

2024年3月31日发(作者：桂平旅游)

江苏省连云港市灌云县2024年高三下学期期末“3+1”质量调研数学试题

请考生注意：

1．请用2B铅笔将选择题答案涂填在答题纸相应位置上，请用0．5毫米及以上黑色字迹的钢笔或签字笔将主观题的答

案写在答题纸相应的答题区内。写在试题卷、草稿纸上均无效。

2．答题前，认真阅读答题纸上的《注意事项》，按规定答题。

一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。

1．已知

alog

3

74

，

blog

2

m

，

c

A

．

4 B

．

23

5

，若

abc

，则正数

m

可以为（

）

2

C

．

8 D

．

17

x

2

y

2

2．已知双曲线

C:

2



2

1

（

a0

，

b0

），以点

P

（

b,0

）为圆心，

a

为半径作圆

P

，圆

P

与双曲线

C

的一条

ab

渐近线交于

M

，

N

两点，若

MPN90

，则

C

的离心率为（ ）

A

．

2

B

．

3

C

．

5

2

D

．

7

2

*

3．记

S

n

为数列



a

n



的前

n

项和数列



a

n



对任意的

p,qN

满足

a

pq

a

p

a

q

13

.

若

a

3

7

，则当

S

n

取最小值时，

n

等于（

）

A

．

6 B

．

7 C

．

8 D

．

9

4．甲乙丙丁四人中，甲说：我年纪最大，乙说：我年纪最大，丙说：乙年纪最大，丁说：我不是年纪最大的，若这四

人中只有一个人说的是真话，则年纪最大的是（

）

A

．甲

B

．乙

C

．丙

D

．丁



a,ab

11

ab

g(x)

5．定义，已知函数

f(x)

，，则函数

F(x)f(x)g(x)

的最小值



22

2sinx2cosx



b,ab

为（

）

A

．

2

3

B

．

1

C

．

4

3

D

．

2

6．以下三个命题：①在匀速传递的产品生产流水线上，质检员每

10

分钟从中抽取一件产品进行某项指标检测，这样

的抽样是分层抽样；②若两个变量的线性相关性越强，则相关系数的绝对值越接近于

1

；③对分类变量

X

与

Y

的随机

变量

k

2

的观测值

k

来说，

k

越小，判断

“

X

与

Y

有关系

”

的把握越大；其中真命题的个数为（

）

A

．

3 B

．

2 C

．

1 D

．

0

7．对某两名高三学生在连续

9

次数学测试中的成绩（单位：分）进行统计得到折线图，下面是关于这两位同学的数学

成绩分析．

①甲同学的成绩折线图具有较好的对称性，故平均成绩为130

分；

②根据甲同学成绩折线图提供的数据进行统计，估计该同学平均成绩在区间

③乙同学的数学成绩与测试次号具有比较明显的线性相关性，且为正相关；

④乙同学连续九次测验成绩每一次均有明显进步．

其中正确的个数为（ ）

A

．

B

．

C

．

D

．

内；

8．运行如图程序，则输出的

S

的值为（ ）

A

．

0 B

．

1 C

．

2018 D

．

2017

9．已知

α

，

β

表示两个不同的平面，

l

为

α

内的一条直线，则

“α∥β

是

“l∥β”

的（

）

A

．充分不必要条件

B

．必要不充分条件

C

．充要条件

D

．既不充分也不必要条件

10．在

ABC

中，

D

在边

AC

上满足

AD

A

．

73

BABC

88

B

．

BA

3

8

7

BC

8

1

DC

，

E

为

BD

的中点，则

CE

（

）

.

3

3773

C

．

BABC

D

．

BABC

8888

11．根据党中央关于

“

精准

”

脱贫的要求，我市某农业经济部门派四位专家对三个县区进行调研，每个县区至少派一位

专家，则甲，乙两位专家派遣至同一县区的概率为（ ）

A

．

1

6

B

．

1

4

C

．

1

3

D

．

1

2

12．过抛物线

C

的焦点且与

C

的对称轴垂直的直线

l

与

C

交于

A

，

B

两点，

|AB|4

，

P

为

C

的准线上的一点，则

ABP

的面积为（

）

A

．

1 B

．

2 C

．

4 D

．

8

二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。

13．已知单位向量

a,b

的夹角为

2π

,

则

|a2b|

=_________.

