物理人教版八年级上册阿基米德与密度的故事

2024年3月29日发(作者：炮龙节)

阿基米德与密度的故事

说到力学之父阿基米德，人们第一印象往往就是他那次著名的裸奔事件。据说当时希

耶隆二世制造了一顶金王冠，但他总是怀疑金匠偷了他的金子，在王冠中掺了银。于是他

请阿基米德来鉴定，但是要求不能破坏皇冠。可怜的阿基米德，对着炫目的皇冠琢磨了半

天，终于，累了。于是仆人放好了洗澡水让他去洗澡，当他泡进澡盆，看着溢出来的热水

时，于是，灵光一现。他忽然想到了揭开皇冠秘密的法宝：当把物体完全浸没在水中时，

物体即使有相同重量但不同材质，体积便会不同，那么排出的水量也不一样。豁然开朗的

阿基米德幸福地起身直奔大街，兴奋的以至于忘了他是在一丝不挂地裸奔。之后，他做了

一个重要的实验——只要把皇冠放在水里看排出的水量，然后和同等重量的金子排出的水

量做比较即可。结果证明，皇冠的确是掺假了的。制作皇冠的工匠也脑袋搬家，阿基米德

因此获得嘉奖。此后，阿基米德经过更加深入研究发现了阿基米德定律也即浮力原理：浸

在液体（或气体）里的物体受到向上的浮力作用，浮力的大小等于被该物体排开的液体的

重量。用公式来简单表示就是：f＝ρgV排，其中ρ为液体的密度，ρV排＝m排即是排开

液体的质量，g是液体的重力加速度。当年的阿基米德并没有意识到这个简单的公式里，

实际上还蕴含着更多更深刻的原理，皇冠里的秘密其实还另有奥秘。下面我们就逐一为您

揭示皇冠里的终极秘密。

实际上，阿基米德发现皇冠中的秘密所采用的方法就是测定不规则外形物体体积的方

法：同等重量的物体密度大小可以通过排出的水量来衡量——排出水的体积等于物体外形

的体积，即V固＝V排。我们要特别注意的是，这里的V固不过是固体外形的体积而已，

并非等于组成该固体所有固态物质的体积。据说有个老妇人也拿了个金球要阿基米德鉴定

真假，结果阿基米德得出的结论为：这不是纯金的球。老妇人很气愤，随即一刀劈开了球，

原来球是空心的，组成球的材料却仍然是货真价实的纯金。阿基米德失误在于把空心部分

的空气体积也作为固体体积了。下面我们就来讨论不同的物质形态的体积起源。对于固态

物质，主要有晶态、非晶态和准晶态，大部分固态物质都是具有规则外形的结晶体。晶体

之所以有规则的外形，是因为从微观尺度上来看晶体内部的原子堆积是具有规则的周期结

构的。组成固体的原子直径一般在10－10m左右，我们定义这个尺度单位为1埃。而固

体材料中原子间距一般在几个埃甚至几十个埃左右，即原子间隙要比原子本身尺度大得多。

因此固体体积大部分来源于原子间隙，不同的原子排列方式会给出不同密度、不同外形、

不同硬度的材料。金刚石和石墨就是一个典型的例子，两者微观尺度上都是碳原子的规则

阵列，但金刚石中碳原子排列方式是密堆结构，而石墨则是层状结构，不同的原子排列方

式导致金刚石的硬度和密度都要远大于石墨。为什么原子排列方式可以多种多样呢?这主要

是因为原子外层价电子数目和能量不同，从而形成了丰富的化学键结构。这些化学键的根

本成因就是电子－电子以及电子和原子核之间的库仑相互作用。也就是说，库仑相互作用

使得原子按照一定的方式规则排列，并存在较大的间隙，从而在宏观上使得固体有了一定

的体积。此外，原子自身的体积也是库仑相互作用形成的，原子核大小仅仅只有10－14m，

也即10－4埃，电子直径要更小，它们和原子的直径相比都要小的多。实际上，原子的直

径约等于电子在原子核外运动形成的电子云直径，也即原子核和电子间库仑相互作用的最

大间距。由此可见，固体的体积最根本的来源就是电荷之间的基本相互作用——库仑相互

作用。我们知道，固体中原子之间的共价键、离子键和金属键都具有很强的键能，或者说

它们之间的库仑相互作用因间距小而较强，因此固体的体积一般较难改变。通过施加外界

应力或者改变温度，可以改变原子的振动能量、间距大小甚至排列方式，从而改变宏观体

积，但这些变化相对值都很小。对于液体或者气体，就大不一样了。组成液体或者气体的

分子之间主要相互作用是范德瓦尔斯力，它和化学键相比要小得多，这是液体或者气体体

积的主要来源，也说明液体和气体的体积可以很轻松地改变。而范德瓦尔斯力主要来自于

分子间偶极矩之间的相互作用，其中最大的一部分偶极矩来自分子中电子运动中产生的瞬

时偶极矩，它可以瞬时极化邻近的分子并增强自身的瞬时偶极矩。偶极矩相互作用和电荷

本身之间的相互作用相比，它只是个二级效应，其强度要弱很多，但其本质上还是库仑相

互作用形成的。因此，从微观意义上来看，固体外形体积和排开液体体积的起源尽管有所

不同，但其本质都来自于库仑相互作用。阿基米德能把它们从宏观意义上等同，确实寓意

深远。

我们再来看浮力公式中另一个重要因素——质量的起源是什么。在化学里，计算物质

质量通常以它们的分子量或式量为基准，为此我们只需要弄清楚分子量的本质就知道了质

量的起源。计算分子量的时候，一般是将各个原子的原子量按照原子配比加权得出，由此

可见原子之间的库仑互相作用对分子质量贡献可以忽略不计。那么原子量又如何得出呢?

