维特比算法

2024年3月30日发(作者：mympc)

基于Viterbi算法的GMSK信号解调方法的研究

摘要：高斯最小频移键控（GMSK）具有振幅恒定、相位连续、带宽窄、带外衰减大和对邻近信

道干扰小的特点。维特比算法是用来寻找最优路径上观察值所属的类别，本文重点研究了GMSK信

号的维特比相干解调算法—基于最大似然函数检测（MLSD）的Viterbi相干解调，通过信号状态的

具体表示及路径度量的计算，运用MATLAB仿真绘制出了信号在不同信噪比下的误码率曲线，总结

得出改算法具有良好的抗噪性和抗多径性能。

关键字：高斯最小频移键控；Viterbi算法；最大似然函数检测；误码率

一、引言

GMSK高斯滤波的最小频移键控调制，它是在MSK调制的基础上发展起来的。MSK最小频移

键控是调制指数为1/2的二进制CPFSK连续相位频移键控。MSK信号的包络恒定、相位连续，且相



位在一个码元周期内变化

2

。虽然MSK的功率谱密度在主瓣外衰减较快，但是仍不能满足移动通信

对带外衰减的严格要求，为了使信号的功率谱密度更紧凑，带外辐射更小，频带利用率更高，于是在

MSK调制的基础上提出了GMSK调制方式，即在MSK调制之前加上一个高斯前置滤波器，从而改

善了信号的功率谱特性，缩小带宽，减少带外辐射小和邻近信道干扰，加快带外衰减，使之能达到带

外衰减在60dB以上的通信要求。GMSK调制在移动通信领域得到了广泛的应用，成为了数字通信

中很有优势的一种调制方式，GMSK已经在美国蜂窝数字分组数据系统和欧洲全球通系统中得到应

用。

目前GMSK信号的解调方法有很多。差分解调，主要指一比特差分解调和二比特差分解调，算

法原理简单，但是在多径信道的环境下其误码率都比较高。因为GMSK调制具有非线性的特点，具

有判决反馈或没有反馈的MMSE相干检测方法是GMSK系统的次优解调方法，而基于维特比算法的

最大似然函数检测是GMSK系统的最佳接收机，是一种有发展前景的解调方法。

二、维特比算法

维特比算法（Viterbi algorithm）是一种动态规划算法。它用于寻找最有可能产生观测事件序

列的-维特比路径-隐含状态序列,特别是在马尔可夫信息源上下文和隐马尔可夫模型中。

术语“维特比路径”和“维特比算法”也被用于寻找观察结果最有可能解释相关的动态规划算法。

例如在统计句法分析中动态规划算法可以被用于发现最可能的上下文无关的派生的字符串，有时被称

为“维特比分析”。

维特比算法由安德鲁·维特比(Andrew Viterbi)于1967年提出，用于在数字通信链路中解卷积以

消除噪音。此算法被广泛应用于CDMA和GSM数字蜂窝网络、拨号调制解调器、卫星、深空通信

和802.11无线网络中解卷积码。现今也被常常用于语音识别、关键字识别、计算语言学和生物信息

学中。例如在语音(语音识别)中，声音信号做为观察到的事件序列,而文本字符串,被看作是隐含的产

生声音信号的原因，因此可对声音信号应用维特比算法寻找最有可能的文本字符串。

三、GMSK基本原理

GMSK信号可以表示为式(1)形式，其中

E

为码元能量，

T

b

为码元周期，

f

c

为载波频率，



(t)

为信

号的调制相位。



(t)

的表达式如式(2)所示，

a

k

其中为待调制的NRZI序列，

q(t)

为高斯滤波器的矩形

脉冲响应的积分。

s(t)

2E

cos[2



f

c

t



(t)]

T

b

(1)



(t)



k



aq(tkT)

kb

n

(2)

a

k

1

(3)

t

1

q(t)

2T

b



T

b



g









d





2



(4)





2



B

b



T

b



2



B

b



T

b







1



g(t)



erfc



terfc







t









2



2





2









2ln2





2ln2



(5)

q(t)

的表达式如式(4)所示，其中

g(t)

为高斯滤波器的矩形脉冲响应。

g(t)

表达式如式(5)所示，其

中

B

b

为3dB带宽，由于高斯滤波器的矩形脉冲响应

g(t)

截短了长度

LT

b

，

L

为高斯滤波器的矩形脉冲

响应的截短的码元个数，即码元的关联长度。所以

q(t)

可以表示为式(6)的分段函数的形式。









1

q(t)





2T

b







(L1)T

b

2

t

T

b



(L1)T

b

(L1)T

b



g



d



,t







2



22





(L1)T

b

1

,t

22

0,t

(6)

高斯滤波器的输入脉冲经MSK调制得到GMSK信号，其相位路径由脉冲的形状决定，或者说

在一个码元内已调波相位的变化取决于取其间脉冲的面积。

由于相邻脉冲间有重叠，因此，在决定一个码元内的脉冲面积时，要考虑相邻码元的影响。这样，

在不同码元下会使一个码元内脉冲面积不同，因而对应的相位路径也不同。

GMSK信号的调制原理图如下：

cos

数据输入差分编码

高斯低通

滤波器





数据输出

sin



图1 调制原理

四、GMSK的最大似然检测

n(L1)/2



(t)



kn(L1)/2



a

k

q(tkT

b

)



2

n(L1)/21

k



a

k





(t;a

k

)



n

(7)

将GMSK信号的相位按(7)式分解为关联状态



(t;a

k

)