3

14．已知关于

x

的不等式（

ax

﹣

a

2

﹣

4

）（

x

﹣

4

）＞

0

的解集为

A

，且

A

中共含有

n

个整数，则当

n

最小时实数

a

的值

为

_____

．



2

x

1,x0

3

f(x)

15．已知函数，若关于

x

的方程

f(x)xa

有且只有两个不相等的实数根，则实数

a



2



f(x2),x0

的取值范围是

_______________.



xy20



16．设

x

、

y

满足约束条件



xy20

，若

z2xy

的最小值是

1

，则

m

的值为

__________.



ym0



三、解答题：共70分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。

17．（12分）某工厂为提高生产效率，需引进一条新的生产线投入生产，现有两条生产线可供选择，生产线①：有

A

，

B

两道独立运行的生产工序，且两道工序出现故障的概率依次是

0.02

，

0.03.

若两道工序都没有出现故障，则生产成本

为

15

万元；若

A

工序出现故障，则生产成本增加

2

万元；若

B

工序出现故障，则生产成本增加

3

万元；若

A

，

B

两

道工序都出现故障，则生产成本增加

5

万元

.

生产线②：有

a

，

b

两道独立运行的生产工序，且两道工序出现故障的概

0.01.

若两道工序都没有出现故障，率依次是

0.04

，则生产成本为

14

万元；若

a

工序出现故障，则生产成本增加

8

万元；

若

b

工序出现故障，则生产成本增加

5

万元；若

a

，

b

两道工序都出现故障，则生产成本增加

13

万元

.

（

1

）若选择生产线①，求生产成本恰好为

18

万元的概率；

（

2

）为最大限度节约生产成本，你会给工厂建议选择哪条生产线？请说明理由

.



18．（12分）设函数

f(x)ax(2cosx)sinx

，

f(x)

是函数

f(x)

的导数

.







（

1

）若

a1

，证明

f



(x)

在区间



,



上没有零点；



22



（

2

）在

x(0,)

上

f(x)0

恒成立，求

a

的取值范围

.

2na

n

2

n1

.

19．（12分）已知首项为

2

的数列



a

n



满足

a

n1



n1

（

1

）证明：数列





na

n



n



是等差数列．

2



（

2

）令

b

n

a

n

n

，求数列



b

n



的前

n

项和

S

n

.

20．（12分）眼保健操是一种眼睛的保健体操，主要是通过按摩眼部穴位，调整眼及头部的血液循环，调节肌肉，改

善眼的疲劳，达到预防近视等眼部疾病的目的

.

某学校为了调查推广眼保健操对改善学生视力的效果，在应届高三的全

体

800

名学生中随机抽取了

100

名学生进行视力检查，并得到如图的频率分布直方图

.

（

1

）若直方图中后三组的频数成等差数列，试估计全年级视力在

5.0

以上的人数；

（

2

）为了研究学生的视力与眼保健操是否有关系，对年级不做眼保健操和坚持做眼保健操的学生进行了调查，得到下

表中数据，根据表中的数据，能否在犯错的概率不超过

0.005

的前提下认为视力与眼保健操有关系？

（

3

）在（

2

）中调查的

100

名学生中，按照分层抽样在不近视的学生中抽取

8

人，进一步调查他们良好的护眼习惯，

在这

8

人中任取

2

人，记坚持做眼保健操的学生人数为

X

，求

X

的分布列和数学期望

.

n



adbc



附：

K



ab



cd



ac



bd



2

2

K

2

k

0.10

k

0.05 0.025 0.010 0.005

2.706 3.841 5.024 6.635 7.879

21．（12分）已知函数

f(x)ln(2xa)(x0,a0)

，曲线

yf(x)

在点

(1,f(1))

处的切线在

y

轴上的截距为

ln3

（

1

）求

a

；

（

2

）讨论函数

g(x)f(x)2x(x0)

和

h(x)f(x)

2

.

3

2x

(x0)

的单调性；

2x1

52

n1

1

2

20

(n2)

.

