我们都知道角采用的是60进制

2024年3月29日发(作者：金政权)

我们都知道角采用的是60进制，但是我们数学中的数字都采用的十进制，由于进制

不同，造成计算的困难，因此很有必要引入弧度制。弧度制使用圆的半径来度量角，由于

半径具有一定的长度，就可以与实数相对应。规定长度等于半径长的圆弧所对的圆心角叫

做1弧度的角，这样规定出来的角就是确定的。这样规定以后，为以后学习的三角函数作

了准备，比如正弦函数y=sinx，它的定义域就是全体实数，它的图像可以在直角坐标系中

表示出来。

弧度制的基本思想是使圆半径与圆周长有同一度量单位，然后用对应的弧长与圆半径

之比来度量角度，这一思想的雏型起源于印度。印度著名数学家阿利耶毗陀［476？-550？］

定圆周长为21600分，相度地定圆半径为3438分［即取圆周率π3.142］，但阿利耶毗陀

没有明确提出弧度制这个概念。严格的弧度概念是由瑞士数学家欧拉［1707-1783］于1748

年引入。欧拉与阿利耶毗陀不同，先定半径为1个单位，那么半圆的弧长为π，此时的正

弦值为0，就记为sinπ= 0，同理，1/4圆周的弧长为π/2，此时的正弦为1，记为sin(π/2)=1。

从而确立了用π、π/2分别表示半圆及1/4圆弧所对的中心角。其它的角也可依此类推。

弧度制的精髓就在于统一了度量弧与半径的单位，从而大大简化了有关公式及运算，

尤其在高等数学中，其优点就格外明显。

关于弧度的一些问题

悬赏分：5 - 解决时间：2008-4-26 01:44

1.解释一下弧度的概念..

2.弧度的公式是否和角度一样?

比如说: tanX(弧度)等不等于sinX/cosX(都是弧度)

是不是都一样呢

3.表示弧度的时候用那种形式呢: arctan(...) tan(-1)(....) -1为角标

谢谢大家

问题补充：我做的一道题

给的弧度没有给多少多少 π 的 只给了一个小数

...那怎么算啊

提问者： smalllab - 试用期 一级

最佳答案

请仔细阅读我的回答，绝对新颖，有点深刻。

1:弧度的概念

下面从角度的概念谈及弧度。

(1)在角度制中，将圆分为360等份，每份对应1度。一般这样理解：分成360个相

等的扇形，每个扇形的圆心角称为1度。(1*)或者说，将以圆心为顶点的一个始边和终边

相差一整圈(环绕了一周)的角分为360份，然后其中一份称为1度。

基于此容易得到:扇形面积=圆面积*扇心角度数/360.事实上这种角度理解是基于面积

的。(2)事实上，你有没有想过，这时圆周也分成了360等份了呢？这360份圆弧中的每

一份其实也和1度的角对应的啊。此时要真正理解角度，你要想：角度，就是那个弯弯的

弧所投向的一个东西，而不要再局限于圆心，始边终边什么的。

此时扇形上的弧长=圆周长*扇心角度数/360.

(3)弧度，就是用圆弧与角的对应关系来定义角的大小，只是将圆分成了2pi等份，噫，

每一份弧的长度等于多少？哦，圆的周长/2pi，那不就是半径嘛！你可以想象，一个点顺

着圆周弯弯地移动，移动的长度等于半径，这时它相望的角是1个弧度。

于是在单位圆(半径为1个单位长度的圆)中，长度为1的弧所对应的角度不是1弧度。

定义：弧长为半径的弧所对的圆心角称之为1弧度。即:弧长与半径的比值即是弧度数。

或者说，角的大小用相应的圆弧相对于半径的大小来量度，

甚至可以这样"特殊"理解:角具有和半径一样的长度单位，而弧度的符号rad不过是表

明"用与弧相望的东西来代表角"这样一个对应的标记罢了。更进一步引入了负角，于是角

度和半径一样，和实数一一对应了，这样对我们研究数学就方便多了。提示：复数呢？

2.弧度的公式是否和角度一样?

tanX(弧度)等不等于sinX/cosX(都是弧度)? 相等。是同一个函数。

角度制与弧度制公式的关系：

(0)弧度数=角度数*单位圆每度所对应的弧长的数值=角度数*(单位圆周长数值

/360)=角度数*(2pi/360)

如：(a)扇形面积s=圆面积*角度数/360=pi*rr*角度数/360=0.5rr*角度数

*(2pi/360)=0.5rr*弧度数,

也可视扇形为以r为高度,以弧长(b式)为底的曲边三角形，直接由三角形面积公式计

算：s=0.5*r*r*弧度数

(b)弧长l=角度数*每度所对应的圆弧长=角度数*圆周长/360=2pi*r*角度数/360=r*

角度数*(2pi/360)=r*弧度数，

也可直接由弧度定义得此式。

简单地说,s=0.5弧度数*r^2,l=弧度数*r.

高等数学中大部分时候应用弧度制。如果要用角度制，用以上公式(0)可以转换。

31.表示弧度的时候用那种形式呢: arctan(...) tan(-1)(....) -1为上角标

32问题补充：我做的一道题，给的弧度没有给多少多少π的,只给了一个小数...那怎么

算啊

参见以上2(c)，也以保证前后单位统一，也可以转换，转换要加上单位(度，还是弧度

(rad)).一般rad可省略。

arctan tan(-1)(-1为上角标) 旧作arctg,tg(-1)，反正切函数符号。

32答：给出的是小数，是省略了弧度单位。基于以上对弧度的理解可见，弧度可以是

任一实数，不一定要是多少个pi.

用Windows计算器，在角表示模式"角度 弧度 梯度"中选择相应选项，计算值可以

达到32位小数值。

另外，手工计算也是有办法的，利用级数，如arctanx=x-x^3/3+x^5/5-x^7/7+…，

用它的部分和，当然还要考虑又快又准，暂不提。

注：

(1*)就是360度=周角=2平角=4直角=2pi弧度，为了便于理解才那样说。另个，注

意不要与"圆周角(顶点在圆周上的角)"混淆。

我们分析一下角度制下度量角的方法，不难看出，在用角度表示的时候，我们总是十

进制、十六进制并用的。例如角α＝66°32′2"，其中66、32、2都是十进制，而度、分秒

之间的关系是六十进（退）位的。于是，为了找出与角对应的实数（我们学的实数都是十

进数），要经过一番计算，这就不太方便了。但在用弧度表示角的时候，我们只用十进制，

所以容易找出与角对应的实数。当然，教科书还指出，弧度制下的弧长公式l＝|α|γ，比角

度制下的弧长公式具有更为简单的形式。同样，如果已知圆心角等于α弧度，那么用弧度

制下的扇形面积公式求扇形面积，也比用角度制下的公式更为简单。