和相位状态



n

，两者的表达式分别为式(8)和

(9)。

n(L1)/21



(t;a

k

)



kn(L1)/2



a

k

q(tkT

b

)

(8)





n(L1)/21





n





a(mod2



)



k



2

k



(9)

在

tnT

b

时刻，GMSK信号的状态是由相位状态和关联状态共同决定，通常可以表示为

S

n

(



n

,a

n

L1

1

2

,a

n

L1

2

2

,.....a

n

L1

2

)

(10)



n1





n





2

a

n

L1

2

(11)

因此，GMSK信号的状态

S

n

个数为：

N

s

42

L1

(12)

3





其中，4的由来是，



n

共有4种取值0，

2

，



和

2

。

五、基于Viterbi算法的GMSK信号最大似然检测

rts(t,



)n(t)

n(t)

rt

假设接收机检测的信号



，是高斯白噪声，

s(t,



)

是传输的信号，



是接收到

的信号。

其基本思想是：

最大似然检测接收机是使对数似然函数最大化，即Viterbi算法中每一个节点的路径度量（描述

接收信号

r



t



与本地估计产生的信号

s(t,



)

之间的相似程度）。

(k1)T

b

路径度量：

l

k

(



)



0

r(t)s



t,





dt

(13)

(k1)T

b

度量增量：

Z

k

(



)

kT

b



r(t)s(t,



)dt

(14)

当前路径：

l

k

(



)l

k1

(



)Z

k

(



)

(15)

u(t)

为窄带高斯噪声的低通等效波形，则实际传输的信号为：

r



t



s(t,



)n(t)





2E

cos[2



f

c

t



(t)]u(t)cos



cos2



f

c

tu(t)sin



sin2



f

c

t

T

b

2E

cos[2



f

c

t



(t)]x(t)cos2



f

c

ty(t)sin2



f

c

t

T

b



2E



2E







cos



(t)x(t)



cos2



f

c

t



sin



(t)y(t)



sin2



f

c

t



T

b



T

b



I(t)cos2



f

c

tQ(t)sin2



f

c

t

(16)

于是度量增量也可以改写为：

(n1)T

b

(n1)T

b

Z

k

(



)

nT

b



I(t)cos



(t)dt

nT

b



Q(t)sin



(t)dt

(17)

Viterbi算法是在固定码元时间内找出格状图中累积的度量增量最大的那条路径作为幸存路径。

具体算法如下：

(n1)T

b

(n1)T

b

1、利用

Z

k

(



)

nT

b



I(t)cos



(t)dt

nT

b



Q(t)sin



(t)dt

在

(k1)T

b

时刻计算进入状态

S

k1

(i)

的度量增量。

2、把当前增量

Z

k1

(



)

与

kT

b

时刻的路径度量相加，得到

(k1)T

b

时刻的路径度量，记作

l

k

j

1

(



k1

),j1,2

。

3、比较路径度量，选择值最大的路径作为幸存路径，排除另外一条路径。

4、当所有信号状态经过(1)-(3)后，每个状态将只有一条幸存路径，并保存路径信息和路径度量。

5、设置记忆长度

N

r

,当

(k1)N

r

重复步骤(1)-(4)，当

(k1)N

r

时，找出

(k1)T

b

时刻所有状态中

路径度量最大的状态

S

k1N

r

(i)

。

6、找到以

S

k1

(i)

为终点的幸存路径，沿着路径回溯，找到该路径所对应的状态

S

kN

r

1

S

k1N

r

S

kN

r

1

，由

解调

(kN

r

)T

b

时刻的信息码元

a

kN

r



l1

2

。

7、进入下一个码元间隔，即

kk1

，返回步骤1，重复进行，直至接收序列结束。

六、仿真结果

码元个数为data_len=10000个，采样个数sample_number = 10，码元速率Rb = 24000，载

波频率fc = 96000，BbTb值alpha = 0.25，关联长度L=3。

高斯滤波器对矩形脉冲的响应

0.8

0.6

g

(

t

)

0.4

0.2

0

-8-6-4-20

时间t/s

246

x 10

8

-5

高斯滤波器对矩形脉冲响应的积分

0.8

0.6

q

(

t

)

0.4

0.2

0

-8-6-4-20

时间t/s

246

x 10

8

-5

10

0

r*:Viterbi误码率曲线,g.:误码率理论值

10

-1

B

i

t

E

r

r

o

r

R

a

t

e

10

-2

10

-3

10

-4

10

-5

012345

SNR(db)

6789

当码元个数变为100个时，可以清楚地观察出I路和Q路信号。

r-I路，g-Q路

1

0.8

0.6

0.4

0.2

幅

度

0

-0.2

-0.4

-0.6

-0.8

-1

0500

时间

6000

通过观察误码率曲线，发现利用维特比解调得到的误码率值比理论值还要低。证明了维特比算法

性能的有效性。

七、结论

GMSK信号的维特比相干解调算法—基于最大似然函数检测（MLSD）的Viterbi相干解调具有良

好的抗噪性和抗多径性能。

参考文献：

[1]姚娜.AIS系统中GMSK的调制与解调[D].成都:电子科技大学,2006．

[2]曾佐祺,李赞.基于Viterbi算法的GMSK信号解调性能分析与仿真[J].重庆邮电大学学报(自然

科学版),2008,20(2):132-138.

[3]陈淑融，王勇．GMSK调制及其在软件无线电上的应用．电子测试,2010,5:81-85.

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[7]余志坚,仇佩亮.一种基于软件无线电的GMSK信号相干解调方式.无线电通信技

术,2003,29(3):5 1～53.