（

3

）设

a

1

,

a

n1

f



a

n



，求证：

2

n

a

n

5

22．（10分）已知函数

f(x)xeae

（

aR

）在定义域内有两个不同的极值点

.

（

1

）求实数

a

的取值范围；

（

2

）若

f(x)

有两个不同的极值点

x

1

，

x

2

，且

x

1

x

2

，若不等式

x

1





x

2

0

恒成立

.

求正实数



的取值范围

.

x2x

参考答案

一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。

1、

C

【解析】

首先根据对数函数的性质求出

a

的取值范围，再代入验证即可；

【详解】

解：∵

3log

3

27alog

3

74log

3

814

，∴当

m8

时，

blog

2

m3

满足

abc

，∴实数

m

可以为

8.

故选：

C

【点睛】

本题考查对数函数的性质的应用，属于基础题

.

2、

A

【解析】

求出双曲线的一条渐近线方程，利用圆

P

与双曲线

C

的一条渐近线交于

M,N

两点，且

MPN90

，则可根据圆心

到渐近线距离为

【详解】

2

a

列出方程，求解离心率．

2

不妨设双曲线

C

的一条渐近线

bxay0

与圆

P

交于

M,N

，

b

2

2

a

，

因为

MPN90

，所以圆心

P

到

bxay0

的距离为：

22

c2

ab

b

2

即

2c

2

2a

2



故选

A

．

【点睛】

2ac

，因为

e

c

1

，所以解得

e2

．

a

本题考查双曲线的简单性质的应用，考查了转化思想以及计算能力，属于中档题．对于离心率求解问题，关键是建立

关于

a,c

的齐次方程，主要有两个思考方向，一方面，可以从几何的角度，结合曲线的几何性质以及题目中的几何关

系建立方程；另一方面，可以从代数的角度，结合曲线方程的性质以及题目中的代数的关系建立方程

.

3、

A

【解析】

先令

p1,q1

，找出

a

2

,a

1

的关系，再令

p1,q2

，得到

a

2

,a

1

,a

3

的关系，从而可求出

a

1

，然后令

pn,q1

，

2

可得

a

n1

a

n

2

，得出数列



a

n



为等差数列，得

S

n

n12n

，可求出

S

n

取最小值

.

【详解】

解法一：由

a

3

a

1

a

2

13



a

1

13







2a

1

13



7

，所以

a

1

11

，由条件可得，对任意的



a

n

0,

1113

nN,a

n1

a

n

a

1

13a

n

2

，

n

所以



a

n



是等差数列，

a

n

2n13

，要使

S

n

最小，由



解得，

a0

22



n1

*

则

n6

.

解法二：由赋值法易求得

a

1

11,a

2

9,a

3

7,

故选：

A

【点睛】

此题考查的是由数列的递推式求数列的通项，采用了赋值法，属于中档题

.

4、

C

【解析】

分别假设甲乙丙丁说的是真话，结合其他人的说法，看是否只有一个说的是真话，即可求得年纪最大者，即可求得答

案

.

【详解】

①假设甲说的是真话，则年纪最大的是甲，那么乙说谎，丙也说谎，而丁说的是真话，而已知只有一个人说的是真话，

故甲说的不是真话，年纪最大的不是甲；

②假设乙说的是真话，则年纪最大的是乙，那么甲说谎，丙说真话，丁也说真话，而已知只有一个人说的是真话，故

乙说谎，年纪最大的也不是乙；

③假设丙说的是真话，则年纪最大的是乙，所以乙说真话，甲说谎，丁说的是真话，而已知只有一个人说的是真话，

,a

n

2n13,S

n

n

2

12n

，可知当

n6

时，

S

n

取最小值

.

故丙在说谎，年纪最大的也不是乙；

④假设丁说的是真话，则年纪最大的不是丁，而已知只有一个人说的是真话，那么甲也说谎，说明甲也不是年纪最大

的，同时乙也说谎，说明乙也不是年纪最大的，年纪最大的只有一人，所以只有丙才是年纪最大的，故假设成立，年

纪最大的是丙

.

综上所述，年纪最大的是丙

故选：

C.