我们定义质子质量为1原子质量单位，中子质量和质子质量几乎相等。原子量一般就等于

或大于原子核中质子数加中子数，这是因为电子是质子质量1/1840，即电子也贡献了很少

的一部分原子量，而电子和原子核之间的库仑相互作用对原子量几乎没有贡献。那么，质

子和中子的质量来自于什么?组成质子和中子的粒子是夸克，每个质子和中子都是由三个夸

克组成的。有意思的是，三个夸克质量之和要远小于质子或中子的质量！似乎质子或中子

的质量就此“不知所踪”了。经物理学家研究发现，夸克之间的相互作用要比库仑相互作

用强很多，称之为强相互作用，质子和中子质量大部分就来自于夸克之间的强相互作用。

夸克之间的强相互作用非常奇怪，如果增大夸克的间距，那将大大增加它们之间的相互作

用强度，这使得夸克始终保持禁闭在强子里面，而人们就无法观测到独立的夸克，至于夸

克的内部结构至今也尚属未知。总之，物质的质量大部分起源于质子和中子内部夸克之间

的强相互作用，而并非是组成物质所有微粒质量的总和。上面的讨论中用到了爱因斯坦质

能关系E＝mc2，即相互作用能量和质量实际上存在等价关系。能量的存在依赖于相互作

用力的存在，可见质量最根本的起源也是相互作用力。

最后我们来看浮力公式里另一个物理量——重力加速度g。重力加速度之所以存在是

因为物体在地面上受到了重力，它是地球吸引力的一个分力。浮力实际上就是浸在液体中

的物体受到的所有液体压力的合力，其根本起源在于液体中不同深度的压强不同，而造成

液体压强不同的最根本的原因在于液体本身具有重力。假如我们将液体连同浸在其中的物

体一起失重，尽管物体仍然排开了一定体积的液体，实际上物体将不再受到任何浮力，因

为各处液体对物体的压强为零或说液体的重力加速度为零。一个有趣小故事说是一艘满载

大豆的货轮从北半球航向南半球，行进到赤道附近的时候船长发现货物总重量减小了。于

是他怀疑谁偷了大豆，但查了许久也没有结果。等船到了南半球，“丢失”的大豆又回来了。

实际上，这就是由于地球重力加速度随着纬度改变造成的，也就是说物体的重力在地球表

面不同纬度是不同的。这是由于重力只是地球对物体万有引力的一个分力，另一个分力是

提供随地球自转的向心力，两个分力在不同纬度夹角不同，另外加上地球上不同纬度的地

表离地球质心的距离也不同，从而重力的大小也有所变化。那么，万有引力的本质是什么

呢?牛顿在开普勒、胡克、雷恩、哈雷等前人的研究工作基础上，凭借他超凡的数学才华证

明了万有引力定律：F＝Gm1m2/R2，其中引力常数G的数值由卡文迪许用精妙的扭秤实

验测定出。但这不过是对实验观测数据的一个总结公式而已，牛顿自己并没有解释引力的

来源，只是将其冠上了“万有”的名号，而后人编造了一个苹果落地的故事则给这个定律

赋予了传奇色彩。从这个公式可以看出，引力大小不仅和距离密切相关，也和物体的质量

成正比。正是如此，伟大的爱因斯坦高屋建瓴地从时空曲率的角度完美解释了引力的本质。

爱因斯坦的广义相对论指出，世界的过去和未来发生的所有事件可以用时空来统一描述，

标度这个时空维度的时间和空间坐标原则上没有区别，而时空的结构主要由其中质量/能量

分布来决定。比如地球这个天体存在一定的质量，它就会使得周围的时空发生弯曲，在这

个弯曲的时空背景中运动的卫星将按照它运动的能量落在合适的弯曲空间轨迹上（弯曲时

空中最短路径不一定是直线，而是测地线，它在空间上是弯曲的。），即围绕地球做近似圆

周运动。因此，引力实际上就等同于爱因斯坦广义相对论中的时空的曲率，它由该时空的

质量/能量分布来决定。换句话说，引力的本质在于时空背景的曲率分布。牛顿万有引力定

律实际上就是平直时空背景下简化出的引力公式。苹果落地的真实原因在于：在近地球表

面的时空背景下，时空可以近似认为是平直的，这里苹果掉落的最短路径就是竖直向下的

直线。这也是为何重力和重力加速度总是竖直向下的原因。

至此，我们看明白了浮力公式f＝ρgV排＝m排g中体积、质量和重力加速度的来源，

它们来自于库仑相互作用、强相互作用和引力相互作用。即体积、质量和重力加速度都是

起源于力，所谓浮力公式就是浮力的定义和诠释，这就是皇冠里的终极秘密！实际上，许

多物理公式里出现的物理量最终都可以把根本起源归结到相互作用力上。自然界各种各样

的力可以最终划分为四类基本相互作用力，它们是：强相互作用、弱相互作用、电磁相互

作用和引力相互作用，其中强相互作用指的是质子和中子等强子之间的相互作用力，弱相

互作用指的是电子等轻子之间的相互作用力，电磁相互作用指的是电荷和磁场等形成的相

互作用力，引力指的是时空曲率背景造成的作用力。如今，理论物理学家已经可以把前三

者相互作用用所谓“大统一模型”来统一描述，而如何纳入引力相互作用而得到终极理论

模型，正是新世纪物理学最前沿的课题之一