【点睛】

本题考查合情推理，解题时可从一种情形出发，推理出矛盾的结论，说明这种情形不会发生，考查了分析能力和推理

能力，属于中档题

.

5、

A

【解析】

根据分段函数的定义得

F(x)f(x)

，

F(x)g(x)

，则

2F(x)f(x)g(x)

,

再根据基本不等式构造出相应的所需的

形式，可求得函数的最小值

.

【详解】

依题意得

F(x)f(x)

，

F(x)g(x)

，则

2F(x)f(x)g(x)

,

f(x)g(x)

11111

22

()[(2sinx)(2cosx)]

2222

2sinx2cosx32sinx2cosx

2cos

2

x

2sin

2

x

12cos

2

x2sin

2

x12cos

2

x2sin

2

x4

，即



(2)(22)

(

当且仅当

2

2

2222

2sinx

2cosx

32sinx2cosx32sinx2cosx3

sin

2

xcos

2

x

故选：

A.

【点睛】

本题考查求分段函数的最值，关键在于根据分段函数的定义得出

2F(x)f(x)g(x)

，再由基本不等式求得最值，属

于中档题

.

6、

C

【解析】

根据抽样方式的特征，可判断①；根据相关系数的性质，可判断②；根据独立性检验的方法和步骤，可判断③．

【详解】

①根据抽样是间隔相同，且样本间无明显差异，故①应是系统抽样，即①为假命题；

②两个随机变量相关性越强，则相关系数的绝对值越接近于1

；两个随机变量相关性越弱，则相关系数的绝对值越接

1242

时

“



”

成立

.

此时

,

f(x)g(x)

，

2F(x)

，

F(x)

的最小值为，

2333

近于

0

；故②为真命题；

③对分类变量

X

与

Y

的随机变量

K

2

的观测值

k

来说，

k

越小，

“

X

与

Y

有关系

”

的把握程度越小，故③为假命题．

故选：

C

．

【点睛】

本题以命题的真假判断为载体考查了抽样方法、相关系数、独立性检验等知识点，属于基础题．

7、

C

【解析】

利用图形，判断折线图平均分以及线性相关性，成绩的比较，说明正误即可．

【详解】

①甲同学的成绩折线图具有较好的对称性，最高

分，平均成绩为低于分，①错误；

内，②正确；

②根据甲同学成绩折线图提供的数据进行统计，估计该同学平均成绩在区间

③乙同学的数学成绩与测试次号具有比较明显的线性相关性，且为正相关，③正确；

④乙同学在这连续九次测验中第四次、第七次成绩较上一次成绩有退步，故④不正确．

故选：

C

．

【点睛】

本题考查折线图的应用，线性相关以及平均分的求解，考查转化思想以及计算能力，属于基础题．

8、

D

【解析】

依次运行程序框图给出的程序可得

第一次：

S2017sin

第二次：

S

第三次：

S

第四次：

S

第五次：

S

第六次：

S

9、

A

【解析】

试题分析：利用面面平行和线面平行的定义和性质，结合充分条件和必要条件的定义进行判断．

解：根据题意，由于

α

，

β

表示两个不同的平面，

l

为

α

内的一条直线，由于

“α∥β

，

2018,i3

，不满足条件；

2

3



2018sin201812017,i5

，不满足条件；

2

5



2017sin2018,i7

，不满足条件；

2

7



2018sin201812017,i9

，不满足条件；

2

9



2017sin2018,i11

，不满足条件；

2

11



2018sin201812017,i13

，满足条件，退出循环．输出

1

．选

D

．

2



则根据面面平行的性质定理可知，则必然

α

中任何一条直线平行于另一个平面，条件可以推出结论，反之不成立，

∴“α∥β

是

“l∥β”

的充分不必要条件．

故选

A

．

考点：必要条件、充分条件与充要条件的判断；平面与平面平行的判定．

10、

B

【解析】

由

AD

3113

1

DC

，可得

CDCA

，

CE(CBCD)(CBCA)

，再将

CABABC

代入即可

.

4224

3

【详解】

因为

AD

3113

1

DC

，所以

CDCA

，故

CE(CBCD)(CBCA)

4224

3

37

133

(BCBABC)BABC

.

244

88

故选：

B.

【点睛】

本题考查平面向量的线性运算性质以及平面向量基本定理的应用，是一道基础题

.

11、

A

【解析】

每个县区至少派一位专家，基本事件总数

n36

，甲，乙两位专家派遣至同一县区包含的基本事件个数

m6

，由此

能求出甲，乙两位专家派遣至同一县区的概率

.

【详解】

派四位专家对三个县区进行调研，每个县区至少派一位专家

23

基本事件总数：

nC

4

A

3

36

212

甲，乙两位专家派遣至同一县区包含的基本事件个数：

mC

2

C

3

A

2

6



甲，乙两位专家派遣至同一县区的概率为：

p

本题正确选项：

A

【点睛】

m61



n366

本题考查概率的求法，考查古典概型等基础知识，考查运算求解能力，是基础题

.

12、

C

【解析】

设抛物线的解析式

y2px(p0)

，得焦点为

F



2

p



p



,0



，对称轴为

x

轴，准线为

x

，这样可设

A

点坐标为

2



2





p





,2



，代入抛物线方程可求得

p

，而

P

到直线

AB

的距离为

p

，从而可求得三角形面积．



2



【详解】

设抛物线的解析式

y2px(p0)

，

则焦点为

F



2

p



p



,0



，对称轴为

x

轴，准线为

x

，

2



2



∵

直线

l

经过抛物线的焦点，

A

，

B

是

l

与

C

的交点，

又

ABx

轴，∴可设

A

点坐标为



2

代入

y2px

，解得

p2

，



p



,2



，

2



又∵点

P

在准线上，设过点

P

的

AB

的垂线与

AB

交于点

D

，

|DP|

∴

S

ABP



故应选

C.

【点睛】

pp

p2

，

22

11

|DP||AB|244

.

22

本题考查抛物线的性质，解题时只要设出抛物线的标准方程，就能得出

A

点坐标，从而求得参数

p

的值．本题难度一

般．

二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。

13、

7

【解析】

因为单位向量

a,b

的夹角为

2π

2π1



，所以，所以

ab|a||b|cos

32

3

1

2

|a2b|

=

a

2

4ab4b

2

14()4

=

7

.

14、

-1

【解析】

讨论

a0,a0,a0

三种情况，

a

＜

0

时

,

根据均值不等式得到

a



等号成立的条件得到答案

.

【详解】

已知关于

x

的不等式（

ax

﹣

a

1

﹣

4

）（

x

﹣

4

）＞

0

，

44



（﹣

a



）

≤

﹣

1

aa



a









4







4

，计算



a



①

a

＜

0

时，

[

x

﹣（

a



故解集为（

a



由于

a



44

）

]

（

x

﹣

4

）＜

0

，其中

a

＜

0

，

aa

4

，

4

），

a

44



（﹣

a



）

≤

﹣

1

aa



a









4







4

，



a



4

，即

a

＝﹣

1

时取等号，

a

44

∴

a



的最大值为﹣

4

，当且仅当

a



4

时，

A

中共含有最少个整数，此时实数

a

的值为﹣

1

；

aa

当且仅当﹣

a



②

a

＝

0

时，﹣

4

（

x

﹣

4

）＞

0

，解集为（﹣

∞

，

4

），整数解有无穷多，故

a

＝

0

不符合条件；

44

）

]

（

x

﹣

4

）＞

0

，其中

a



4

，

aa

4

∴故解集为（﹣∞

，

4

）∪（

a



，

+∞

），整数解有无穷多，故

a

＞

0

不符合条件；

a

③

a

＞

0

时，

[

x

﹣（

a



综上所述，

a

＝﹣

1

．

故答案为：﹣

1

．

【点睛】

本题考查了解不等式，均值不等式，意在考查学生的计算能力和综合应用能力

.

15、

(,3)

【解析】

画出函数

f(x)

的图象，再画

y

围．

【详解】

函数

f(x)

的图象如图所示：

3

xa

的图象，求出一个交点时的

a

的值，然后平行移动可得有两个交点时的

a

的范

2

因为方程

f(x)

3

xa

有且只有两个不相等的实数根，

2